成人高考-数学知识复习资料

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成人高考-数学知识提纲

数学复习资料

1.集合：会用列举法、描述法表示集合，会集合的交、并、补运算，能借助

数轴解决集合运算的问题，具体参看课本例2、4、5.

2.充分必要条件

要分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若A?B，则A是B的充分条件；若B?A，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。

例1：对“充分必要条件”的理解.请看两个例子：（1）“x2?9”是“x?3”的什么条件？

（2）x?2是x?5的什么条件？

我们知道，若A?B，则A是B的充分条件，若“A?B”，则A是B的必要条件，但这种只记住定义的理解还不够，必须有自己的理解语言：“若A?B，即是A能推出B”，但这样还不够具体形象，因为“推出”指的是什么还不明确；即使借助数轴、文氏图，也还是“抽象”的；如果用“A中的所有元素能满足B”的自然语言去理解，基本能深刻把握“充分必要条件”的内容.本例中，x2?9即集合{?3,3}，当中的元素?3不能满足或者说不属于{3}，但{3}的元素能满足或者说属于{?3,3}.假设A?{x|x2?9},B?{x|x?3}，则满足“A?B”，故“x2?9”是“x?3”的必要非充分条件，同理x?2是x?5的必要非充分条件. 3.直角坐标系注意某一点关于坐标轴、坐标原点、y?x,y??x的坐标的写法。如

点（2，3）关于x轴对称坐标为（2，-3），

点（2，3）关于y轴对称坐标为（-2，3），点（2，3）关于原点对称坐标为（-2，-3），点（2，3）关于y?x轴对称坐标为（3，2），点（2，3）关于y??x轴对称坐标为（-3，-2），

4.函数的三要素：定义域、值域、对应法则，如果两个函数三要素相同，则是相同函数。

5.会求函数的定义域，做21页第一大题

6.函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性性、周期是重要的研究内容，尤其是定义域、一次和二次函数的解析式，单调性最重要。

7. 函数的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：

f(?x)①定义法：②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或??1f(x)（f(x)?0）。③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。

常见奇函数：y?x,y?x,y??x,y?x,y?sinx,y?tanx，指数是奇数常见偶函数：y?k,y?x2,y?x?2,y?x0,y?cosx 一些规律：两个奇函数相加或者相减还是奇函数，两个偶函数相加或者相减还是偶函数，但是两种函数加减就是非奇非偶，两种函数乘除是奇函数，例如

sinxy?tanx?是奇函数.

cosx（3）函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|). ④奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)?0.故f(0)?0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。

8.函数的单调性：一般用来比较大小，而且主要用来比较指数函数、对数函数的大小，此外，反比例函数、一次函数、二次函数的单调性也比较重要，要熟记他们的图像的分布和走势。熟记课本第11页至13页的图和相关结论。

一次函数、反比例函数 p17 例5 p20 例8

9.二次函数表达形式有三种：一般式：f(x)?ax2?bx?c；顶点式：f(x)?a(x?m)2?n；零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式。

课本中的p17 例5（4）例6、例7，例10 例11；习题p23 8、9、10、11

10.一元一次不等式的解法关键是化为ax?b，再把x的系数化为1，注意乘以或者除以一个负数不等号的方向要改变；一元一次不等式组最后取个不等式的交集，即数轴上的公共部分。做p42 4、5、6大题

11.绝对值不等式只要求会做：|ax?b|?c??c?ax?b?c和

|ax?b|?c?c?ax?b或者ax?b??c，一定会去绝对值符号。做p43 7

331512.一元二次不等式是重点，阅读课文33至34的图表及39至42页的例题。做43页8、9、10、11、12

设a?0,x1,x2是方程ax2?bx?c?0的两实根，且x1?x2，则其解集如下表： ax2?bx?c?0222ax?bx?c?0 ax?bx?c?0 ax?bx?c?0 ??0{x|x?x1或{x|x?x1或{x|x1?x?x2}{x|x1?x?x2} x?x2} x?x2} ??0bb? {x|x??} {x|x??} R 2a2a? ? R ??0R 对于方程ax2?bx?c?0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次若a?0，则一定有??b2?4ac?0。

13. 数列的同项公式与前n项的和的关系

n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2??an). an??s?s,n?2?nn?1等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；

n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n. 其前n项和公式为sn?2222a等比数列的通项公式an?a1qn?1?1?qn(n?N*)；

q?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??其前n项的和公式为sn??1?q或sn??1?q.

?na,q?1?na,q?1?1?1 14. 等差数列的性质：

（1）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有

am?an?2ap

(2) 若{an}、是等差数列，

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也成等差数列

（3）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇?nd；项数为奇数2n?1时，

；S奇SS奇?S偶?a中，S2n?1?(2n?1)?a中（这里a中即an）:偶?k(:)1?k。

(4)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差

数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm.

15.等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。 16.等比数列的性质：

（1）当m?n?p?q时，则有aman?apaq，特别地，当m?n?2p时，则有

aman?ap2.

(2) 若{an}是等比数列，且公比q??1，则数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也是等比数列。

当q??1，且n为偶数时，数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…是常数数列0，它不是等比数列.

(3) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶?qS奇；项数为奇数2n?1时，

S奇?a1?qS偶.

(4)数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

这一章主要是找数字的规律，写出数列通项公式，但对等差和等比数列要求比较高，会有较大的比重，出解答题，48页起的例2、3、4、5是基础题，例6、7、8、9是中档题目，例10、11、12是综合题。最要紧做55页的题目。

17. 导数的几何意义：曲线y＝（fx）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是f?(x0).相应地，

切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0);

18.导数的应用：

（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f?(x)?0,那么f(x)为增函数；如果f?(x)?0,那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有f?(x)?0,f(x)为常数；

（2）求可导函数极值的步骤：①求导数f?(x)；②求方程f?(x)?0的根；③检验f?(x)在方程f?(x)?0根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值。

19.本章重点是求曲线在一点处的切线方程和多项式的导数，会求函数最大值最小值和极值。课本61页例1、3、4、5和64页习题要过一过关。

20.三角函数本章出2个小题，1个大题，不是重点内容

1象限角的概念：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象

限。

2.弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式： S?1lR?1|?|R2，1弧度(1rad)?57.3.

223、任意角的三角函数的定义：设?是任意一个角，P(x,y)是?的终边上的任意一点（异于原点），

yxy它与原点的距离是r?x2?y2?0，那么sin??,cos??，tan??,?x?0?，

rrxxcot??(y?0)

4.特殊角的三角函数值：

30° 1245° 2260° 320° 90° 0 0 1 180° 0 0 270° －1 15° 6?4275° 6?42sin? tan? 33 1 3 2-3 2+3 132性质 sinx 222图像95页图3.1 6?21 0 -1 0 的来4源及图6?2 像 4 cos? 定义96页表格域值域 96页表格单调性及递增递减区间周期性及奇偶性对称轴对称中心最值及指定区间的最值简单三角方程96页表格 cosx tanx 95页图3.1 95页图3.1 96页表格 96页表格 96页表格 96页表格 96页表格 96页表格 95、96页表格 95、96页表格 9596页表格不要求不要求 95页表格不要求不要求 95页表格不要求不要求 95页表格不要求不要求不要求 5

5.三角函数的恒等变形的基本思路和不是：一角二名三结构。即首先观察角等式与角之间的关系，注意角的一些常用

变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

6.基本公式:

1．常见三角不等式（1）若x?(0,)，则 2sinx?x?tanx.

?(2) 若x?(0,)，则 21?sinx?cosx?2. (3) |sinx|?|cosx|?1.

2.同角三角函数的基本关系式

?sin2??cos2??1，tan?=

sin?， cos?tan??cot??1.

3.正弦、余弦的诱导公式（参看课本77-78页）注意规律：横不变名竖变名，正负看象限

（1）负角变正角，再写成2k?+?,0???2?； (2)转化为锐角三角函数。 4.和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;cos(???)?cos?cos?sin?sin?;

tan??tan?.asin??bcos?=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限

1tan?tan?b由点(a,b)的象限决定,tan?? ).

atan(???)?5.二倍角公式

sin2??sin?cos?，cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

2tan?tan2??. 21?tan?6.三角函数的周期公式

函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?2?； ?函数y?tan(?x??)，x?k???2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T??. ?重要例题：96至101的例1到例5

21.解三角形就完成模拟试题的相关习题即可。 22.平面向量看125页例1、2、4、5、6及习题1、2、3

实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）;

(2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c.

切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律， 4.向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则ab(b?0)?x1y2?x2y1?0.

5.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ． 6. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 7.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),

则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1). (4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2). 8.两向量的夹角公式

cos??x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

9.平面两点间的距离公式(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 10.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.

11.“按向量平移”：点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(x?h,y?k).

23. 直线方程（重点章节）看132至135页例1、2、3

1.直线的五种方程

（1）点斜式 y?y1?k(x?x1)

k(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为)．

（2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).

y?y1x?x1 ?y2?y1x2?x1(4)截距式??1(a、b为直线横纵截距，a、b?0（5）一般式Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

2..两条直线的平行和垂直

(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2

①l1||l2?k1?k2,b1?b2;②l1?l2?k1k2??1.

(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零,①

xyabl1||l2?

A1B1C1；②

l1?l2?A1A2?B1B2?0； ??A2B2C27

3.点到直线的距离 d?|Ax0?By0?C|22A?B(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).

4. 圆的四种方程做一做第153页练习1、2、3 （1）圆的标准方程 (x?a)2?(y?b)2?r2. （2）圆的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0 (D?E?4F＞0). 5.直线与圆的位置关系

直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种:

22d?r?相离???0; d?r?相切???0; d?r?相交???0.其中d?

Aa?Bb?CA?B22.

二．基础知识:

(一)椭圆及其标准方程 p159例1、例2 1.椭圆的定义：

椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.

2.椭圆的标准方程：（a＞b＞0）

x2y2y2x2?2?1 2?2?1 2abab3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x项的分母大于

2y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. 3椭圆的简单几何性质（a＞b＞0）.

22椭圆的几何性质：设椭圆方程x?y?1

22ab 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，

2cb离心率： e?e?1?2 0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，

aa椭圆就越接近于圆.

4双曲线及其标准方程 p167 例1、例2

双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹.

若MF1＜MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MF1＞MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 双曲线的标准方程判别方法是：如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 5.双曲线的简单几何性质

x2y2cb2 双曲线2?2?1实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e??1?2离心率e越大，

aaba开口越大.

x2y2x2y2b 双曲线2?2?1的渐近线方程为y??x或表示为2?2?0.若已知双曲线

aababm的渐近线方程是y??x，即mx?ny?0，那么双曲线的方程具有以下形式：

nm2x2?n2y2?k，其中k是一个不为零的常数.

双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程：2?2?0?y??x.

abaabx2y2xyb(2)若渐近线方程为y??x???0?双曲线可设为2?2??.

abaabx2y2x2y2(3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??（??0，焦点在x轴上，

abab??0，焦点在y轴上）.

抛物线 p175

页表格，176页例1、例2、例4