徐州、宿迁市2013届高三第三次模拟数学试题

徐州、宿迁二市高三年级第三次模拟考试

数学Ⅰ

1n1n2参考公式：样本数据x1,x2,?,xn的方差s??(xi?x)，其中x??xi；

ni?1ni?12锥体的体积公式：V锥体=Sh，其中S为锥体的底面面积，h是高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．

13a+3i?b+i(a,b?R)，则ab的值为 ． i2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1， 1. 已知i是虚数单位，若

则这组数据的方差为 ．

3. 右图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ．

4. 若集合A???1,0,1?，B??y|y?cos(?x),x?A?，则A?B? ． 开始 S?1 2i?1 S?1 S?1x2y2i?i?1 +?1表示双曲线的充要条件是k? ． 5. 方程

k+1k?5i?3 N 416．在△ABC中，已知cosA?，tan(A?B)??，则tanC的值是 ． Y 52输出S ?x≥?1,?7. 已知实数x,y满足?y≤3,则x2+y2?2x的最小值是 ． ?x?y+1≤0,?结束 （第3题图）

?S?8. 已知Sn是等差数列?an?的前n项和，若S7?7，S15?75，则数列?n?的前20项和为 ．

?n?9. 已知三棱锥P?ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥P?ABC的体积为 ．

????????????10．已知O为△ABC的外心，若5OA?12OB?13OC?0，则?C等于 ．

11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除

的概率是 ． 12. 若a?0,b?0，且

11+?1，则a+2b的最小值为 ． 2a+bb+1?x?2,0≤x?1,?13．已知函数f(x)??x1若a?b≥0，且f(a)?f(b)，则bf(a)的取值范围是 ．

2?,x≥1.?2?14. 已知曲线C：f(x)?x+(a?0)，直线l：y?x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线

l和y轴的垂线，垂足分别为A,B.再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M,N，

ax 1

O是坐标原点.若△ABP的面积为

1，则△OMN的面积为 ． 2二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指．．．．定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

15. 如图，AB，CD均为圆O的直径，CE?圆O所在的平面，BF?CE.求证：

⑴平面BCEF?平面ACE； ⑵直线DF?平面ACE．

E F

C A O D （第15题图）

B ????????316．已知△ABC的面积为S，角A,B,C的对边分别为a,b,c，AB?AC?S．

2⑴求cosA的值；

⑵若a,b,c成等差数列，求sinC的值．

2

17．已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，OC?1r，残缺部分位于过点C的2竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；

AB上．要使截出的直角三角形的面积最大，如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在?应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

D D A A B O C B O E C （第17题甲图） （第17题乙图）

x2y2318．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，A1,A2分ab2别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上

方交椭圆E于点Q． ⑴求直线OP的方程；

PQ⑵求的值；

QA1⑶设a为常数．过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E于点B,C，分别交圆A2于点M,N，记△OBC和△OMN的面积分别为S1，S2，求S1?S2的最大值．

3

y P Q A1 B A2 C N （第18题图）

M O x 19．已知数列?an?满足：a1?a+2(a≥0)，an?1?⑴若a?0，求数列?an?的通项公式；

an+a，n?N*． 2⑵设bn?an?1?an，数列?bn?的前n项和为Sn，证明：Sn?a1．

20．已知函数f(x)?lnx?ax2?x，a?R．

⑴若函数y?f(x)在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；

⑵设函数y?f(x)的图象被点P(2,f(2))分成的两部分为c1,c2（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，且c1,c2分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．

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数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本大题包括A、B、C、D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4-1：几何证明选讲

如图，已知圆A，圆B都经过点C，BC是圆A的切线，圆B交AB于点D，连结CD并延长交圆A于点E，连结AE.求证DE?DC?2AD?DB.

C

A D B

B．选修4-2：矩阵与变换

E

（第21—A题图）

??1a?已知a,b?R，若矩阵M??所对应的变换把直线l：2x?y?3变换为自身，求M?1. ??b3?

C．选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知直线2?cos?+?sin?+a?0(a?0)被圆??4sin?截得的弦长为2，求a的值.

D．选修4-5：不等式选讲

已知x,y,z?R，且x?2y?3z?4，求x2+y2+z2的最小值．

5

22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AA1?6，AB?2，M,N分别是棱BB1，CC1上的点，且BM?4，CN?2.

⑴求异面直线AM与AC11所成角的余弦值；

⑵求二面角M?AN?A1的正弦值.

N C1 C

A （第22题图）

23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

2n?12n?22n?3rnn?1已知函数f(x)?C0,n?N?． ?C1?C2???Cn(?1)rx2n?1?r???Cnnxnxnxn(?1)x⑴当n≥2时，求函数f(x)的极大值和极小值；

B M B1

A1

?1n⑵是否存在等差数列{an}，使得a1C0 n?a2Cn???an?1Cn?nf(2)对一切n?N都成立？并说明理由．

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数学参考答案与评分标准

一、填空题

511； 4. {?1,1}； 5.(?1,5)； 6.； 7.1； 8223+153π38.55； 9.9； 10.； 11. ； 12. ； 13.[,3)； 14. 4

24481.?3； 2. 0.032； 3.

二、解答题

15.⑴因为CE?圆O所在的平面，BC?圆O所在的平面，

所以CE?BC，………………………………………………………………………………2分 因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以AC?BC， ……………………………3分 因为AC?CE?C，AC,CE?平面ACE，

所以BC?平面ACE，………………………………………………………………………5分 因为BC?平面BCEF，所以平面BCEF?平面ACE．…………………………………7分 ⑵由⑴AC?BC，又因为CD为圆O的直径， 所以BD?BC，

因为AC,BC,BD在同一平面内，所以AC?BD，…………………………………………9分 因为BD?平面ACE，AC?平面ACE，所以BD?平面ACE．………………………11分 因为BF?CE，同理可证BF?平面ACE， 因为BD?BF?B，BD,BF?平面BDF， 所以平面BDF?平面ACE，

因为DF?平面BDF，所以DF?平面ACE．……………………………………………14分

????????331416.⑴由AB?AC?S，得bccosA??bcsinA，即sinA?cosA．……………2分

22239代入sin2A+cos2A?1，化简整理得，cos2A?．……………………………………4分

2534由sinA?cosA，知cosA?0，所以cosA?．………………………………………6分

53⑵由2b?a+c及正弦定理，得2sinB?sinA+sinC，

即2sin(A+C)?sinA+sinC，………………………………………………………………8分 所以2sinAcosC+2cosAsinC?sinA+sinC．①

344及sinA?cosA，得sinA?，……………………………………………10分 5354?sinC代入①，整理得cosC?．

8代入sin2C+cos2C?1，整理得65sin2C?8sinC?48?0，……………………………12分

124解得sinC?或sinC??．

13512因为C?(0,?)，所以sinC?．…………………………………………………………14分

1317．如图甲，设?DBC??，

3r3r则BD?cos?，DC?sin?， ………………………………………………2分

22由cosA?

7

所以S△BDC?92rsin2?………………………………………………………………………4分 169≤r2， 16π时取等号， …………………………………………………6分 43此时点D到BC的距离为r，可以保证点D在半圆形材料ABC内部，因此按照图甲方案得到直角三角

492形的最大面积为r． …………………………………………………7分

16当且仅当??D

D

A B B O E C O C

（第17题乙图） （第17题甲图）

如图乙，设?EOD??，则OE?rcos?，DE?rsin?，

A ππ3211设f(?)?r2(1?cos?)sin?，则f?(?)?r2(1?cos?)(2cos??1)，

22πππ

当??[,]时，f?(?)≤0，所以??时，即点E与点C重合时，

323

332△BDE的面积最大值为r． ………………………………………………………13分

833292r?r， 因为816332r．…………14分 所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为8所以S△BDE?r2(1?cos?)sin?，??[,] ． …………………………………10分

1218．⑴连结A2P，则A2P?A1P，且A2P?a， 又A1A2?2a，所以?A1A2P?60?.

所以?POA2?60?，所以直线OP的方程为y?3x.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线A2P的方程为y??3(x?a)，A1P的方程为y?联立解得xP?3(x?a)， 3a. ………………………………………………………………………5分 2x24y23c3321222因为e?，即?，所以c?a，b?a，故椭圆E的方程为2+2?1.

aa2a244 8

?3y?(x?a),?a?3由?2解得，…………………………………………………………7分 x??Q27?x+4y?1,?a2?a2aa?(?)PQ7?3． ………………………………………………………………8分 ?2所以

QA1?a?(?a)47⑶不妨设OM的方程为y?kx(k?0)，

?y?kx,aak?,)， 联立方程组?x24y2解得B(22+?1,1?4k1?4k?2a2?a1?k2所以OB?a；……………………………………………………………………10分

1?4k21?k21用?代替上面的k，得OC?a．

4?k2k同理可得，OM?2a1?k2，ON?2ak1?k2．…………………………………………13分

所以S1?S2?1k．………………………14分 ?OB?OC?OM?ON?a4?224(1?4k)(4?k)因为k(1?4k2)(4?k2)?11≤，

14(k2?2)?175ka4当且仅当k?1时等号成立，所以S1?S2的最大值为．………………………………16分

519．⑴若a?0时，a1?2，an?1?an2，所以2an?1?an，且an?0． 2两边取对数，得lg2+2lgan?1?lgan，……………………………………………………2分 化为lgan?1+lg2?(lgan+lg2)， 因为lga1+lg2?2lg2，

所以数列{lgan+lg2}是以2lg2为首项，

121为公比的等比数列．……………………4分 22?n?1所以lgan+lg2?2()n?1lg2，所以an?2212．………………………………………6分

9

⑵由an?1?an+a2，得2an?1?an+a，① 2当n≥2时，2a2n?an?1+a，②

①?②，得2(an?1+an)(an?1?an)?an?an?1，…………………………………………8分 由已知an?0，所以an?1?an与an?an?1同号．…………………………………………10分

2因为a2?a+1，且a?0，所以a12?a2?(a+2)2?(a+1)?a2+3a+3?0恒成立，

所以a2?a1?0，所以an?1?an?0．………………………………………………………12分 因为bn?an?1?an，所以bn??(an?1?an)， 所以Sn??[(a2?a1)+(a3?a2)+?+(an?1?an)]

??(an?1?a1)?a1?an?1?a1．…………………………………………………………16分 12ax2+x?1(x?0)，………………………………………2分 20．⑴f?(x)??2ax?1??xx11111只需要2ax2?x?1≤0，即2a≤2??(?)2?，

xxx241所以a≤?．…………………………………………………………………………………4分

81⑵因为f?(x)??2ax?1．

x1所以切线l的方程为y?(?4a?)(x?2)?ln2?4a?2．

21??令g(x)?lnx?ax2?x??(?4a?)(x?2)?ln2?4a?2?，则g(2)?0．

2??12ax2?(4a?)x?1112g?(x)??2ax?4a???．………………………………………6分 x2x若a?0，则g?(x)?2?x， 2x当x?(0,2)时，g?(x)?0；当x?(2,+?)时，g?(x)?0，

所以g(x)≥g(2)?0，c1,c2在直线l同侧，不合题意；…………………………………8分

2a(x?2)(x?若a?0，g?(x)??x1)4a，

10

x(?1)21≥0，g(x)是单调增函数， 若a??，g?(x)?2x8当x?(2,+?)时，g(x)?g(2)?0；当x?(0,2)时，g(x)?g(2)?0，符合题意；…10分

若a??，当x?(?181,2)时，g?(x)?0，g(x)?g(2)?0， 4a当x?(2,??)时，g?(x)?0，g(x)?g(2)?0，不合题意； …………………………12分 若??a?0，当x?(2,?181)时，g?(x)?0，g(x)?g(2)?0， 4a当x?(0,2)时，g?(x)?0，g(x)?g(2)?0，不合题意； ……………………………14分 若a?0，当x?(0,2)时，g?(x)?0，g(x)?g(2)?0， 当x?(2.??)时，g?(x)?0，g(x)?g(2)?0，不合题意．

故只有a??符合题意． ………………………………………………………………16分

18

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附加题

21．

A．由已知，AC?BC，因为?ACD+?BCD?90?， AC?AE，BC?BD，

C A D E

（第21—A题图）

所以?ACD??E，?BCD??BDC，

因为?ADE??BDC，所以?E+?ADE?90?，

所以AE?AB.……………………………………………5分

B

F

延长DB交?B于点F，连结FC，则DF?2DB，?DCF?90?， 所以?ACD??F，所以?E??F，所以Rt△ADE∽Rt△CDF， 所以

ADDE，所以DE?DC?AD?DF，因为DF?2DB， ?CDDF所以DE?DC?2AD?DB.…………………………………………………………………10分 B．对于直线l上任意一点?x,y?，在矩阵M对应的变换作用下变换成点?x?,y??，

??1a??x???x+ay??x??则???y???bx+3y???y??， b3????????因为2x??y??3，所以2(?x+ay)?(bx+3y)?3， ………………………………………4分

??2?b?2,?a?1,所以?解得?

2a?3??1,b??4.????11?所以M??， …………………………………………………………………………7分 ???43??3?1?所以M?1???. ………………………………………………………………10分 4?1??C．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2x+y+a?0， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2?4y，即x2+(y?2)2?4 ，…………6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)到直线的距离为4?1?3， 即2+a5?3，因为a?0，所以a?15?2. ………………………………………10分

D．由柯西不等式，得[x+(?2)y+(?3)z]2≤[12+(?2)2+(?3)2](x2+y2+z2)，

即(x?2y?3z)2≤14(x2+y2+z2)， ……………………………………………………5分

12

即16≤14(x2+y2+z2).

所以x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为

878. …………………………………10分 722．⑴以AC的中点为原点O，分别以OA,OB所在直线为x,z轴，建立空间直角坐标系O?xyz（如图）. 则O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(?1,0,0)，B(0,0,3)，N(?1,2,0)，M(0,4,3)，A1(1,6,0)，C1(?1,6,0).

z ??????????所以AM?(?1,4,3)，AC11?(?2,0,0).

B N O M C1 B1 ????????????????????AM?A1C125?所以cos?AM,A1C1??????， C ???????10AMA1C1220y 5A1 所以异面直线AM与AC.…………………………………………5分 11所成角的余弦值为A 10（第22题图） ⑵平面ANA1的一个法向量为m?(0,0,1).

x 设平面AMN的法向量为n?(x,y,z)，因为AM?(?1,4,3)，AN?(?2,2,0)，

???????????????n?AM,????x+4y+3z?0,由?令x?1，则n?(1,1,?3). ????得?????2x+2y?0,?n?AN,所以cos?m,n??m?n?315， ???mn5510. ……………………………………………10分 5所以二面角M?AN?A1的正弦值为n1n?1n?2rn?rn?123．（1）f(x)?xn?1[C0?C2?????Cr?????(?1)nCn(x?1)n， nx?Cnxnxn(?1)xn] =xf?(x)?(n?1)xn?2(x?1)n?xn?1?n(x?1)n?1=xn?2(x?1)n?1[(n?1)(x?1)?nx]，

令f?(x)?0得x1?0,x2?n?1,x3?1， 2n?1因为n≥2，所以x1?x2?x3．…………………………………………………2分 当n为偶数时f(x)的增减性如下表：

x

(??,0)0

(0,

n?1)2n?1

n?12n?1(

n?1,1)2n?11

(1,??)

f?(x)

? 0 ? 0

?

0 ? ?

f(x)

?

无极值

?

极大值

13

?

极小值

(n?1)n?1?(?n)nn?1所以当x?时，y极大；当x?1时，y极小?0．………4分 2n?1(2n?1)2n?1当n为奇数时f(x)的增减性如下表： 所

时，

x

(??,0)0

n?1(0,)2n?1

n?12n?1n?1(,1)2n?1

1

以x?0(1,??)

f?(x)

? 0

?

0 ? 0 ? ?

f(x)

?

极大值

?

极小值

?

无极值

(n?1)n?1?(?n)nn?1时，y极小?．…………6分 y极大?0；当x?2n?1(2n?1)2n?112nn?1（2）假设存在等差数列?an?使a1C0成立， n?a2Cn?a3Cn?????an?1Cn?n?2n?m由组合数的性质Cm， n?Cn12nn?1把等式变为an?1C0， n?anCn?an?1Cn?????a1Cn?n?2两式相加，因为?an?是等差数列，所以a1?an?1?a2?an?a3?an?1???an?1?a1，

1nn故(a1?an?1)(C0n?Cn???Cn)?n?2，

所以a1?an?1?n． …………………………………………………………………8分 再分别令n?1，n?2，得a1?a2?1且a1?a3?2，

进一步可得满足题设的等差数列?an?的通项公式为an?n?1(n?N?)．………10分

14

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