文科-2013年上海市嘉定长宁区高三数学二模（含答案）

2013年上海市17区县高三数学二模真题系列卷——长宁嘉定区数学（文科）

2013年上海市长宁、嘉定区高三年级二模试卷——数学（文科）

2013年4月

（考试时间120分钟，满分150分）

一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数f(x)?sin(2x??3)的最小正周期是__________．

2．若关于x的不等式2x2?3x?a?0的解集为(m,1)，则实数m?_________．

3．（文）已知集合A???1,0,a?,B?x1?3x?9,x?Z，若A?B??，则实数a的值 是 ． 4．已知复数z满足

??i＝3，则复数z的实部与虚部之和为__________． z?11220135．求值：1?2C2013?4C2013???(?2)2013C2013?___________．

6．已知向量a?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超过5，则k的取值范围是____________．

ax7．设a?0,a?1，行列式D?221301中第3行 4?3开始 k?1 第2列的代数余子式记作y，函数y?f?x?的反函 数图像经过点?2,1?，则a? ．

k2?6k?5?0 是 输出k 否 k?k?1 358．（文）已知cos(???)?,sin???，且

513????(0,),??(?,0)，则sin??_____．

229．（文）如图是一个算法框图，则输出的k的值是____________． 结束 210．（文）设函数y?1?x的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积 __________． 11．（文）从4名男生和3名女生中任选3人参加会议，则选出3人中至少有名女生的概

率是__________． 12．（文）函数f(x)?|x?4|?x?4x的单调递减区间是___________．

22?x?2y?3?0,?13.（文） 已知变量x，y满足约束条件?x?3y?3?0, 若目标函数z?ax?y仅在点(3,0)处取到最大

?y?1?0.?值，则实数a的取值范围_______________.

14．（文）设数列?an?是公差不为零的等差数列，a1?2,a3?6，若自然数n1,n2,...nk,...满足

3?n1?n2?...?nk?...，且a1,a3,an1...ank,...是等比数列，则nk=_______________.

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二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）

????????15. 已知A(a1,b1)，B(a2,b2)是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA?OB的充要条件是

（ ）

A．

b1b2ab???1 B.a1a2?b1b2?0 C.1?1 D.a1b2?a2b1 a1a2a2b2（ ）

16.（文）关于直线，m及平面α，β，下列命题中正确的是

A．若l//?,????m,则l//m B．若l??,m//?,则l?m C．若l//?,m//?,则l//m D．若l//?,m?l，则m??

y217. 过点P(1,1)作直线与双曲线x??1交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线

22（ ）

A．存在一条，且方程为2x?y?1?0 B．存在无数条 C．存在两条，方程为2x??y?1??0 D．不存在

18. （文）已知函数f(x)?2?1,g(x)?1?x,构造函数F(x)，定义如下：当

x2|f(x)|?g(x)时,F(x)?|f(x)|,当|f(x)|?g(x)时,F(x)??g(x)，那么F(x)（ ）

A．有最小值0，无最大值

C．有最大值1，无最小值

B．有最小值?1，无最大值 D．无最小值，也无最大值

三．解答题（本大题满分74分，共5小题）

19. （文）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24?，OA?2，

?AOP?120?．

（1）求三棱锥A1?APB的体积；

（2）求异面直线A1B与OP所成角的大小．（结果用 反三角函数值表示）．

A1O1B1AOBP长宁区、嘉定区2013高三数学二模(文科) 第2页

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20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列． （1）求证：0?B??31?sin2B（2）求y?的取值范围．

sinB?cosB

21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）

设函数f(x)?a?(k?1)a（1）求k的值；

（2）（文）若f(1)?0，试说明函数f(x)的单调性，并求使不等式f(x?tx)?f(4?x)?0恒成立的的取值范围．

22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）

如图，已知点F(0,1)，直线m：y??1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，

2x?x；

(a?0且a?1)是定义域为R的奇函数．

????????????????且QP?QF?FP?FQ．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）（文）过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为d?(a,1)的直线m?与轨迹C交于不同两点A、B，问是否存在实数a使得

FOx?yFA?FB？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；

（3）（文）在问题（2）中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D(0,y0)，求y0的取值范围．

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23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）

（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意n?N*，总有Sn?2(an?1)． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）在an与an?1之间插入n个数，使这n?2个数组成等差数列，当公差d满足3?d?4时，求n的值并求这个等差数列所有项的和T；

（3）记an?f(n)，如果cn?n?f(n?log2m)（n?N*），问是否存在正实数m，使得数列{cn}是

单调递减数列？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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长宁、嘉定区2013年高三年级二模数学（文科）参考答案

一、填空题（每小题4分，共56分） 1．? 2。8．（文）

14 3。（文） 1 4。 5。?1 6.[?2,6] 7。4 2333 9。（文）6 10。（文）4? 6531?1? 12。（文）(??，2] 13。 （文）?，??? 35?2?11、（文）

14．（文）3k?1

二、选择题（每小题5分，共20分） 15．B 16。B 17。D 18。（文）B

三、解答题

19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

（理）解：（1）因为AB?平面BCD，所以AB?CD，又BC?CD，所以CD?平面ABC， ?DAC就是AD与平面ABC所成的角． ………………2分 因为AB?平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30?，故?ADB?30?， 由AB?BC?2，得AD?4，AC?22， ………………4分 所以cos?DAC?AC2， ?AD2所以AD与平面ABC所成角的大小为45?． ………………6分

（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得BD?23，CD?22，则VA?BCD?[来源学科网]

1142，………………8分 S?BCD?AB??BC?CD?AB?363VB?ACD?114S?ACD?d??AC?CD?d?d．………………10分 363由VA?BCD?VB?ACD，得d?2．

所以点B到平面ACD的距离为2．………………12分

（文）解：（1）由题意S表?2??2????2?AA1?24?，解得AA1?4. ………………2分 在△AOP中，OA?OP?2,?AOP?120，所以AP?23．

在△BOP中，OB?OP?2,?BOP?60，所以BP?2． ………………4分

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所以VA1?APB?11831． ………………6分 S?APB?AA1???23?2?4?3233（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，则OQ//A1B，

得?POQ或它的补角为异面直线A1B 与OP所成的角. ………………8分 又AP?23，AQ?AO?2，得OQ?22，PQ?4，

[来源:Zxxk.Com]

PO2?OQ2?PQ22由余弦定理得cos?POQ?， ………………10分 ??2PO?OQ4所以异面直线A1B 与OP所成角的大小为arccos2． ………………12分 4

20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）由已知，b2?ac，所以由余弦定理，

a2?c2?b2a2?c2?ac得cosB? ………………2分 ?2ac2ac2ac?ac1由基本不等式a2?c2?2ac，得cosB??．………………4分

2ac2??1?所以cosB??,1?．因此，0?B?．………………6分

3?2?

1?sin2B(sinB?cosB)2?????sinB?cosB?2sin?B??， （2）y?sinB?cosBsinB?cosB4??………………9分

由（1），0?B?所以，y?[来源学§科§网Z§X§X§K]?3，所以

?4?B??4?7????2??，所以sin?B????,1?，

?124??2??1?sin2B的取值范围是1,2． ………………12分

sinB?cosB??

21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） （理）解：（1）由题意，对任意x?R，f(?x)??f(x)， 即a?x?(k?1)ax??ax?(k?1)a?x， ………………2分

x?x即(k?1)(a?a)?(ax?a?x)?0，(k?2)(ax?a?x)?0，

因为x为任意实数，所以k?2． ………………4分

解法二：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)?0，即1?(k?1)?0，k?2．

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当k?2时，f(x)?a?ax?x，f(?x)?a?x?ax??f(x)，f(x)是奇函数．

所以k的值为2． ………………4分 （2）由（1）f(x)?a?ax?x，因为f(1)?313，所以a??， 2a2解得a?2． ………………6分 故f(x)?2?2x?x，g(x)?22x?2?2x?2m(2x?2?x)，

?3?,???， ?2?令t?2x?2?x，则22x?2?2x?t2?2，由x?[1,??)，得t??所以g(x)?h(t)?t?2mt?2?(t?m)?2?m，t??222?3?,??? ?2?………………9分

39?3??3?时，h(t)在?,???上是增函数，则h????2，?3m?2??2， 24?2??2?25解得m?（舍去）． ………………11分

123当m?时，则f(m)??2，2?m2??2，解得m?2，或m??2（舍去）．

2当m?………………13分

综上，m的值是2． ………………14分

（文）解：（1）由题意，对任意x?R，f(?x)??f(x)，即a?x?(k?1)ax??ax?(k?1)a?x，

………………2分

即(k?1)(a?ax?x)?(ax?a?x)?0，(k?2)(ax?a?x)?0，

因为x为任意实数，所以k?2． ………………4分

解法二：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)?0，即1?(k?1)?0，k?2．

x?x?xx当k?2时，f(x)?a?a，f(?x)?a?a??f(x)，f(x)是奇函数．

所以k的值为2． ………………4分 （2）由（1）知f(x)?a?ax?x，由f(1)?0，得a?1?0，解得0?a?1． a………………6分

x?xx?x当0?a?1时，y?a是减函数，y??a也是减函数，所以f(x)?a?a是减函数．

………………7分

由f(x?tx)?f(4?x)?0，所以f(x?tx)??f(4?x)，………………8分 因为f(x)是奇函数，所以f(x?tx)?f(x?4)． ………………9分

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因为f(x)是R上的减函数，所以x2?tx?x?4即x?(t?1)x?4?0对任意x?R成立， ………………11分 所以△?(t?1)?16?0， ………………12分 解得?3?t?5． ………………13分

[来源:Zxxk.Com]22

所以，的取值范围是(?3,5)． ………………14分

22．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分） （理）解：（1）设P(x,y)，由题意，Q(x,?1)，QP?(0,y?1)，QF?(?x,2)，

FP?(x,y?1)，FQ?(x,?2)， ………………2分

由QP?QF?FP?FQ，得2(y?1)?x?2(y?1)，

化简得x?4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x?4y． ………………4分 （2）轨迹C为抛物线，准线方程为y??1，

即直线m，所以M(0,?1)， ………………6分

222?y?kx?1,设直线m?的方程为y?kx?1（k?0），由?2 得x2?4kx?4?0，

?x?4y，由△?16k2?16?0，得k2?1． ………………8分 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?4k，

2所以线段AB的中点为(2k,2k?1)， ………………9分

2所以线段AB垂直平分线的方程为(x?2k)?k[y?(2k?1)]?0，………………10分 令x?0，得y0?2k2?1． ………………11分

因为k2?1，所以y0?(3,??)． ………………12分

（3）由（2），x1?x2?4k，x1x2?4，所以|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

?(1?k2)(x1?x2)2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?(1?k2)(16k2?16)

?4(k2?1)(k2?1)． ………………14分

假设存在点D(0,y0)，使得△ABD为等边三角形，

3|AB|． ………………15分 2|y0?1|2(k2?1)2因为D(0,2k?1)，所以d???2k2?1，………………16分

1?k2k2?14222所以2k?1?23k?1?k?1，解得k2?． ………………17分

3?11?所以，存在点D?0,?，使得△ABD为等边三角形． ………………18分

3??则D到直线AB的距离d?

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（文）（1）设P(x,y)，由题意，Q(x,?1)，QP?(0,y?1)，QF?(?x,2)，

FP?(x,y?1)，FQ?(x,?2)， ………………2分

由QP?QF?FP?FQ，得2(y?1)?x2?2(y?1)，

化简得x?4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x?4y．………………4分

（2）轨迹C为抛物线，准线方程为y??1，即直线m，所以M(0,?1)，……………5分 当a?0时，直线m?的方程为x?0，与曲线C只有一个公共点，故a?0．…………6分

22?x?ay?a,x2222所以直线m?的方程为?y?1，由?2 得ay?(2a?4)y?a?0，

a?x?4y，由△?4(a?2)?4a?0，得0?a2?1． ………………8分 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1?y2?所以x1?x2?2244?2，y1y2?1， 2a4，x1x2?4， ………………9分 a若FA?FB，则FA?FB?0，即(x1,y1?1)?(x2,y2?1)?0，

?4?x1x2?y1y2?(y1?y2)?1?0，4?1??2?2??1?0， ………………11分

?a?解得a2?21．所以a??． ………………12分

22??22?,2?1?，线段AB的垂直平分线的一个法向量为n?(a,1)，所?aa?垂

直

平

分

线

的

方

程

为

（3）由（2），得线段AB的中点为?以

线

段

AB的

2??2??a?x????y?2?1??0， ………………15分

a??a??2?1， ………………16分 2a2因为0?a2?1，所以2?1?3．

a令x?0，y0?所以y0的取值范围是(3,??)． ………………18分

23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）

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（理）解：（1）因为a，b，c是互不相等的正数，所以q?0且q?1． 由已知，a，b，c是首项为，公比为q的等比数列，则b?q，c?q，…2分

2?q?1?d当插入的一个数位于b，c之间， 设由4个数构成的等差数列的公差为d，则?2，消去d得

q?1?3d?2q2?3q?2?0，

因为q?1，所以q?2． ………………4分

（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d?0，共插入4个数．

………………5分 若在a，b之间插入个数，在b，c之间插入3个数，则?于是

?b?a?2d，

c?b?4d?b?ac?b2，2b?2a?c?b，q?3q?2?0，解得q?2．………………7分 ?24?b?a?4d若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入个数，则?，

c?b?2d?b?ac?b1于是，2c?2b?b?a解得q?（不合题意，舍去）． ………………9分 ?422?b?a?3d若a，b之间和b，c之间各插入2个数，则?，b?a?c?b，

?c?b?3d解得q?1（不合题意，舍去） ………………11分 综上，a，b之间插入个数，在b，c之间插入3个数． ………………12分

（3）设所构成的等差数列的公差为d，

b?ab?c，又c?b?(t?1)d，d?，…………14分 s?1t?1b?ac?bq?1q(q?1)t?1所以，即，因为q?1，所以???q．………………16分

s?1t?1s?1t?1s?1所以，当q?1，即a?b?c时，s?t；当0?q?1，即a?b?c时，s?t．

由题意，b?a?(s?1)d，d?………………18分

（文）（1）当n?1时，由已知a1?2(a1?1)，得a1?2．

当n?2时，由Sn?2(an?1)，Sn?1?2(an?1?1)，两式相减得an?2an?2an?1， 即an?2an?1，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列．

所以，an?2n（n?N*）． ………………4分 （2）由题意，an?1an?1?an2n?an?(n?1)d，故d?，即d?，………………6分

n?1n?12n?4，即3n?3?2n?4n?4，解得n?4，…………8分 因为3?d?4，所以3?n?1[来源学科网]长宁区、嘉定区2013高三数学二模(文科) 第10页

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1616．所以所得等差数列首项为16，公差为，共有6项．………………10分 536?(16?32)所以这个等差数列所有项的和T??144． ………………11分

2所以，n?4，T?144． ………………12分

所以d?

（3）由（1）知f(n)?2n，所以cn?n?f(n?log2m)?n?2n?log2m?n?2n?log2m

2?n?22n?log2m?n?(2log2m)2n?n?m2n．………………14分

由题意，cn?1?cn，即(n?1)?m所以m2?2n?2?n?m2n对任意n?N*成立，

n1对任意n?N*成立．………………16分 ?1?n?1n?111因为g(n)?1?在n?N*上是单调递增的，所以g(n)的最小值为g(1)?．

n?12?12??． 所以m2?．由m?0得m的取值范围是?0,?22???所以，当m??0,

???2??时，数列{cn}是单调递减数列． ………………18分 2??长宁区、嘉定区2013高三数学二模(文科) 第11页

2013年上海市17区县高三数学二模真题系列卷——长宁嘉定区数学（文科）

1616．所以所得等差数列首项为16，公差为，共有6项．………………10分 536?(16?32)所以这个等差数列所有项的和T??144． ………………11分

2所以，n?4，T?144． ………………12分

所以d?

（3）由（1）知f(n)?2n，所以cn?n?f(n?log2m)?n?2n?log2m?n?2n?log2m

2?n?22n?log2m?n?(2log2m)2n?n?m2n．………………14分

由题意，cn?1?cn，即(n?1)?m所以m2?2n?2?n?m2n对任意n?N*成立，

n1对任意n?N*成立．………………16分 ?1?n?1n?111因为g(n)?1?在n?N*上是单调递增的，所以g(n)的最小值为g(1)?．

n?12?12??． 所以m2?．由m?0得m的取值范围是?0,?22???所以，当m??0,

???2??时，数列{cn}是单调递减数列． ………………18分 2??长宁区、嘉定区2013高三数学二模(文科) 第11页

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