高等代数（北大版）第6章习题参考答案

第六章 线性空间

1.设M?N,证明：MN?M,MN?N。

证 任取??M,由M?N,得??N,所以??M?N,即证M?NM。又因

M?N?M,故MN?M。再证第二式，任取??M或??N,但M?N,因此无论

N?N。

哪 一种情形，都有??N,此即。但N?M?N,所以M2.证明M?(N?L)?(M?N)?(M?L)，M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。

证 ?x?M?(N?L),则x?M且x?N?L.在后一情形，于是x?M?N或x?M?L.所以x?(M?N)?(M?L)，由此得M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。反之，若

x?(M?N)?(M?L)，则x?M?N或x?M?L. 在前一情形，x?M,x?N,因此

x?N?L.故得x?M?(N?L),在后一情形，因而x?M,x?L,x?Nx?M?(N?L),故(M?N)?(M?L)?M?(N?L),

于是M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。 若x?M（NL，得

L），则x?M，x?NL。 L，因而x?（MN）（ML）。

在前一情形Xx?MN， 且X?M在后一情形，x?N,x?L,因而x?MN,且X?M （MN）（ML）?M（NL）故 M（N即证。L）=（MN）（ML）L，即X?（MN）（ML）所以 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1） 次数等于n（n?1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2） 设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量

乘法；

3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

（a1，b1）（?a?b?（a1?a2，b1?b2?a1a2）

（kk?1）2k。（a1，b1）=（ka1，kb1+a12

6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： ka?0； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：

ka?a；

8） 全体正实数r，加法与数量乘法定义为：

a?b?ab，ka?ak；

解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如

（x?5）?（?x?2）?3。

2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}

因为

f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x） 所以

f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）

由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有

?=A+B?=-A-B=-? ，A+B仍是反对称矩阵。 （A+B）（A+B）??K?A ，所以kA是反对称矩阵。 （KA）?（K?）A??（）KA故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，a-b）。对于数乘：

2nn1(1?1)2a)?(a,b),2l(l?1)2l(l?1)k(k?1)k.(l.(a,b)?k.(la,lb?a)?(kla,k[lb?a2]?(la)2)222l(l?1)2k(k?1)kl(kl?1)2k(k?1)?(kla,k[lb?a]?(la)2)?(kla,a?(la)2)2222kl(kl?1)2?(kla,a?klb)?(kl).(a,b),2

(k?l)(k?l?1)2(k?l).(a,b)?[(k?l)a,a?(k?l)b]2k(k?1)2l(l?1)2k.(a,b)?l.(a,b)?(ka,kb?a)?(la,lb?a22k(k?1)2k(k?1)2?(ka?la,kb?a?a?kla2)22(k?1)(k?l?1)2?[(k?l)a,a?(k?l)b].21。（a，b）（。?1a，1。b?即(k?l)?(a,b)?k?(a,b)?l?(a,b)。

k?[(a1,b1)?(a2,b2)]?k?(a1?a2,b1?b2?a1a2)

＝[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2?k(k?1)(a1?a2)2)]， 2k?(a1,b1)?k?(a2,b2)

k(k?1)2k(k?1)2a1)?(ka2,kb2?a2) 22k(k?1)2k(k?1)2＝(ka1?ka2,kb1?a1?kb2?a2?k2a1a2)

22k(k?1)2k(k?1)2＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?a1??a2?k2a1a2?ka1a2)

22k(k?1)222＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?(a1?a2))，

2＝(ka1,kb1?即k?(a1,b1)?(a2,b2)?k?(a1,b1)?k?(a2,b2)，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为1???0??.。

7）否，因为(k?l)????,k???l???????2?,所以(k?l)???(k??)?(l??)， 所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足

i)a?b?ab?ba?b?a;ii)(a?b)?c?(ab)?c?abc?a?(bc)?a?(b?c);iii)1是零元：a?1?a?1?a;1111iv)a的负元是:a??a??1,且?a?1;aaaav)1?a?a1?a;vi)(k(la))?k(al)?(al)k?alk?akl?(kl)a;vii)(k?l)a?ak?l?ak?al?(ka)?(la);viii)k(a?b)?k(ab)?(ab)k?akbk?(ka)?(kb).

所以，所给集合R构成线性空间。

?4 在线性空间中，证明：1）k0?0 2）k(???)?k??k?。

证 1）k0?k(??(??))?k??k(??)?k??k(?1)??(k?(?k))??0??0。

2）因为k(???)?k??k(?????)?k?,所以k(???)?k??k?。

5 证明：在实函数空间中，1，cos2t,cos2t式线性相关的。

2证 因为cos2t?2cost?1，所以1，cost,cos2t式线性相关的。

26 如果f1(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互

素，那么他们线性无关。

证 若有不全为零的数k1,k2,k3使k1f1(x)?k2f2(x)?k3f3(x)?0，

不妨设k1?0,则f1(x)??kk2f2(x)?3f3(x)，这说明f2(x),f3(x)的公因式也是f1(x)k1k1的因式，即f1(x),f2(x),f3(x)有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以

f1(x),f2(x),f3(x)线性无关。

7 在P4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标。设

1）?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1),?3?(1,?1,1?1),?4?(1,?1,?1,1),??(1,2,1,1)；

2）?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1),??(0,0,0,1)。

?a?b?c?d?1?a?b?c?d?2?解 1）设有线性关系??a?1?b?2?c?3?d?4，则?，

a?b?c?d?1???a?b?c?d?1可得?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为a?5111,b?,c??,d??。 4444?a?2b?c?0?a?b?c?d?0?2）设有线性关系??a?1?b?2?c?3?d?4，则?，

3b?d?0???a?b?d?1可得?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为a?1,b?0,c??1,d?0。

8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间Pn?n；2）Pn?n中全体对称（反对

称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全

?100????1?3i0?,??体实系数多项式组成的空间,其中A=?0?。

2?00?2???解 1)Pn?n的基是E}(i,j?1,2,...,n),且dim(P?ijn?n)?n2。

???...2) i)令Fij????...?????.........1......1............??...??，即a?a?1,其余元素均为零,则

ijji?...????F11,...,F1n,F22,...,F2n,...,Fnn? 是对称矩阵所成线性空间Mn 的一组基,所以Mn是

n(n?1)维的。 2???...ii)令Gij????...?????.........1......?1............??...??，即a??a?1,(i?j),其余元素均为零,则

ijji?...????G12,...,G1n,G23,...,G2n,...,Gn?1,n?是反对称矩阵所成线性空间Sn的一组基, 所以它是

n(n?1)维的。 2iii) ?E11,...,E1n,E22,...,E2n,...,Enn?是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是n(n?1)2维的。

3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a,可经2线性表出，即.a?(log2a)?2,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。

?1,n?3q?1?3i3?n4)因为??,??1,所以????,n?3q?1，

2??2,n?3q?2??1?22A?于是????4??1??E,n?3q?3???n?,A??1??E， 而A??A,n?3q?1。

??A2,n?3q?2??1?????9.在P中,求由基?1,，?2,?3,?4,到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵,并求向量?在所指基下的坐

标。设

??1???2 1????3???4??1,0,0,0????1??2,1,?1,1?????0,1,0,0????2??0,3,1,0?，?， ???0,0,1,0??????3?5,3,2,1??0,0,0,1????4??6,6,1,3??????x1,x2,x3,x4?在?1,?2,?3,?4下的坐标； ??1??1,2,?10????1??2,1,?0,1?????1,?1,1,1??????0,1,2,2???2?2 2???，?????2,1,1,2?，

?????1,2,1,1?3??3????4??1,3,1,2???4???1,?1,0,1??????1,0,0,0?在?1,?2,?3,?4,下的坐标； ??1??1,1,1,1????1??1,1,0,1?????1,1,?1,?1??????2,1,3,1???2?2 3???，????1,1,0,0?，

????1,?1,1,?1?3??3????4??1,?1,?1,1?????4??0,1,?1,?1????1,0,0,?1?在?1,?2,?3,?4下的坐标；

?2??1解 1?（?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4,）??1??1?056??336?=（?1,?2,?3,?4）A

121??013???1这里A即为所求由基?1,?2,?3,?4,到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，将上式两边右乘得?， ?1得 （?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4）?，

于是

?x1??x1?????xx?2??1?2? ??（?1,?2,?3,?4）??=（?1,?2,?3,?4）???， xx?3??3??x??x??4??4?所以在基下的坐标为

?x1???x?1?2? ???， x?3??x??4??4??9?1?这里??1=27?1??37????2713490?1911??9?123???327?。

2?0??3?126??327??1?2?令e1?(1,0,0,0),e2?(0,1,0,0),e3?(0,0,1,0),e4?(0,0,0,1)则 1?1?1??1??2?12?1??（?1,?2,?3,?4）=(e1,e2,e3,e4)?=(e1,e2,e3,e4)A，

?1110????0111????2??1（?1,?2,?3,?4）=(e1,e2,e3,e4)?0??1?0?21??113?=(e1,e2,e3,e4)B，

211??222??将(e1,e2,e3,e4)=（?1,?2,?3,?4）A?1代入上式,得

?1（?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4）AB，

这里

365??3????131313??13?1134???5??131313?,A?1B=?1??1=?13?02341??????013131313???3278???????131313??13?1001?

?

101?

，

111?

?

010??

且AB即为所求由基?1,?2,?3,?4,到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，进而有

?1??1??????0??0????1,0,0,0?=(e1,e2,e3,e4)??=（?1,?2,?3,?4）A?1??

00?????0??0??????3???13??5???? =（?1,?2,?3,?4）13，

?2?????13?3??????13?所以?在?1,?2,?3,?4下的坐标为?523??3,,?,??。

1313??13133?e1,e2,e3,e4同2?，同理可得

11??11?12????11?1?1??11,A=?B=?031?11?1?????1?1?11??11???11??11??11?1?11??, ??1=?41?11?1????1?1?11???10??11? ?0?1?01??则所求由?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为

?3??4?14??1B=??1???41???4741?4341?41212001???4?3?4?。 1???4?1???4?再令??a?1+b?2+c?3+d?4，即

??1??1????2??2?1,0,0,0???a,b,c,d?????a,b,c,d????13????0?????4?11??131?， ?100?1?1?1??0由上式可解得?在下的坐标为?1,?2,?3,?4下的坐标为 ?a,b,c,d????2,???13??4,????a?1。 22?10．继第9题1）求一非零向量?，它在基?1,?2,?3,?4与?1,?2,?3,?4下有相同的坐标。

解 设?在两基下的坐标为x1,x2,x3,x4，则

???x1??x1?????x?2??x2??,?,??,?,?,? ?=（?1,234）??=（1234）??。

xx?3??3??x??x??4??4?又因为

?2??1 （?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4）??1??1?所以

056??336?=（?1,?2,?3,?4）A，

121??013???x1??x1??x1???????xx?2??2??x2? ??=A???（A - E）??=0。

xxx?3??3??3??x??x??x??4??4??4?又

1 A?E?05623601211112301?1111?0,且?111?0，

于是只要令x4??c,就有

?x1?2x2?3x3?6c? ??x1?x2?x3?c，

?x?x?2c13?解此方程组得

x1,x2,x3,x4=?c,c,c,?c? (c为任意非零常数)， 取c为某个非零常数c0，则所求?为

??c0?1?c0?2?c0?3?c0?4。

11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。

证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。

12.设V1,V2都是线性空间V的子空间，且V1?V2，证明：如果V1的维数与V2的维数相

??等，那么V1?V2。

证 设dim(V1)=r，则由基的扩充定理，可找到V1的一组基a1,a2,.....ar,，因V1?V2，且它们的唯数相等，故a1,a2,.....ar,，也是V2的一组基，所以V1=V2。

13．A?Pn?n。

1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）； 2）当A=E时，求C（A）；

?1???2??3）当A=?时，求C（A）的维数和一组基。

..........................????n???证 1）设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得

A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A， 故 B+D?C(A)。若k是一数，B?C(A)，可得 A（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A， 所以kB?C(A)。故C(A)构成P2）当A=E时，C（A）=Pn?nn?n子空间。

。

3）设与A可交换的矩阵为B=（bij），则B只能是对角矩阵，故维数为n,E11,E22,...Enn即为它的一组基。

14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解 若记

?100??000????? A=?010???000??E?S，

?001??311??????a?并设B=?a1?a?2bb1b2c??c1?与A可交换，即AB=BA，则SB=BS。且由 c2??bb1b2c??0??c1???0?c2???3a?a1?a2003b?b1?b2??0?， 3c?c1?c2??0?000??a???SB=?000??a1?311??a???2

?a?BS=?a1?a?2bb1b2c??c1?c2???000??3c???000??=?3c1?311??3c???2cc1c2c??c1?， c2??可是c1?c?0，

?3a?a1?a2?3c2又 ?，

3b?b?b?c122?即???3c2?3a??a1?a2，

?c2?3b?b1?b2该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a,c2，并 令b=1，其余为0，得c2=3,a=3; 令a1=1，其余为0，得c2=3,a=?令b1=1，其余为0，得c2=1,a=1; 令a2=1，其余为0，得c2=0,a=?令b2=1，其余为0，得c2=1,a=1; 则与A可交换的矩阵为

1; 31; 3?a? B=?a1?a?2bb1b20??0?， c2??其中,a,c2可经b,a1,a2,b1,b2表示,所求子空间的一组基为

?1??00???100??310?3???????000?, ?100? ,?010?, ?003??000??001?????????且维数为5。

?1?00????3?000?? , ?100??????100????000?， ?011???15．如果 c1a?c2??c3??0,且c1c3?0，证明：L?a,??=L??,??。 证 由c1c3?0，知c1?0,所以a可

?,?经线性表出，即?,?可经?,?线性表出，

同理，?,?也可经?,?线性表出。故L?a,??=L??,??。

16．在P中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设

4?a1??2,1,3,1??a?(1,2,0,1)?21）? ，

?a3?(?1,1,?3,0)??a4?(1,1,1,1)?a1??2,1,3,?1??a?(?1,1,?3,1)?2 。 ??a3?(4,5,3,?1)??a4?(1,5,?3,1) 解 1）a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组a1,a2,a4，因此a1,a2,a4为L?a1,a2,a3,a4?的一组基，且的维数是3。

2）a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组为a1,a2，故a1,a2是L?a1,a2,a3,a4?的一组基，且维数为2。 17．在P中，由齐次方程组

4?3x1?2x2?5x3?4x4?0??3x1?x2?3x3?3x4?0 ?3x?5x?13x?11x?0234?1确定的解空间的基与维数。

解 对系数矩阵作行初等变换，有

?32?54??32?54??32?54???????3?3???0?38?7???0?38?7? ?3?1?35?1311??03?87??0000???????所以解空间的维数是2，它的一组基为 a1????18??27?,,1,0?，a2??,,0,1?。 ?93??93?18.求由向量?1,?2生成的子空间与由向量?1,?2生成的子空间的交的基与维数，设 1）??a1??1,2,1,0?

??a??1,1,1,1?2?a1??1,1,0,0?

?a2??1,0,1,1???1??2,?1,0,1?； ?????1,?1,3,7?2??1??0,0,1,1?； ???2??0,1,1,0???1??2,5,?6,?5?。 ??????1,2,?7,3?2 2）??a1??1,2,?1,?2?? 3）?a2?(3,1,1,1)

?a?(?1,0,1,?1)?3解 1）设所求交向量 ??k1?1?k2?2?l1?1?l2?2， 则有 k1?1?k2?2?l1?1?l2?2?0，

?k1?k2?2l1?l2?0?2k?k?l?l?0?1212 即 ??k1?k2?3l2?0??k2?l1?7l2?01?1?2 可算得D?，

?11210111?0， 且20?31?1?711?1?2111?0 ， 0 因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解(k1,k2,l1,l2)＝

(?1,4,?.3,1)，得一组基 ????1?4?2?(?5,2,3,4)，

所以它们的交L(?)是一维的，?就是其一组基。 2）设所求交向量 ??k1?1?k2?2?l1?1?l2?2，

?k1?k2?0?k?l?0?12 则有 ? ，

k?l?l?0?212??k2?l1?0 因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即k1?k2?l1?l2?0,从而 交的维数为0。

3）设所求交向量为 ??k1?1?k2?2?l1?1?l2?2，

?k1?3k2?k3?2l1?l2?0?2k?k?5l?2l?0?1212 即 ?，

??k1?k2?k3?6l1?7l2?0???2k1?k2?k3?5l1?3l2?01由

3?11011?27?0 知解空间是一维的，因此交的维数是1。令l1?1,，可

2?11?21?1?3得l2?0，因此交向量??l1?1?l2?2??1就是一组基。

19． 设V1与V2分别是齐次方程组x1?x2?...?xn?0,x1?x2?...?xn?1?xn的解空间，

n证明：P?V1?V2.

证 由于x1?x2?...?xn?0的解空间是你

n－1维的，其基为

?1?(?1,1,0,...,0),?2?(?1,0,1,...,0),...,?n?1?(?1,0,0,...,1)而由 x1?x2?...?xn?1?xn

知其解空间是1维的，令xn?1,则其基为??(1,1,...,1).且?1,?2,...,?n?1,?即为Pn的一组

nnn基，从而P?V1?V2.又dim(P)?dim(V1)?dim(V2)，故 P?V1?V2.。

20． 证明：如果V?V1?V2,V1?V11?V12,那么 V?V11?V12?V2。 证 由题设知V?V11?V12?V2, 因为 V?V1?V2,所以

dim(V)?dim(V1)?dim(V2)， 又因为V1?V11?V12, 所以 dim(V1)?dim(V11)?dim(V12), 故dim(V)?dim(V11)?dim(V12)?dim(V2)，

即证V?V11?V12?V2。

21. 证明：每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。

证 设?1,?2,...,?n是n维线性空间V的一组基。显然L(?1),L(?2),...,L(?n)都是V

的一维子空间，且 L(?1)?L(?2)?...?L(?n)?L(?1,?2,...,?n)＝V ，又因为

V)， dim(L(?1))?dim(L(?2))?...?dim(L(?n))?dim( 故 V?L(?1)?L(?2)?...?L(?n)。 22．证明：和

?Vi?1si是直和的充分必要条件是Vi?i?1?Vj?1i?1j?{0}(i?2,...,s)。

证 必要性是显然的。这是因为Vi?i?1?Vj?1j?Vi??Vj?{0}，所以

j?1 Vi??Vj?1j?{0}。

s 充分性 设

?Vi?1i不是直和，那么0向量还有一个分解0??1??2?...??s，

其中?j?Vj(j?1,2,...,s)。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是?k(k?s), 则0??1??2?...??k?1??k ，即 ?1??2?...??k?1???k，

因此?k??Vj?1k?1j,?k?Vk,，这与Vk??Vj?{0}矛盾，充分性得证。

j?1k?123. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成

一个三维线性空间R3。

1） 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？

2） 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L1,L2,L3,

问L1?L2,L1?L2?L3能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;

3）就用该三维空间的例子来说明，若U,V,X,Y是子空间，满足U+V＝X，X?Y，是否一定有Y?YU?YV。 解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在

不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。

2)L1?L2 ；

（1）直线l1与l2重合时，是L1?L2一维子空间； （2）l1与l2不重合时，时L1?L2二维子空间。

L1?L2?L3 ：

（1） l1,l2,l3重合时，L1?L2?L3构成一维子空间； （2） l1,l2,l3在同一平面上时，L1?L2?L3构成二维子空间； （3） l1,l2,l3不在同一平面上时，L1?L2?L3构成三维子空间。

3） 令过原点的两条不同直线l1，l2分别构成一维子空间U和V，X＝U＋V是二维子

空间，在l1，l2决定的平面上，过原点的另一条不与l1，l2相同的直线l3构成一维子空间Y，显然Y?X,Y?U?{0},Y?V?{0},因此(Y?U)?(Y?V)?{0}， 故Y?(Y?U)?(Y?V) 并不成立。

二．补充题参考解答

1．1）证明：在P[x]n中，多项式fi?(x??1)...(x??i?1)(x??i?1)...(x??n) （i＝1，2，…，n）是一组基，其中?1,?2,...,?n是互不相同的数；

2)在1）中，取?1,?2,...,?n是全体n次单位根，求由基1，x,...,xn?1到基f1,f2,...,fn

的过渡矩阵。

证 1）设 k1f1?k2f2?...?knfn?0，将x??1代入上式 ，得 f2(?1)?f3(?1)?...?fn(?1)?0,f1(?1)?0， 于是k1＝0。同理，将x??2,...,x??n分别代入，可得

k2?k3?...?kn?0，

所以f1,f2,...,fn线性无关。而P[x]n是n维的，故f1,f2,...,fn是P[x]n的一组基。

2）取?1,?2,...,?n为全体单位根1,?.?,...,?2n?1,则

xn?1?1?x?x2?...?xn?1， f1?x?1xn?1??n?1??n?2x??n?3x2?...??xn?2?xn?1， f2?x?? ...........................................................

xn?1fn?????2x?...??n?1xn?2?xn?1， n?1x???1?n?1??1?n?2 故所求过渡矩阵为?......??1??1?1?n?2...???n?42?...??...?n?21?......?。 ...?n?1??...1?2．设?1,?2,...,?n是n维线性空间V的一组基，A是一个n×s矩阵，且

(?1,?2,...,?s)?(?1,?2,...,?n)A，

证明：L(?1,?2,...,?s)的维数等于A的秩。

证 只需证?1,?2,...,?s的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩。设

?a11...a1r?..?.A??...?..?.?a?n1...anr...a1s??..?..?，

?..?...ans??且rank(A)?r,r?min(n,s)。不失一般性，可设A的前r列是极大线性无关组，由条

??1?a11?1?a21?2?...?an1?n?.............................................??件得??r?a1r?1?a2r?2?...?anr?n，

?...............................................????s?a1s?1?a2s?2?...?ans?n可证?1,?2,...,?r构成?1,?2,...,?r，?r?1,...,?s的一个极大线性方程组。事实上，设

k1?1?k2?2?...?kr?r?0，

于是得(k1a11?...?kra1r)?1?(k1a21?...?kra2r)?2?...?(k1an1?...?kra1r)?n?0，

?a11k1?a12k2?...?a1rkr?0?................................， 因为?1,?2,...,?n线性无关，所以?..........?ak?ak?...?ak?0n22nrr?n11该方程组的系数矩阵秩为r,故方程组只有零解k1?k2?...?kr?0，于是?1,?2,...,?r 线性无关。

其次可证：任意添一个向量?j后，向量组?1,?2,...,?r，?j一定线性相关。事实上，

?a11k1?a12k2?...?a1rkr?a1jkj?0?..........................................设k1?1?k2?2?...?kr?r?kj?j?0，于是?， ?ak?ak?...?ak?ak?0n22nrrnjj?n11其系数矩阵的秩为r

n3. 设f(x1,x2,...,xn)是一秩为n的二次型，证明：有R的一个

1(n?s)维子空间V1 2（其中为符号差），使对任一(x1,x2,...,xn)?V1，有f(x1,x2,...,xn)＝0。

证 设f(x1,x2,...,xn)的正惯性指数为p，负惯性指数为q，则p+q=n。于是存在可逆矩阵，

2222C，Y＝CX，使f(x1,x2,...,xn)＝y1?...?yp?yp?1?...?yp?q，

?p,当p?q时11由(n?s)＝(n?p?q)＝?。 22q,当p?q时?下面仅对 p

?c11x1?...?c1nxn?y1?.................................???cp1x1?...?cpnxn?yp将Y=CX展开，有方程组?，

cx?...?cx?yp?1,nnp?1?p?1,11?..................................???cp?q,1x1?...?cp?q,nxn?yp?q??1?(1,0,...,0,1,0,...,0)'?2'???(0,1,...,0,0,1,...,0)任取?，

.......................?..........p?1,0,...,0)'???(0,...,0,1,0,...,则?1,?2,...,?p线性无关，将?1,?2,...,?p分别代入方程组，可解得?1,?2,...,?p，使得

C?1??1,C?2??2,...,C?p??p，且?1,?2,...,?p线性无关。

下面证明p维子空间L（?1,?2,...,?p）即为所要求得V1。事实上，对任意

X0?L（?1,?2,...,?p），设X0?k1?1?k2?2?...?kp?p，代入Y?CX得

Y0?CX0?k1C?1?k2C?2?...?kpC?p?k1?1?k2?2?...?kp?p?(k1,k2,...kp,k1,k2,...,kp,0,...,0)'故 f?X0AX0?k1?...?kp?k1?...?kp?0 即证V1=L（?1,?2,...,?p）。 4. 设V1，V2是线性空间V的两个非平凡的子空间，证明：在V中存在?，使

'2222V1,??V2同时成立。 ??V1，如果??V2，则命题已证。设??V2 证 因为V1，V2非平凡的子空间，故存在??V2，若??V1，则命题也得证。下设??V1，于是有??V1,??V2及 则一定存在??V2， 因而必有????V1,????V2。事实上，若????V1，又 ??V1，????V1，则由V1是子空间，必有??V1，这与假设矛盾，即证????V1，同理可证 ????V2，证毕。

5． 设V1,V2,...,Vs是线性空间V的s个非平凡的子空间，证明V中至少有一向量?不属

于V1,V2,...,Vs中的任何一个。

证 采用数学归纳法。当n=2时，由上题已证命题成立。

现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立，即在V中至少存在一个向量不属于

V,s?1中任意一个，如果?? V1,V2,...Vs，则命题已证。

若??Vs，对??P,向量k????Vs，且对P中s不同的数k1,k2,...,ks,对应的s个

向量k???(i?1.2....s)中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间

Vi(i?1.2....s?1).换句话说，上述S个向量k???(i?1.2....s)中至少有一个向量不

属于任意一个非平凡子空间Vi(i?1.2....s?1)，记为?0?ki0???，易见?0也不属于

Vs。即证命题对s个非平凡的子空间也成立。即证。

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