天津市河西区—度第二学期高三数学总复习质量调查(二)(理)

河西区2008—2009学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）

数 学 试 卷（理科）

第I 卷 （选择题 共50分）

一、选择题：

（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

1．已知函数()lg(3)f x x =+的定义域为M ，()g x =

N ，则M N 等

于

A ．{|3}x x >-

B ．{|32}x x -<<

C ．{|2}x x <

D ．{|32}x x -<≤

2．设变量,x y 满足约束条件442y x y x y ≤??

+≥??-≤-?

，则目标函数2z x y =-的

最小值为

A ． 4

B ．－5

C ．－6

D ．－8

3．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为 2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为

A ．2π

B ．52

π C ．4π D ．5π

4．给出下列四个命题：

①若,,a b R ∈则2

()4

a b ab +≤；

②“2a <”是“函数2

()1f x x ax =-+无零点”的充分不必要条件；

③2000,0x R

x x ?∈+<；

④命题“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆

命题其中是真命题的为

A ．①③

B ．①②

C ．①④

D ．②③

5．已知向量AB (3,4),AC (2,2)=-=，则ABC ?的面积等于 A ．1

B ．

C ．7

D ．6．执行右边的程序框图，则输出的S 等于 A ．162 B ．165 C ．195 D ．198

7．极坐标系中，点P(2,)6π-到直线π:ρsin(θ)13

l -=的距离是 A

1 B ．1

C

1 D ．3

8．设中心在原点的椭圆1C 的离心率为45

，焦点在x 轴上，且长半轴长为10，若曲线2C 上 任意一点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于6，则曲线2C 的方程为

A ．221955x y -=

B ．22

197

x y -= C ．22110064x y -= D ．22

179

x y -= 9

．已知1262(cos ),log (sin )77

a b c ππ-===，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c << B ．a c b <<

C ．b c a <<

D ．b a c <<

10．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[3,3]x ∈-，

不等式()2()f x t f x +≥，则实数t 的取值范围是

A

．)+∞ B ．

3,)+∞

C

． D

．(-∞

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在题中横线上。）

11．一个学校共有N 名学生，要采用等比例分层抽样的方法从全体学生中抽取样本容量为n 的样本，已知高三年级有m 名学生，那么从高三年纪抽取的学生人数是___________。

12．设复数z 满足2

2(1),12

i i z +-=+则z =___________________。 13．已知函数1

2(0)()(0,1)3(0)

x a x f x a a a x x ?≤?=>≠??->?且是R 上的减函数，则a 的取值范围是________________。

14．已知tan α,tan β是方程2670x x ++=的两个根，且,(,),22ππαβ∈-

则αβ+=______ 15．如图，已知

10与20相交于A ，B 两点，直线PQ 切0， 于P ，与20交于N 、Q 两点，直线AB 交PQ 于M ，若MN

=2，PQ=12，则PM=________________。

16．某班3名同学去参加5项活动，每人只参加1项，同一项活动最多2人参加，则3人参

加活动的方案共有___________种，（用数字用作答）

三、解答题：（本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

已知向量(2cos ,1),(3sin cos ,)m x n x x a ωωω==-，函数()f x m n =?

,(,0)x R ω∈>的最小正周期为2

π，最大值为3。 （I ）求ω和常数a 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间及使()0f x ≥成立的x 的取值集合。

18．（本小题满分12分）

一个袋中装有大小相同的白球和黑球共10个，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1

个白球的概率是1315

。 （I ）求原来袋中白球的个数；

（Ⅱ）从原来袋中任意摸出3个球，记得到黑球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数

学期望

19．（本小题满分12分）

如图，已知三棱锥P —ABC 中，底面ABC ?是边长为又PA=PB=

PC =

（I ）证明平面PAB ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值。

20．（本小题满分12分）

已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，准线方程是2x =-，过点(1,1)M -的直线l 与抛物

线C 相交于不同的两点A ，B

（I ）求抛物线C 的方程及直线l 的斜率k 的取值范围；

（Ⅱ）求||AB （用k 表示）

21．（本小题满分14分）

已知定义在正实数集上的函数2

23(),()4ln ,2

x f x ax g x a x b =+=+其中0a >，设两曲线()x f x =与()f g x =有公共点，且在公共点处的切线相同。

（I ）若1a =，求两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线方程； （Ⅱ）用a 表示b ，并求b 的最大值。

22．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的通项n a 为函数2()(4)2()f x x n x n N *

=++-∈在[0，1]上的最小值和最

大值的和，又数列{}n b 满足：121(1)2n n n nb n b b b S -+-+++=…，其中n S 是首项为1，公比为

89

的等比数列的前n 项和 （I ）求n a 的表达式； （Ⅱ）若n n n c a b =-，试问数列{}n c 中是否存在整数k ，使得对任意的正整数n 都有n k

c c ≤成立？并证明你的结论。

河西区2008—2009学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）

数学试卷（理科）参考答案及评分标准

11．

mn N ； 12．22i -+； 13．1(0,]3； 14．34

π-； 15．4 16．120 三、解答题：（共76分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分） 17．解：（I ）2()23sin cos 2cos f x m n x x x a ωωω=?=-+

2cos21x x a ωω--+ 2s i n (2)1

6

x a π

ω

=-+- 由222

T ππ

ω=

=，得2ω=。 又当sin(2)14

x π

ω-

=时max 213y a =+-=，得2a =

()2sin(4)16

f x x π

∴=-+

（Ⅱ）当242()2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ-≤-

≤+

∈

即

21236

k k x ππππ-≤≤+时函数递增。 故()f x 的单调增区间为[

,]21226

k k ππππ-+，()k Z ∈ 又由2sin(4)106x π-+≥，得1

sin(4)62x π-≥-，

由7242,()666k x kx k Z πππ

π-≤-≤+

∈ 解得223

k k x πππ≤≤+ 故使()0f x ≥成立的x 的集合是{|,}223k k x x k Z πππ≤≤+∈ 18．解：（I ）设袋中有白球x 个，由题意得112102

10C C C 13C 15

x x x

-+=， 即(1)

(10)392

x x x x --+= 解得6x =或13x =（舍），故有白球6个

（法二，设黑球有x 个，则全是黑球的概率为2,15 由2210C 2

C 5

x =

即(1)12x x -=，解得4x =或3x =-（舍），故有黑球4个，白球6个

（Ⅱ）

32112

6646

4333

101010

C C C C C 1

1

3P (0),P (1),P (2)C 6C 2C 10

ξξξ

=

========，

34310C 1P(3)C 30

ξ=== 故分布列为

数学期望11316E ξ012306210305

=?+?+?+?= 19．解：（I ）取AB 的中点O ，连接OP ，OC

PA=PB ∴PO ⊥AB 又在ΔPAO

中，1PA AO AB 2==

=

PO 4∴== 在ΔABC

中，OC ==

PC =222OC PO PC += P O O C ∴⊥ 又AB OC O =，PO ⊥面ABC

又PO ?面PAB ，∴面PAB ⊥面ABC

（Ⅱ）以O 为坐标原点， 分别以OB ，OC ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，

如图，则

A (-

PB (22,0,4)=-

AP (22,0,4),AC (22,26,0)==

设平面PAC 的一个法向量为(,,)n x y z

=。

n AP 0n AC 0??=?∴??=?? 得

40

z ?+=??+=?? 令1

z =，则3

x y == (2,t)3

n ∴=

-

设直线PB 与平面PAC 所成角为θ

于是|n PB|sin |cos ,PB |11|n ||PB |n θ?=<>=== 20．解：（I ）由题意设C 的方程为2y 2px(p 0),=>由p 22

-=-，得p 4=。 2y 8x =

设直线l 的方程为y 1k(x 1)-=+，由2y 8x y 1k(x 1)

?=?-=+?①② ②代入①化简整理得 2222k x (2k 2k 8)x k

2k 10++-+++= 因直线l 与抛物线C 相交于不同的两点，

故2222(2k 2k 8)4k (k 2k 1)0?=+--++>

即220k k +-<，解得21,k -<<又0k =时仅交一点，(2,0)(0,1)k ∴∈-

（Ⅱ）设1122A(x ,y ),B(x ,y )，由由（I ）知

22121222

2k 2k 8k +2k+1x +x ,x x ,k k --=-=

21|AB |1x x |

=+-=

= 2(k (2,0)(0,1))k

=∈- 21．解：（I ）当1a =时，23x 4f (x)x,g(x)4ln x b.(x 0),f '(x)3x 1,g '(x)2x

=+=+>=+= 设曲线y f (x)=与y g(x)=在公共点（00,x y ）处的切线相同，则有00f '(x )g'(x )=

即0043x 1x ,+= 解得01x =或043x =-（舍） 又200034ln 2

x x x b +=+故得5,2b =公共点为5(1,)2， ∴切线方程为 54(1)2

y x -=-，即8230x y --= （Ⅱ）2

4a f '(x)3x a,g '(x)x

=+=，设在（00x ,y ）处切线相同， 故有0000f '(x )g'(x ),f(x )g(x )==

即2

00220004334ln 2

a x a x x ax a x

b ?+=????+=+??①② 由①220000340,()(34)0x ax a x a x a +-=-+=，得004,3

a x a x ==-（舍） 于是22

222354ln 4ln 22

a a

b a a a a a =+-=- 令2

25()4ln (0)2

t h t t t t =->，则'()58ln 4(18ln )h t t t t t t t =--=- 于是当(18ln )0,t t ->即1801e <<时，'()0h t >，故()h t 在18(0,)e 上递增。 当(18ln )0t t -<，即18t e >时，'()0h t <，故()h t 在18(,)e +∞上递减 ()h t ∴在18t e =处取最大值。

∴当18a e =时，b 取得最大值1111484454ln 2.2

e e e e -= 22．解：（I ）2()(4)2

f x x n x =++-的对称轴为42n x +=-，又当n N *∈时，402

n +-<， 故2()(4)2f x x n x =++-在[0，1]上是增函数

(0)(1)21(4)21,n a f f n n ∴=+=-+++-=+即1n a n =+

（Ⅱ）218881()()999

n n S -=++++… 由1212318

88(1)(2)2()

()1999

n n n n nb n b n b b b ---+-+-+++=++++……① 得231221888(1)(2)2()()1999

n n n n n b n b b b -----+-+++=++++……② ①—②得1128()9n n b b b -+++=… 即1128()9

n n n T b b b -=+++=… 当1n =时，111b T ==，当2n ≥时，12218818()()()9999

n n n n n n b T T ----=-=-=-? 21(1)18()(2)99n n n b n -=??∴=?-?≥?? 于是22(1)18()(1)(2)99

n n n n n C a b n n --=??=-=???+≥?? 设存在正整数k ，使对n N *∈，n k C C ≤恒成立。

当1n =时，21703

C C -=>，即21C C > 当2n ≥时，12211818188()(2)()(1)()[(2)9999999

n n n n n C C n n n ---+-=?+-?+=?+ 287(1)]()981

n n n ---+=?。 ∴当7n <时，1n n C C +>，当7n =时，87C C =，当7n >时，1n n C C +< ∴存在正整数7k =或8，对于任意正整数n 都有n k C C ≤成立。

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