讲线的投影

第6讲 2-4直线的投影 教学目标：

1、掌握各类直线投影的基本特性； 2、掌握直线与点及两直线的投影关系； 3、掌握直角投影定理及其应用。

教学重点：直线投影的基本特性直线与点及两直线的投影关系 教学难点： 直角投影定理

教学用具：多媒体，绘图工具。 教学过程： 一、直线的投影

常见的直线是平面立体的棱线，即两平面的交线，如图2-16所示。

直线的投影一般仍为直线 。特殊情况下，直线的投影可积聚成一点，这种性质称为积聚性。

求直线的投影方法：

1、可作出确定该直线的任意两点投影，将这两点投影相连，便可得到直线的投影。 2、已知直线上一点的投影和该直线的方向，也可画出该直线的投影。 二、各类直线及其投影特性

根据直线相对投影面的位置不同，直线可分为三类： （1）一般位置直线； （2）投影面平行线； （3）投影面垂直线。 后两类统称为特殊位置直线。

直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W的倾角，分别用α、β、γ表示。

（一）一般位置直线及投影特性

对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。一般位置直线的三个投影都倾斜于投影轴，如图2-18c所示。

一般位置直线投影不反映该直线的实长，且与相应投影轴的夹角不反映该直线的投影面的倾角。

（二）特殊位置直线及其投影特性 1、投影面平行线

只平行于一个投影面（与另两个投影面倾斜）的直线，称为投影面平行线。其中平行于H面的直线，称为水平线；只平行于V面的直线，称为正平线；只平行于W面的直线，称为侧平线。

投影面平行线的投影特性：

（1）在它所不平行的两个投影面上的投影平等于相应的投影轴，但不反映实长。 （2）在它所平行的投影面上的投影反映实长，其与投影轴的夹角分别反映该直线对另两投影面的真实倾角。

2、投影面垂直线

垂直于一个投影面（必与另两个投影面平行）的直线 ，称为投影面垂直线，其中垂直于H面的直线称铅垂线；垂直于V面的直线 称为正垂线；垂直于W面的直线 称为侧垂线。

表2-2列出了三种投影面垂直线的直观图、投影图、实例及其投影特性。下面以铅垂线为例（参照表2-2）介绍其投影特性：

投影面垂直线投影特性：

（1） 所垂直的投影面上的投影积聚为一点。

（2） 另两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴，逐步形成反映实长。 三、直线与点以及两直线的相对位置 （一）、直线上的点

1、直线上的点有以下特性：

(1) 点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上。反之,如果点的投影均在直线的同面投影上，则点必在该直线上，否则点不在该直线上。

(2) 直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。

由上述可知，点是否在直线上，在一般情况下根据两面投影即可判定。但当直线为某一投影面平行线，而已知的两个投影为该直线所不平行的投影面的投影时，则不能直接确定。

（二）、两直线的相对位置

两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。平行和相交的两直线都是属于同一平面（共面）的直线，而交叉两直线则是不同一平面（异面）的直线。下面分别讨论它们的

投影特性。 1、两直线平行

（1）如果空间两直线互相平行，则两直线的同面投影必定互相平行。反之，若两直线的同面投影都互相平行，则两直线 在空间也必定互相平行。 （2）两直线平行，其长度之比等于各同面投影长度之比。 2、两直线相交

如果两直线在空间相交，则它们的各同面投影必相交，且交点符合一个点的投影规律。反之，如果两直线的各同面投影相交，且交点符合一个点的投影规律，则此两直线在空间必定相交。

[例2—4] 如图2—24所示，过点A作直线AB与直线CD相交于点K，且点K距离H面12mm，点B在点A右方25mm处。

分析 由于求直线AB与已知直线CD相交，则其交点K的投影应在CD的同面投影上。又点K跟H面12mm，即点K的正面投影距OX轴12mm。据此即可作出交点K的投影。然后，连接A与K，并延长，使另一端点B在点A右方25mm处，直线AB即为所求。

作图步骤（如图2—24b所示）：

（1）X轴上方12mm作水平线交c?d?于k?，并由k?求得k。k、k?即为交点k的两个投影。

（2）连接a、k和a?、k?，并

分别延长到点A右方25mm处得b、b?。ab和a?b?即为所求直线AB的两面投影。

3、两直线交叉

如果空间两直线既不平行，又不相交，则称为两直线交叉。交叉两直线不存在共有点，但必存在重影点。

重影点在某一投影中的可见性，一定要相应地从另一投影中用“前遮后、上遮下、左遮右”来判别。 四、直角投影定理

（一）、直线平行投影面的垂直相交两直线的投影

1、定理：垂直相交的两直线，当其中一条直线为投影面平行线时，则两直线在该投影同上的投影也必定互相垂直。反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直且其中有一条直线为该投影面的平行线，则这两直线在空间也必定互相垂直。

2、证明：如图2—26a、b所示，设相交两直线AB⊥AC且AB∥H面。显然，直线AB垂直于ACca（因为AB?Aa,AB?AC）。今ab∥AB，则ab⊥平面AacC,因此，ab⊥ac,亦即∠bac=90。

[例2—5] 如图2—27所示，已知一菱形ABCD的一条对角线AC，以及菱形的一边AB位

?于直线AE上，求该菱形的投影。

分析 菱形的两对角线互相垂直，且交点平分对角线的线长度。

作图步骤（如图2—27b、c所示）：

（1）在对角线AC上取中点K，K点也必定是另一对角线的中点。

（2）AC是正平线，故另一对角线的正面投影垂直于a?c?。先过k?作k?b??a?c?，并与

a?e?交于b?，由k?b求出kb.

（3）在对角线KB的延长线上取一点D，使KB=KD（k?d??k?b?，kd=kb）,则b?d?和bd即为另一对角线的投影。连接各顶点A、B、C、D的同面投影，即得菱形ABCD的两面投影。 二、交叉垂直两直线的投影

1、定理：垂直交叉的两直线，当其中一条直线为投影面平行线时，则两直线在该投影面上的投影也必定互相垂直。反之，若交叉两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一条直线为该投影面的平行线，则这两直线在空间也必定互相垂直。

2、证明：如图2—28a、b所示，设交叉两直线AB⊥MN，且AB∥H面，MN不平行H面。证明见图2—28a;过直线AB上任意点A作直线AC∥MN，则AC⊥AB。由一直线平行投影面的垂直相交两直线的投影特性可知；ab⊥ac,今AC∥MN，则其投影ab∥mn,故ab⊥mn。

作业：P26、P28、P29

于直线AE上，求该菱形的投影。

分析 菱形的两对角线互相垂直，且交点平分对角线的线长度。

作图步骤（如图2—27b、c所示）：

（1）在对角线AC上取中点K，K点也必定是另一对角线的中点。

（2）AC是正平线，故另一对角线的正面投影垂直于a?c?。先过k?作k?b??a?c?，并与

a?e?交于b?，由k?b求出kb.

（3）在对角线KB的延长线上取一点D，使KB=KD（k?d??k?b?，kd=kb）,则b?d?和bd即为另一对角线的投影。连接各顶点A、B、C、D的同面投影，即得菱形ABCD的两面投影。 二、交叉垂直两直线的投影

1、定理：垂直交叉的两直线，当其中一条直线为投影面平行线时，则两直线在该投影面上的投影也必定互相垂直。反之，若交叉两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一条直线为该投影面的平行线，则这两直线在空间也必定互相垂直。

2、证明：如图2—28a、b所示，设交叉两直线AB⊥MN，且AB∥H面，MN不平行H面。证明见图2—28a;过直线AB上任意点A作直线AC∥MN，则AC⊥AB。由一直线平行投影面的垂直相交两直线的投影特性可知；ab⊥ac,今AC∥MN，则其投影ab∥mn,故ab⊥mn。

作业：P26、P28、P29

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