高中数学校本课程(整理)

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竞赛讲座一 函数的性质 第一讲 函数的单调性

一．学习目标

会判断较复杂的函数的单调区间，能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程。 二．知识要点

单调性的定义，复合函数的单调性，抽象函数的单调性 三．例题讲解 例1.已知f(x)

(3a 1)x 4a (x 1)

是( , )上的减函数，那么a的取值范围是

logx (x 1) a

（A）(0,1)

11

（C）[,)

73

1

（B）(0,)

31

（D）[,1)

7

【答案】C

【解析】由题意知f(x) logax(x 1)在(1, )上为减函数，所以0 a 1 ①，

f(x) (3a 1)x 4a(x 1) 在( ,1)上为减函数，所以3a 1 0 ②，且当x 1时，(3a 1) 1 4a loga1 ③，由①②③得答案为C.

例2 已知函数f(x) 【讲解】用定义判断。

x 1 x，判断该函数在区间 0, )上的单调性，并说明理由．

设0 x1＜x2,f(x1) f(x2)=x1 1 x1 x2 1+x2 =

x1 x2

x1 1 x2 1x2 x1

11

=(x1 x2)( )

x1 1 x2 1x2 x1

11

∵x1 1 x2 1＞x2 x1＞0,∴＜

x1 1 x2 1x2 x1

11

又∵x1＜x2 ∴(x1 x2)( )＞0

x1 1 x2 1x2 x1

∴f(x1) f(x2) ∴该函数在区间 0, )上的单调递增。

例3. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间． 【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数 t=－x2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②

对于②f ( t ) = (t 1)+9,可知当t ( ,1)时是增函数，当t (1, )时是减函数。 对于①由t=－x2+2＞1得 1 x 1 ，当x ( 1,0)时是增函数，当x (0,1)时是减函数。

由t=－x2+2＜1得x 1或x 1，当x ( , 1)时是增函数，当x (1, )时是减函数。 由复合函数的单调性可知，f ( x )的单调递增区间是( , 1)和(0,1)。 例4. 已知函数y x

2

+

x2 x1

a

有如下性质：如果常数a

0，那么该函数在上是减函数，在

x

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上是增函数。

2b

(x 0)在 0,4 上是减函数，在 4, 上是增函数，求b的值。 （1）如果函数y x x

（2）设常数c 1,4 ，求函数f(x) x

c

(1 x 2)的最大值和最小值； x

n

（3）当n是正整数时，研究函数g(x) x 【讲解】： (1) 由已知得2b=4, ∴b=4. (2) ∵c∈[1,4], ∴c∈[1,2],

于是,当x=c时, 函数f(x)=x+f(1)－f(2)=

c

(c 0)的单调性，并说明理由。 nx

c

取得最小值2c. x

c 2

, 2

c； 2

当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+

当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c. (3)设0<x1<x2,g(x2)－g(x1)=x2

n

cccnnn

x (x x)(1 ). 121nnnnx2x1x1x2

当c<x1<x2时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在[c,+∞)上是增函数； 当0<x1<x2<c时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在(0,

当n是奇数时,g(x)是奇函数,

c]上是减函数.

函数g(x) 在(－∞,－a]上是增函数, 在[－2a,0)上是减函数. 当n是偶数时, g(x)是偶函数,

函数g(x)在(－∞,－a)上是减函数, 在[－a,0]上是增函数.

3

(x 1) 1997(x 1) 1

例5 设x, y∈R，且满足 ，求x+y. 3

(y 1) 1997(y 1) 1

【讲解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a<b，则

f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)递增。 由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.

例6． 已知函数y f(x)的定义域为R，且对任意x1,x2∈R都有f(x1 x2) f(x1) f(x2)，当x 0时，f(x) 0，f(1) a，试判断在区间[－3,3]上f(x)是否有最大值或最小值，若有，求出其最大值

或最小值，若没有，说明理由. 【讲解】： 设x1,x2∈R且x1 x2，则x2 x1 0，所以f(x2 x1) 0.

∴f(x2) f(x1) f[(x2 x1) x1] f(x1)＝f(x2 x1) f(x1) f(x1) ＝f(x2 x1) 0. ∴f(x2) f(x1)

所以f(x)在R上为减函数，在[－3,3]上，ymax f( 3),ymin f(3).

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因为f(3) f(2 1) f(2) f(1) 3f(1) 3a，令x1 x2 0,则f(0) 0， 令x1 x,x2 x，则f(0) f(x) f( x)，所以f( x) f(x)，所以f(x)为 奇函数，所以在区间[－3,3]上，ymax f( 3) f(3) 3a,ymin f(3) 3a.

例7 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且同时满足：（1）f(1) 3（2）f(x) 0恒成立（3）若

x1 0,x2 0,x1 x2 1，则有f(x1 x2) f(x1) f(x2). 求函数f(x)的最大值和最小值 . 【讲解】：设0 x1 x2 1，∴0 x2 x1 1，由（2）知f(x2 x1) 0.

则f(x2) f(x1) f[(x2 x1) x1] f(x1) f(x2 x1) f(x1) f(x1) ＝f(x2 x1) 0，即f(x2) f(x1)，所以f(x)在[0,1]为增函数. 故函数f(x)在[0,1]的最大值和最小值分别为f(1)和f(0).

在(3)中令x1 x2 0，得f(0) 2f(0)，∴f(0) 0，根据（2）知f(0) 0 ∴f(0) 0，所以函数f(x)的最大值和最小值分别为3和0.

四．课后练习

1.填空：（1）函数y x2 4x 1的递增区间是．

（2）函数y loga( x2 4x 3)递减区间是__ _．

2.奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。 3.解方程：ln(x2 1＋x)＋ln(4x2 1＋2x)＋3x＝0 4. 设f(x)是定义在R上的函数并满足下列两个条件：

①对任意x1,x2∈[0,1]都有f(x1 x2) f(x1)f(x2)；②f(1) a 0且a 1.

12

, n 0时，有5. 已知f(x)是定义在[ 1,1]上的奇函数，且f(1) 1，当m,n [ 1,1]m

f(m) f(n)

0.

m n

11

) （1）证明f(x)在[ 1,1]是增函数；（2）解不等式f(x ) f(

2x 1

（1）求f()；（2）求证：当a 1时，f(x)在 [0,1]上是增函数.

第二讲 函数的奇偶性与对称性

一．学习目标

利用函数的奇偶性及图像的对称性等性质解决与函数有关的问题时，巧妙利用数形结合，使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 二．知识要点 1.奇偶性的定义。

2.奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域。 3.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。 4.对称性的几个结论：若函数y f(x)对定义域内的一切x有： ⑴f( x)=f(x)，则函数图像关于y轴对称。 ⑵f( x)= f(x)，则函数图像关于原点对称。

⑶f(x a)=f(a x)或f(x)=f(2a x)（a为常数），函数图像关于x a对称。 ⑷y f(x)与y=f( x)关于y轴对称；y f(x)与y= f(x)关于x轴对称；

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y f(x)与y= f( x)关于原点对称；y f(x)与x=f(y)关于y x对称。 三．例题讲解 例1．函数f(x) A．y轴对称

1

x的图像关于（ ） x

B． 直线y x对称

C． 坐标原点对称 D． 直线y x对称 【答案】C 【解析】f(x)

1

x是奇函数，所以图象关于原点对称。考查函数奇偶性的性质。 x

例2.函数f(x) x3 sinx 1(x R),若f(a) 2，则f( a)的值为 （ ）

A.3

【答案】B

【解析】f(x) 1 x3 sinx为奇函数，又f(a) 2 f(a) 1 1

故f( a) 1 1即f( a) 0

例3. f ( x )是奇函数，x＞0时，f ( x ) = x · (4－3x)，那么x＜0时f ( x ) = _______． 【答案】x · (4+3x)

【解析】设x＜0，则 x＞0，∴f ( x ) = x · (4+3x)，又∵f ( x )是奇函数∴f( x)= f(x) ∴ f(x)= x · (4+3x)，∴f(x)= x · (4+3x)

例4.设f(x)是连续的偶函数,且当x 0时f(x)是单调函数,则满足f(x) f(为 ( ) A. 3 B.3 C. 8 D.8 【答案】C

【解析】：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足f(x) f(得x 3x 3 0，此时x1 x2 3.又f(x)是连续的偶函数， ∴f( x) f(x)，∴另一种情形是f( x) f(

2

B.0 C.-1 D.-2

x 3

)的所有x之和x 4

x 3x 3

)时，即x 时，x 4x 4

x 3x 32

)，即 x ，得x 5x 3 0，∴x 4x 4

x 3

)的所有x之和为 3 ( 5) 8. x 4

例5.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2 R，有f(x1 x2) f(x1) f(x2) 1,则下列说

x3 x4 5.∴满足f(x) f(

法一定正确的是 （ ） (A) f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数 (C) f(x) 1 为奇函数 （D）f(x) 1为偶函数 【答案】C

【解析】令x 0，得f(0) 2f(0) 1，f(0) 1，

所以f(x x) f(x) f( x) 1 1 ，f(x) f( x) 1 1 0， 即f(x) 1 [f( x) 1]，所以f(x) 1 为奇函数,选C

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例6 函数y = f ( x ) 对任意实数x，总有

（1）f (a－x) = f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论； （2）f (a－x) =－f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论． 【解（1）】 设y = f (a－x) = f ( b + x )则点P (a－x，y)，Q ( b + x， y) 都在函数y = f (x)的图像上．

(a x) (b x)a b

，且P、Q两点纵坐标相等，

22

a ba b

∴ PQ垂直直线x ，且被其平分，∴ P、Q 两点关于直线x 对称 ，

22

∵

而P、Q又是曲线y = f (x)上的动点， ∴ 函数y = f (x)的图像关于直线 x

a b

对称． 2

问题:当a=0,b=0函数f(x)具有什么性质? 特别地，若f（a+x）＝f（a－x），函数f（x）的图象关于直线x＝a对称； 【解（2）】设 y= f (a－x)=－f (b + x ) 则点R (a－x，y)，S ( b+x，－y)都在函数y = f (x) 的图像上．

b x a xa b

a b 22,0）∴ ∴线段RS的中点是定点M（ ．

y y2 0 2

即R、S两点关于定点M 对称，而R、S是曲线y = f (x)上的动点． ∴ 函数y = f (x)的图像关于点 M（

a b

,0）对称． 2

特别地，若f（a+x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称. 例7.已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中:

①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称； ②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称； ③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称； ④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称. 其中正确的命题序号是 . 【答案】④

【解析】①中y f(x)的图像可由y f(x 2)的图像向左平移2个单位得到，∴则函数f（x）的图象关于直线x＝ 2对称；②中条件可得函数（fx）的周期为8；③中函数y＝（f2+x）的图像可由y f(x)的图像向左平移2个单位得到，函数y＝f（2－x）的图象可由函数y=f( x)向右平移2个单位得到，而y f(x)与y=f( x)的图像关于y轴对称，∴函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象仍关于y轴对称；④与③同理。

例8．设函数f(x) x 1 x a的图象关于直线x 1对称，则a的值为（ ） A．3 【答案】A

B．2

C．1

D． 1

【解析】：x 、x a在数轴上表示点x到点 1、a的距离，他们的和f(x) x x a关于

x 1 对称，因此点 1、a关于x 1对称，所以a 3

（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以）

例9. 已知函数f（x）的定义域为{x︱x∈R且x≠1}，f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f（x）＝2x2－x+1，则当x＞1时，f（x）的递减区间是 ( )

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A．［

5

，+∞） 4

B．（1，

577

］ C．［ ，+∞） D．（1， ］ 444

【答案】C

【解析】∵f（x+1）为奇函数，∴其图像关于原点对称，函数y＝f（x）的图像可由y f(x 1)的图像向右平移1个单位得到，∴y＝f（x）的图像关于点（1，0）对称。先画出当x＜1时，f（x）＝2x2－x+1的图像，根据对称性画出当x＞1时的图像，得到f（x）的递减区间是C 例10.设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，

当0≤x≤

3

时，f(x)＝x，则f(2003)＝( ) 2

A.－1 B.0 C.1 D.2003 【答案】A

【解析】法一：∵f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)= －（－f(x)）= f(x) ∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(2003)= f( 1) 又∵f(x)是R上的奇函数 ∴f( 1)= －f(1) ∵当0≤x≤

3

时，f(x)=x ∴f(1)=1 ∴f(2003)= 1 2

法二：∵f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)= －（－f(x)）= f(x) ∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(2003)= f( 1)

∵f(x)是R上的奇函数，∴f( x)＝－f(x) 又∵f(x＋3)＝－f(x) ∴f(x＋3)＝f( x)

∴f(x)的图像关于x=

33

对称，∵当0≤x≤ 时，f(x)＝x，可根据对称性画出在区间[0,3]上的22

图像，再根据奇函数图像关于原点对称，画出在区间[ 3,0]上的图像由图可知f(2003)= f( 1)= 1

四．课后练习

1. 设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 （ ）

(A)f(x)f( x)是奇函数 (B)f(x)f( x)是奇函数

(C) f(x) f( x)是偶函数 (D) f(x) f( x)是偶函数

2. 已知函数 f ( x ) 对任意实数a，b都有 f(a) f(b) 2 f(

a ba b

) f()，且 22

f（0）≠0，则f ( x )是 （ ）

（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）是奇函数也是偶函数 （D）既非奇函数也非偶函数

3.函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为

1

(A)f(x)＝x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)

log2x

(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)

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4..定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150

B.

303

2

C.152 D.

305

2

2

5 函数y = f ( x )在 (-∞,0] 上是减函数，而函数 y = f (x+1)是偶函数．设 a f(log14) ，b = f ( 3 ) ，c = f (π)．那么a，b，c的大小关系是____.

6. (2005年·福建) f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程 f（x）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 ( )

A．2 B．3 C．4 D．5

第三讲 函数的周期性

一．学习目标

能求周期函数的周期，能利用函数的周期性及图像的对称性等性质解决与函数有关的问题提高学生的综合能力，培养学生良好的思维品质。 二．知识要点

1.周期性的定义：如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.

一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期 2. 周期性的几个结论 ①若f（x+a）＝f（x+b）（a≠b），则f（x）是周期函数，︱b－a︱是它的一个周期； ②若f（x+a）＝－f（x）（a≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期； ③若f（x+a）＝

1

（a≠0且f（x）≠0），则f(x)是周期函数2a是它的一个周期. f(x)

三．例题讲解

例1 已知函数f ( x )，对任意实数x，有下面四个关系式成立： （1）f ( x ) =－f (x+a)（a为非零常数）； （2）f ( x ) = f (a－x)（a为非零常数）；

（3）f (a－x) = f (b－x)（a,b为常数且a2 + b2≠0）

（4）f (a－x) =－f (b－x)(a,b为常数且a2+b2≠0） 其中使f ( x )是周期函数的关系式是_______． 【答案】（1），（3），（4） 【解析】考查（1），f ( x )=－f (x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，

函数值相等：

f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a)

∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数，且2a是周期； 考查（2），f ( x )=f (a－x)表明函数f ( x )的图像关于直线 x

a

对称，这不一定能使其为周期函数； 2

考查（3），f (a－x)= f (b－x)表明自变数相差a－b时， 函数值相等， 即 f ( x ) = f (a－b+x) ∴ 等式（3）使f (x)是周期函数，且a－b是周期． 考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表明自变数相差a－b时，函数值互为相反数，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为周期函数，且 2（a－b）是周期． 综上所述，应填（1），（3），（4）．

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例2 f ( x )是R上的以2为周期的周期函数，又是奇函数，且x∈(0，1)时， 则

f(x) log2

1

f ( x ) 在（1，2）上 1 x

（A）是增函数，且f ( x )＞0 （B）是减函数，且f ( x )＞0 （C）是增函数，且f ( x )＜0 （D）是减函数，且f ( x )＜0 【答案】C

【讲解】认识f ( x )在（1，2）上的性质，可以把f ( x )在（1，2）上的解析式求出来，或者由f ( x )的

性质去推断：

∵ f ( x )的周期是2． ∴ f ( x )在（1，2）和（－1，0）的性质一致，

∵ f ( x )是奇函数，∴ f ( x )在（－1，0）和（0，1）上的增减性相同，但符号相反．

因此，函数 f (x)在（0 , 1）上与（1，2）上的增减性相同，而符号相反． 【解法1】0＜x＜１ 0＜１－x＜１

11 1 log2 0 1 x1 x

11

是增函数 log2是增函数， 1 x1 x

在（0，1）上，1－x是减函数，

于是，f ( x )在（1，2）上是增函数，且f ( x )＜0．

故选（C）．

【解法2】设x∈(1，2) 则－1＜x－2＜0 且 f ( x ) = f (x－2)，

∵ －1＜x－2＜0, ∴ 0＜2－x＜1

于是， f(2 x) log2

11

log2

1 (2 x)x 1

∵ f (x) 是奇函数，∴ f (2－x)＝－f (x－2)， ∴f(x) log2

1

log2(x 1) x 1

可见，f (x) 在（1，2）上是增函数，且f (x )＜0 故选（C）．

例3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证:2m是f(x)的一个周期. 【证明】：因为f(x＋m)＝f(x－m)

令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m 于是f(t＋2m)＝f(t)对于t∈R恒成立， 所以f(x)是以2m为周期的周期函数. 例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝

1 f(x)

1 f(x)

求证:2m是f(x)的一个周期. 1 f(x)

1 【证明】：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] 1 f(x m)1 f(x)＝f(x)

1 f(x m) 1

1 f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.

例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x), 求证:2|a－b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 【证明】：不妨设a＞b

于是f(x＋2(a－b))＝f(a＋(x＋a－2b))＝f(a－(x＋a－2b))＝f(2b－x) ＝f(b－(x－b))＝f(b＋(x－b)) ＝f(x) ∴ 2(a－b)是f(x)的一个周期 当a＜b时同理可得

所以，2|a－b|是f(x)的周期

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例6.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) 若f(0)＝2004，求f(2004) 【解】：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) 所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)

两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2) 即：f(x＋3)＝－f(x) ∴ f(x＋6)＝f(x)

f(x)是以6为周期的周期函数

∵2004＝6³334 ∴ f(2004)＝f(0)＝2004

例7 f (x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f (x+2)＝－f (x)，且x [0，1]时， f (x)＝x，则f (x)在R上的解析式为

【解】∵ f (x+2)＝－f (x)，∴ f (x+4)＝－f (x+2)＝f (x)，

∴ f (x)是周期函数，4是周期．

∵ f (－x)＝－f (x)．∴ f (x+2)＝f (－x)， ∴ f (x)的图像关于x＝1对称，

由上述这些性质，及x [0，1]时，y=x，

得知f (x)的图像如下：其中斜率为1的线段过点（4m，0），

其中斜率为－1的线段过点（4m+2，0）．

故解析式为

4m 1](m Z) x 4m,x [4m 1 ，

f(x)

4m 3],(m Z) (x 4m 2),x [4m 1 ，

例8.已知对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0

⑴求证：f(x)是偶函数；

⑵若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋T)＝f(x)的一个T值(T≠0) ⑴【证明】：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)

又令a＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x) 所以，f(x)为偶函数

⑵【解】：令a＝x＋m，b＝m得f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m)＝0

所以f(x＋2m)＝－f(x)

于是f(x＋4m)＝f[(x＋2m)＋2m]=－f(x＋2m) ＝f(x) 即T＝4m(周期函数)

例9 设 f (x)的定义域为R，其图像关于直线 x＝2 和 x＝0对称，且x [4，6]时，

－

f ( x )＝2 x + 1，那么在区间[－2，0]上，f 1( x )的解析式为 （A）y＝log2(x－4) （B）y＝4－log2(x－1) （C）y＝4+log2(x－1) （D）y＝－log2(x－1) 【答案】B

【分析】如何用好x＝2，x＝0是图像对称轴这个条件，并把两者综合而得新的性质？ 这就要想到： y＝f (x)图像关于x＝a对称 x R时有f (x)＝f (2a－x) 【解】∵y＝f (x)的图像关于x＝0对称， ∴ f ( x )＝f (－x)， ∵ y＝f (x)的图像关于x＝2对称，∴ f (－x)＝f (4+x)． 于是有f ( x )＝f (4+x) ∴ f ( x )是周期为4的函数， 当－2≤x≤0时，0≤－x≤2且－x + 4∈[4，6]

∵ y＝f (x)的图像关于x＝0对称， ∴ f (x)＝f (－x)．

－

∵ 周期为4， ∴ f (－x)＝f (－x+4)＝2x+4+1

－

即在 [－2，0]上，y＝f (x)＝2x+4 +1

－

∴ 2x+4＝y－1 ∴ －x+4＝log2(y－1)

∴x =4－log2(y－1) ∴ [－2，0] 上，f 1(x)＝4－log2(x－1)

四．课后练习

1. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.

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1 f(x)

， 求证:4m是f(x)的一个周期..

1 f(x)

1

3. 函数f x 对于任意实数x满足条件f x 2 ，若f 1 5,则f f 5 __________。

fx2.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)= －

4. 设定义在R上的函数f x 满足f x f x 2 13，若f 1 2，则f 99 ( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）

132 （Ｄ） 213

＋

5. 例11.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N)

①求a100； ②求S100.

6. .设f(x)是一个从实数集R到R的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|≤1,并且

f(x) f(x

1311

) f(x ) f(x ) ，求证:f(x)是周期函数. 4267

竞赛讲座二 三角函数

第四讲 三角函数的性质

一、知识要点

三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目的性与简单性。 二、例题选讲

1．三角函数性质的应用

例1 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 若x

, ，则cosx≤1且cosx>-1，所以cosx ,0 ，

2 2

所以sin(cosx) ≤0,又0<sinx≤1, 所以cos(sinx)>0， 所以cos(sinx)>sin(cosx). 若x 0,

2

，则因为sinx+cosx=2(sinxcos

+sincosx)=2sin(x+)≤2<， 4442

所以0<sinx<

-cosx<， 22

-cosx)=sin(cosx). 2

所以cos(sinx)>cos(

综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)<sin(cosx).

注：本例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。

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2．三角最值问题

例2 已知函数y=sinx+ cos2x，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=2cos , cos2x

则有y=2cos 因为

3

2sin 0 ,

4 4

).

2sin 2sin(

4

4

0

3

，所以 ， 424

所以0 sin( 所以当 当

4

)≤1，

3

，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0， 42

4

，即x=2kπ+

(k∈Z)时，ymax=2. 2

2

【解法二】 因为y=sinx+ cosx

2(sin2x 1 cos2x)=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），

且|sinx|≤1≤ cos2x，所以0≤sinx+ cos2x≤2， 所以当 cos2x=sinx，即x=2kπ+当 cos2x=-sinx，即x=2kπ-

(k∈Z)时, ymax=2， 2

(k∈Z)时, ymin=0。 2

例3 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。 【解】 因为sinA+sinB=2sin

A BA BA B

2sincos, ①

222

sinC+sin

3

C 2sin

2

3cosC 2

C 2

3 2sin

C 2

3, ②

3 2sin

又因为sin

A B

sin2

A B C

4

3cos

A B C

4

3 2sin ，③

3

由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin

≤4sin, 33

所以sinA+sinB+sinC≤3sin

33=, 32

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当A=B=C=

3时，（sinA+sinB+sinC）max=. 32

注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 3．换元法的使用 例4 求y

sinxcosx

的值域。

1 sinx cosx

2 2 2sin(x ). sinx cosx【解】 设t=sinx+cosx=2 2 24

因为 1 sin(x 所以 2 t

4

) 1,

2.

又因为t2=1+2sinxcosx,

x2 1

t2 1 t 1， 所以sinxcosx=，所以y

1 t22

所以

2 1

y 22 1

. 2

因为t -1，所以

t 1

1，所以y -1. 2

2 1 2 1

, 1 1,所以函数值域为y .

22

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 4．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin( x+ )(A,

, >0).

由y=sinx的图象向左平移 个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

，得到y=Asin( x+ )的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不

变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的到y=Asin( x+ )的图象。

1

，最后向左平移

个单位，得

例5 已知f(x)=sin( x+ )( >0, 0≤ ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M

3

,0 对称，且在区 4

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间 0,

上是单调函数，求 和 的值。 2

【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin( + )=sin(- x+ )，所以cos sinx=0，对任意x∈R成立。

又0≤ ≤π，解得 =

， 2

因为f(x)图象关于M

33 3

,0 对称，所以f( x) f( x)=0。

44 4

取x=0，得f( )=0，所以sin

3

4

3

0.

2 4

所以

3 2

k (k∈Z)，即 =(2k+1) (k∈Z). 423

又 >0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+取k=1时， =2，此时f(x)=sin(2x+取k=2时， ≥综上， =

)在[0，]上是减函数； 22

)在[0，]上是减函数； 22

10

，此时f(x)=sin( x+)在[0，]上不是单调函数， 322

2

或2. 3

5．三角公式的应用

例6 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且值。

【解】 因为A=1200-C，所以cos

A C112

，试求cos的

2cosAcosCcosB

A C

=cos(600-C)， 2

1111cos(1200 C) cosC

又由于 00

cosAcosCcos(120 C)cosCcosCcos(120 C)

=

2cos600cos(600 C)1

[cos1200 cos(1200 2C)]2

2

2cos(600 C)1

cos(1200 2C)

2

22，

所以42cos

A CA C

2cos 32=0。 22

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解得cos

A C32A C2

或cos。

2822

又cos

A CA C2

>0，所以cos。 222

sin ( 2 )1 tan ( )

3，且 k , n (n,k Z)。则的值是

sin 22tan

三、课外练习 ⒈ 已知

_________.

2. 若动直线x a与函数f(x) sinx和g(x) cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的最大值为____________.

3.

若0 2 ,sin ，则 的取值范围是________________.

4. 把函数y sinx（x R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象

3上所有点的横坐标缩短到原来的____________.

0 x 2 ) 的值域是______________.

6. 已知f(x) sin x ( 0)，f f ，且f(x)在区间 有最小值，无最

3 6 3 63

大值，则 ＝____．

7. 已知函数f(x)＝3sin( x ) cos( x )(0 π, 0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两

π

相邻对称轴间的距离为.

2

π

（Ⅰ）求f（）的值；

8

π

（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4

6

1

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是2

5. 函数f(x)

倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. 8.

若f(t)

17

g(x) cosx f(sinx) sinx f(cosx),x ( ,). 12

（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin( x ) B（A 0， 0， [0,2 )）的形式； （Ⅱ）求函数g(x)的值域. 9. 设函数f(x) cosx 4tsin

2

xx

cos 4t3 t2 3t 4，x R， 22

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其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t)． （I）求g(t)的表达式；

（II）讨论g(t)在区间( 11)，内的单调性并求极值． 10.

已知函数f(x) 2sin2

π ππ

x 2x，x ． 4 42

（I）求f(x)的最大值和最小值；

（II）若不等式f(x) m 2在x 上恒成立，求实数m的取值范围．

4211. 已知函数f(x) cos x

2

ππ

1π

g(x) 1 sin2x． ， 212

（I）设x x0是函数y f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值． （II）求函数h(x) f(x) g(x)的单调递增区间．

0 ≤12. 如图，函数y 2cos( x )(x R，≤

的斜率为 2． （1）求 和 的值；

π

)的图象与y

轴交于点(0，且在该点处切线2

（2）已知点A ，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的

0 ，

π

2

中点，当y0

π

x0 ，π 时，求x0的值． 2

第五讲 解三角形

一、知识要点 1．正弦定理：

abc

=2R（R为△ABC外接圆半径）。 sinAsinBsinC

2

2

2

b2 c2 a2

2．余弦定理：a=b+c-2bccosA cosA

2bc

⒊ 面积公式：①S△ABC=

111

absinC=bcsinA=acsinB；

222

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②海伦公式：S△ABC=

p(p a)(p b)(p c)，这里p

a b c

. 2

2

b2p c2q

⒋ 斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD= pq.

p q

注：在上式中，若p=q，则为中线长公式AD 二、例题选讲 1．正弦定理的应用

例1 在 ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c

，a ，tan

2b2 2c2 a2

.

2

A BC

tan 4, 22

2sinBcosC sinA，求A,B及b,c

【解】 由

tan

A BCCC

tan 4得cot tan 4 2222

CCsin

1 4 ∴∴ 4

sincossincos

2222cos

∴sinC ∴C

1

，又C (0, ) 2

5 6

6

，或C

由2sinBcosC sinA得 2sinBcosB sin(B C) 即sin(B C) 0 ∴B C

B C

6

A (B C)

由正弦定理

2 3

abc

得

sinAsinBsinC

1

sinB

b c a 2

sinA例2 如图所示，△ABC内有一点P，使得 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB。

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求证：AP²BC=BP²CA=CP²AB。

【证明】 过点P作PD BC，PE AC，PF AB，垂足分别为D，E，F，

则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆， 所以 EDF= PDE+ PDF= PCA+ PBA= BPC- BAC。

由题设及 BPC+ CPA+ APB=360可得 BAC+ CBA+ ACB=180。

B

所以 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB=60。 所以 EDF=60，同理 DEF=60，所以△DEF是正三角形。

A

P

C

所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin ACB=APsin BAC=BPsin ABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP²BA=AP²BC=BP²AC，得证：

2．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.

例3 在△ABC中，求证：a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则

abc=(x+y)(y+z)(z+x)

2

2

2

8xy yz zx=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)-2abc. 所以a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c) ≤3abc. 3．三角换元

例4 在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a+b+c+4abc<.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

12

2

【证明】 设a=sinαcosβ, b=cosαcosβ, c=sinβ, β 0,

2222

. 2

因为a, b, c为三边长，所以c<

1

, c>|a-b|， 2

从而 0,

222

，所以sinβ>|cosα²cosβ|. 4

2

2

2

2

2

因为1=(a+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca), 所以a+b+c+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)

=sinβcosβ+sinαcosα²cosβ²cos2β =

2

2

2

2

4

2

2

1224

[1-cos2β+(1-cos2α)cosβcos2β] 4

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=

11424

+cos2β(cosβ-cos2αcosβ-cos2β) 44

111442

+cos2β(cosβ-sinβ-cosβ)=. 444

2

2

2

>

所以a+b+c+4abc<. 三、课外练习

1. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（3, 1），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝ 2. 下面有五个命题：

①函数y=sinx-cosx的最小正周期是 .

4

4

1

2

②终边在y轴上的角的集合是{a|a=

k

,k Z|. 2

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把函数y 3sin(2x ⑤函数y sin(x

)的图象向右平移得到y 3sin2x的图象. 36

)在〔0， 〕上是减函数. 2

其中真命题的序号是 （写出所有正确的序号）

3. 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB bcosA （Ⅰ）求tanAcotB的值； （Ⅱ）求tan(A B)的最大值．

4. 在 ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c

，a ，tan

3

c． 5

A BC

tan 4, 22

2sinBcosC sinA，求A,B及b,c

5. 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c 2，C （Ⅰ）若△

ABCa，b；

（Ⅱ）若sinC sin(B A) 2sin2A，求△ABC的面积． 6. 在△ABC中，tanA

． 3

13，tanB ． 45

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（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若△

ABC

7. 设∠A，∠B，∠C是ΔABC的三个内角。若向量m = 1 cos(A B),cos

A B A B 5

n = ,cos ， ，2 2 8

且m n=

9

. 8

1

； 9

(1)求证：tanA tanB=

(2)求

absinC

的最大值。 222

a b c

，边BC B x，周长为y．

8. 在△ABC中，已知内角A

（1）求函数y f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值．

第六讲 平面向量

一、知识要点

1.向量加减法中的三角形法则与平行四边形法则；2.向量加减运算； 3.实数 与向量a的积: a

⑴ 当 0时, a与a同向；⑵ 当 0时, a与a反向；⑶ 当 0时,0a 0.

4.平面向量的数量积: 设两个非0向量a (x1,y1),b (x2,y2), (0 180)是a与b的夹角,则

a b a b cos =x1x2 y1y2.

5.有关的公式,定理：

⑴ 平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数 1, 2,使a 1e1 2e2. ⑵ 两个非0向量的平行与垂直的充要条件:

① a//b a b(或x1y2 x2y1 0)；② a b a b 0(或x1x2 y1y2 0).

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⑶ 线段的定比分点坐标公式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2),且p1p pp2,则

x

y

x1 x2x1 x2

x 1 2

, 中点公式 .

y1 y2

y y1 y2 1 2

p(x,y按)向量a (h,k平)移至点p'(x',y',)即

⑷ 平移公式:如果点

pp' a (h,k)=(x',y') (x,y),整

x' x h

理可得: '.

y y k

二、例题选讲

1．向量定义和运算法则的运用

例1 设O是正n边形A1A2 An的中心，求证：OA1 OA2 OAn O. 【证明】 记S OA1 OA2 OAn，若S O，则将正n边形绕中心O旋转

形重合，所以S不变，这不可能，所以S O.

例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是 .

【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则 2 .

又因为BC与GP互相平分，

所以BPCG为平行四边形，所以BG//PC，所以 . 所以GA GB GC GC CP PG O.

充分性。若 ，延长AG交BC于D，

使GP=AG，连结CP，则 .因为 ，

B 则GB PC，所以GB//CP，所以AG平分BC. 同理BG平分CA. 所以G为重心. 2．证利用定理证明共线

例3 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G.求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2. 【证明】 首先

F

G

E A

2

后与原正n边n

P

C

2

AM 3

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=

11

( ) (2 ) 33

1

( ). 3

其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE BC. 又AH BC，所以AH//CE。

又EA AB，CH AB，所以AHCE为平行四边形。 所以AH EC,

所以 ， 所以 3，

所以OG与OH共线，所以O，G，H共线. 所以OG：GH=1：2. 3．利用数量积证明垂直

例4 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a b.

【证明】|a+b|=|a-b| (a+b)=(a-b) a+2a²b+b=a-2a²b+b a²b=0 a b.

2

2

2

2

2

2

例5 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心.求证：OE CD. 【证明】 设OA a,OB b,OC c，

则

1

(a b)， 2

1 111 1

a c (a b) c a b.

3 226 3

又

1

(a b) c， 2

所以

11 11 1 a c b a b c

36 22 2 12121211

a b c a b a c 41233312222

a²(b-c). （因为|a|=|b|=|c|=|OH|） 3

又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。 所以a²(b-c)=0. 所以OE CD。

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