2019届高考文科数学第一轮开卷速查检测题22

开卷速查 规范特训

课时作业 实效精炼

开卷速查(41) 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题

1．平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C?l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )

A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．直线AR

解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB?γ， ∴R∈γ.

又∵C，R∈β，故CR＝β∩γ. 答案：C

2．若直线l不平行于平面α，且l?α，则( ) A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

解析：依题意，直线l∩α＝A(如图)．α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线，故选B.

答案：B

3．如图所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )

A．A、M、O三点共线 B．A、M、O、A1不共面 C．A、M、C、O不共面 D．B、B1、O、M共面

解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC， ∴A1、C1、C、A四点共面．

∴A1C?平面ACC1A1.

∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1. 又M∈平面AB1D1，

∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点． 同理OA为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点． ∴A、M、O三点共线. 答案：A

4．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )

A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.

答案：A

5．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件

D．既非充分又非必要条件

解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．

答案：A

6．下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：只有第四个图中的四点不共面． 答案：A

7．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )

①P∈a，P∈α?a?α ②a∩b＝P，b?β?a?β

③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α ④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a?α，∴①错；a∩β＝P

时，②错；

如图，∵a∥b，P∈b，∴P?a， ∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b?α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确． 答案：D

8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )

A．1 C．3

解析：有2条：A1B和A1C1. 答案：B

9．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )

B．2 D．4

A．点A

C．点C但不过点M

B．点B D．点C和点M

解析：∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上． 同理可知，点C也在γ与β的交线上． 答案：D

10．如图所示是三棱锥D-ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( )

312A.3 B.2 C.3 D.2 解析：该题我们可以通过补形处理，由于△ABC中AB＝AC，且∠A＝90°，同时AD⊥平面ABC.将该三棱锥补形为直三棱柱DB′C′-ABC，则异面直线DO和AB所成角等于△B′DO中∠B′DO的度数．

其中B′D＝2，DO＝DA2＋AO2＝B′O＝答案：A 二、填空题

11．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是______．

2

2

1＋?2?2＝3，

3

B′B＋BO＝3，可得cos∠B′DO＝3.

①

②

③

④

解析：在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、

R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．

答案：①②③

12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．

解析：如图，连接D1M，可证D1M⊥DN.

又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1?平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1， ∴DN⊥平面A1MD1， ∴DN⊥A1M，即夹角为90°. 答案：90°

13．如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，

AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．

解析：在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BH⊥AE于H，连接B1H，则在Rt△AHB1中，∠B1AH为AB1与BD所成角．设3AB＝1，则A1A＝2，∴B1A＝3，AH＝BD＝2，

AH1

∴cos∠B1AH＝AB＝2，

1∴∠B1AH＝60°. 答案：60°

14．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有__________．(填上所有正确答案的序号)

解析：如题干图①中，直线GH∥MN；

图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN，因此直线GH与MN异面；

图③中连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H?面GMN， ∴GH与MN异面．

所以图②④中GH与MN异面. 答案：②④ 三、解答题

15．已知，如图，空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AEAHCF

AD上的点，F，G分别是边BC，CD上的点，且AB＝AD＝λ，CB＝CG

CD＝μ(0＜λ，μ＜1)，试判断FE，GH与AC的位置关系．

AEAHCFCG

解析：∵AB＝AD＝λ，CB＝CD＝μ， ∴EH∥BD，FG∥BD.

∴EH∥FG，EH＝λ·BD，FG＝μ·BD. ①当λ＝μ时，EH∥FG，且EH＝FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH. AHCG

AD＝CD，∴HG∥AC. 由公理4知，EF∥GH∥AC. ②当λ≠μ时，EH∥FG，但EH≠FG.

∴四边形EFGH是梯形，且EH，FG为上下两底边，

∴EF，GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG.又EF?平面ABC，HG?平面ADC，

∴P∈平面ABC，P∈平面ADC， ∴P是平面ABC和平面ADC的公共点． 又∵平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈直线AC，

∴三条直线EF，GH，AC交于一点．

综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF，GH，AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF，GH，AC交于一点．

答案：当λ＝μ时，三条直线EF，GH，AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF，GH，AC交于一点．

16．(1)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a和b所成角φ＝45°的直线有几条？

(2)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一 点，则过P点与a和b所成角φ＝60°的直线有几条？

(3)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P

点与a与b所成角φ＝70°的直线有几条？

解析：过点P作直线a′∥a，b′∥b，且a′与b′所确定的平面为α.

(1)过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为45°. (2)过P点在平面α内存在一条直线(120°的角平分线)与a、b所成的角为60°；过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为60°，则与a、b所成的角为60°的直线有3条．

(3)过P点在平面α外a′、b′成60°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，过P点在平面α外a′、b′成120°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，则与a、b所成的角为70°的直线有4条．

答案：(1)2；(2)3；(3)4.

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1．设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )

A．不存在 C．恰有4个

B．只有1个 D．有无数多个

解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．

答案：D

2．[2018·广州模拟]在正四棱锥V-ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为( )

πA.6 πC.3

πB.4 πD.2

解析：如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V-ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD

是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异π

面直线VA与BD所成角的大小为2. 答案：D

3．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：AB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有三对．

答案：C

4．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的

棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是( )

A．(0，2) C．(1，2)

B．(0，3) D．(1，3)

解析：如图所示的四面体ABCD中，设AB＝a，则由题意可得CD＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD中点E，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD且AE＝BE＝

?2?22

1－??＝2，显然A，B，

?2?

2

E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×2>a，解得0

答案：A

5．[2018·西安模拟]在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是__________．

解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．

设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE

中，易求得FD＝2a，DE＝2a，FE＝6a， 2a2＋2a2－6a21

根据余弦定理，得cos∠FDE＝＝－2，

2×2a×2a所以∠FDE＝120°.

所以直线PC与AB所成角的大小是60°. 答案：60°

6．[2018·许昌调研]如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF

1

与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊2AD，BE綊1

2FA，G，H分别为FA，FD的中点．

(1)求证：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 解析：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD， 1

所以GH綊2AD.

1

又BC綊2AD，故GH綊BC. 所以四边形BCHG是平行四边形． (2)C，D，F，E四点共面． 理由如下：

1

由BE綊2AF，G是FA的中点知，BE綊GF， 所以EF綊BG. 由(1)知BG∥CH，

所以EF∥CH，故EC，FH共面． 又点D在直线FH上， 所以C，D，F，E四点共面．

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