第1章函数与极限习题解答资料

第1章 函数与极限习题解答

1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.

解 不一定. 例如, 当x?0时, ?(x)?2x, ?(x)?3x都是无穷小, 但lim?(x)2?(x)不是?,

x?0?(x)3?(x)无穷小.

2. 函数y?xcos x在(??, ??)内是否有界？这个函数是否为当x?? 时的无穷大？为什么？

解 函数y?xcos x在(??, ??)内无界.

这是因为M?0, 在(??, ??)内总能找到这样的x, 使得|y(x)|?M. 例如

y(2k?)?2k? cos2k??2k? (k?0, 1, 2, ? ? ?),

当k充分大时, 就有| y(2k?)|?M.

当x?? 时, 函数y?xcos x不是无穷大.

这是因为M?0, 找不到这样一个时刻N, 使对一切大于N的x, 都有|y(x)|?M. 例如

y(2k??)?(2k??)cos(2k??)?0(k?0, 1, 2, ? ? ?),

222对任何大的N, 当k充分大时, 总有x?2k???N, 但|y(x)|?0?M.

2????

113. 证明: 函数y?sin在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x?0+时的无穷大.

xx11证明 函数y?sin在区间(0, 1]上无界. 这是因为

xx M?0, 在(0, 1]中总可以找到点xk, 使y(xk)?M. 例如当

xk?12k???2(k?0, 1, 2, ? ? ?)

时, 有

y(xk)?2k??当k充分大时, y(xk)?M.

?2,

11 当x?0+ 时, 函数y?sin不是无穷大. 这是因为

xx M?0, 对所有的??0, 总可以找到这样的点xk, 使0?xk??, 但y(xk)?M. 例如可取 1(k?0, 1, 2, ? ? ?), 2k?当k充分大时, xk??, 但y(xk)?2k?sin2k??0?M.

4. 计算下列极限:

xk?(1)limx2?1;

x??2x2?x?11?12x?lim?1. 解 lim2x??2x?x?1x??2?1?122xxx2?1(2)limx2?x;

x??x4?3x2?1x2?x?0(分子次数低于分母次数, 极限为零)

x??x4?3x2?11?1x2x3?0. ?lim或 lim4x??x?3x2?1x??1?22?14xxx2?x解 lim1?3)(3)lim(; x?11?x1?x32(1?x)(x?2)x?2??1. 解 lim(1?33)?lim1?x?x?32??lim??limx?11?x1?xx?1(x?1(1?x)(1?x?x)1?x)(1?x?x2)x?11?x?x2(4)limx2sin1; x?0x11解 limx2sin?0(当x?0时, x2是无穷小, 而sin是有界变量).

x?0xx(5)limarctanx.

x??xarctanx?lim1?arctanx?01解 lim(当x?时, 是无穷小, 而arctan x是有界变量).

x??x??xxx(6)limxcotx;

x?0x?cosx?limx?limcosx?1解 limxcotx?lim.

x?0x?0sinxx?0sinxx?0(7)lim1?cos2x; x?0xsinx解法1 lim1?cos2x1?cos2x?lim?lim222x?0x?0x?0xsinxxx?2x?2?2.

1?cos2x?lim2sin2x?2limsinx?2解法2 lim.

x?0xsinxx?0xsinxx?0x(8)lim2nsinn??x(x为不等于零的常数). 2nsinxnxn2?x?x. 解 lim2sinn?limn??2n??x2n1(9)lim(1?2x)xx?0;

11?21解 lim(1?2x)x?lim(1?2x)2x??lim(1?2x)2xx?0x?0x?0?2?e2.

(10)lim(1?x)2x;

x??x解 lim(1?x)2x??lim(1?1)xx??xx??x?2?e2.

5. 利用极限存在准则证明:

1(1)lim1??1; n??n1111证明 因为1?1??1?, 而 lim1?1且lim(1?)?1, 由极限存在准则I, lim1??1.

n??nn??n??nnn(2)limn?n??111??1; ?? ? ? ? ?n2??n2?2?n2?n?n2111n2???n?? ? ? ? ??n2?n?n2??n2?2?n2?n?n2??证明 因为

n2n2?1, lim2?1, 而 lim2n??n?n?n??n??所以 limn?n??111??1?? ? ? ? ?n2??n2?2?n2?n?

(3)lim?x?x?01??1. x1111证明 因为?1????, 所以1?x?x???1. 又因为lim?(1?x)?lim?1?1, 根据夹逼准则,

x?0x?0xxxx1??1.

x?0x6. 无穷小概念题

(1) 当x?0时? 2x?x2 与x2?x3相比? 哪一个是高阶无穷小？ 有lim?x?x?x2?lim?0, 解 因为limx?02x?x2x?02?x所以当x?0时? x2?x3是高阶无穷小, 即x2?x3?o(2x?x2).

x2?x31(2) 当x?1时? 无穷小1?x和(ⅰ)1?x3, (ⅱ)(1?x2)是否同阶？是否等价？

2(1?x)(1?x?x2)1?x3解 (ⅰ)因为lim?lim?lim(1?x?x2)?3,

x?11?xx?1x?11?x所以当x?1时, 1?x和1?x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小. 1(1?x2)1?lim(1?x)?1, ?(ⅱ) 因为lim2x?11?x2x?11所以当x?1时, 1?x和(1?x2)是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.

27. 利用等价无穷小的性质? 求下列极限: 解 (1)limtan3x?lim3x?3.

x?02xx?02x21 n?mn??sin(xn)x?lim??0 n?m. (2) limx?0(sinx)mx?0xm??? n?m (3)limtanx?sinx?lim3x?0x?0sinxsinx(112?1)x1?cosx1cosx2 . ?lim?lim?322x?0x?0sinxcosxsinxxcosx2 (4)因为

xx13 (x?0)， taxn(xc?os??2tanxs2in?~x?22(??)x，

22211131?x2?1~x2(x?0)，1?sinx?1~sinx~x(x?0),

3221?x3sinx?tanx2所以 lim?lim??3. 2x?03x?0121(1?x?1)(1?sinx?1)x?x32 sinx?taxn?8. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补

充或改变函数的定义使它连续: x2?1(1)y?2， x?1， x?2；

x?3x?2x2?1(x?1)(x?1)?解 y?2. 因为函数在x?2和x?1处无定义, 所以x?2和x?1是

x?3x?2(x?2)(x?1)函数的间断点.

x2?1 因为limy?lim2??, 所以x?2是函数的第二类间断点;

x?2x?2x?3x?2(x?1)因为limy?lim??2, 所以x?1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在

x?1x?1(x?2)x?1处, 令y??2, 则函数在x?1处成为连续的.

(2)y?x, x?ktanx, x?k???2 (k?0, ?1, ?2, ? ? ?)；

解 函数在点x?k点. 因lim(k?Z)和x?k?? ?(k?Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断2x??(k

x?k?tanx0), 故x?k(k0)是第二类间断点;

因为limx?1,

x?0tanxlimx?k???2x ??0(k?Z), 所以x?0和x?k??(k?Z) 是第一类间断点tanx2且是可去间断点.

令y|x?0?1, 则函数在x?0处成为连续的;

令x?k?? ? ?时, y?0, 则函数在x?k??处成为连续的. 221(3) y?cos2, x?0；

x解 因为函数y?cos211在x?0处无定义, 所以x?0是函数y?cos2的间断点. 又因为xxlimcos2x?01不存在, 所以x?0是函数的第二类间断点. x?x?1 x?1(4) y??， x ?1。

3 ?x x?1?解 因为lim?f(x)?lim(x?1)?0?x?1x?1x?1?limf(x)?lim(3?x)?2, 所以x?1是函数的第一?x?1类间断点，跳跃间断点。

1?x2n9. 讨论函数f(x)?limx的连续性, 若有间断点, 判别其类型.

n??1?x2n??x |x|?11?x2n?x??0 |x|?1. 解 f(x)?limn??1?x2n?x |x|?1? 在分段点x??1处, 因为lim?f(x)?lim?(?x)?1, lim?f(x)?lim?x??1,所以x??1为

x??1x??1x??1x??1函数的第一类间断点，跳跃间断点。

在分段点x?1处, 因为lim?f(x)?lim?x?1, limf(x)?lim(?x)??1, 所以x?1为函数??x?1x?1x?1x?1的第一类间断点，跳跃间断点。

10.求下列极限: 解 (1) limx?0x1x?1?1(x?1?1)(x?1?1)?lim?lim ?limx?0x?0x?0xx(x?1?1)x?1?1x(x?1?1) ?11?.

0?1?12(2)limx?15x?4?x(5x?4?x)(5x?4?x) ?limx?1x?1(x?1)(5x?4?x)?lim4x?444?lim??2.

x?1(x?1)(5x?4?x?15x?4?x5?1?4?1x)22(3)lim(x?x?x?x)?limx???(x2?x?x2?x)(x2?x?x2?x)(x?x?x?x)22x???

?lim2x(x?x?x?x)22x????lim211(1??1?)xxx????1.

(4)

x12lim(1?)x??x1?lim(1?)xx??x??12?e?e.

1212(5) lim(1?3tan2x)cotx?lim(1?3tan2x)3tanx?0x?02?x??e33.

(6)(3?x)6?xx?12?3???(1?)6?x?6?x?3????3x?16?x2. 因为

?x?36??3x?13lim(1?)3?e， lim???， x??x??6?x6?x22?1?33?xx2所以lim()?e2.

x??6?x(7)limx?01?tanx?1?sinxx1?sinx?x2

?limx?0(1?tanx?1?sinx)(1?tanx?1?sinx)(1?sin2x?1)x(1?sinx?1)(1?sinx?1)(1?tanx?1?sinx)22 x2tanx?(tanx?sinx)(1?sin2x?1)2tanx(1?cosx)2?1。 ?lim?lim?limx?0xsin2x(1?tanx?1?sinx)x?0x?02xsin2xx?x22? ex x?011. 设函数f(x)??? a?x x?0 应当如何选择数a, 使得f(x)成为在(??, ??)内的

连续函数？

解 要使函数f(x)在(??, ??)内连续, 只须f(x)在x?0处连续, 即只须 limf(x)?limf(x)?f(0)?a.

x??0x??0 因为limf(x)?limex?1, limf(x)?lim(a?x)?a, 所以只须取a?1.

x??0x??0x??0x??012. 证明题

(1) 证明方程x5?3x?1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f(x)?x5?3x?1, 则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数.

因为f(1)??3, f(2)?25, f(1)f(2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点?(1<<2), 使f()?0, 即x? 是方程x5?3x?1的介于1和2之间的根. 因此方程x5?3x?1至少有一个根介于1和2之间.

(2) 证明方程x?asinx?b, 其中a>0, b>0, 至少有一个正根, 并且它不超过a?b. 证明 设f(x)?asin x?b?x, 则f(x)是[0, a?b]上的连续函数. f(0)?b, f(a?b)?a sin (a?b)?b?(a?b)?a[sin(a?b)?1]?0.

若f(a?b)?0, 则说明x?a?b就是方程x?asinx?b的一个不超过a?b的根;

若f(a?b)<0, 则f(0)f(a?b)<0, 由零点定理, 至少存在一点?(0, a?b), 使f()?0, 这说明x? 也是方程x=asinx?b的一个不超过a?b的根. 总之, 方程x?asinx?b至少有一个正根, 并且它不超过a?b.

(3)若f(x)在[a, b]上连续, a

n证明 显然f(x)在[x1, xn]上也连续. 设M和m分别是f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小值. 因为xi?[x1, xn](1? i?n), 所以有m?f(xi)?M, 从而有 n?m?f(x1)?f(x2)? ? ? ? ?f(xn)?n?M,

f(x1)?f(x2)? ? ? ? ?f(xn)?M.

n由介值定理推论, 在[x1, xn]上至少有一点? 使 m? f(?)?

f(x1)?f(x2)? ? ? ? ?f(xn).

n

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