实验四MATLAB在方程求解和级数中的应用

实验四

MATLAB在方程求解 MATLAB 和级数中的应用 级数

方程和方程组的求解 线性映射的迭代与特征向量的计算

一、利用MATLAB进行级数运算的方法和技能 在高等数学中，级数一般分为三个部分来叙述， 在高等数学中，级数一般分为三个部分来叙述， 即常数项级数的求和和审敛法则、 即常数项级数的求和和审敛法则、幂级数的审敛 和将函数展开为幂级数、 和将函数展开为幂级数、傅立叶级数的性质和将 函数展开为傅立叶级数。 函数展开为傅立叶级数。

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1.常数项级数的求和与审敛 1.常数项级数的求和与审敛在讨论常数项级数时，一般认为， 在讨论常数项级数时，一般认为，如果级数 的部分和

∑ai =1

∞

i

∑ai =1

n

i

的极限存在，则称该级数收敛， 的极限存在，则称该级数收敛，并称此极

限为级数的和。在MATLAB中，用于级数求和的命令是 限为级数的和。 中 symsum(),该命令的应用格式为： ,该命令的应用格式为： symsum(comiterm,v,a,b) 其中： 为级数的通项表达式， 是通项中的求和 其中：comiterm为级数的通项表达式，v是通项中的求和 为级数的通项表达式 变量， 和 分别为求和变量的起点和终点 如果a, 缺省 分别为求和变量的起点和终点。 缺省， 变量，a和b分别为求和变量的起点和终点。如果 ，b缺省， 则v从0变到 ，如果v也缺省，则系统对comiterm中的默 从 变到v-1,如果 也缺省，则系统对 默 变到 也缺省 认变量求和。 认变量求和南 京 邮 电 大 学Nanjing University of Posts and Telecommunications

1 2n 1 I2 = ∑ I1 = ∑ n 例1:求级数 ： , n =1 n (2 n + 1) 2 n =1∞

∞

的和。 的和。

函数symsum设计如下程序： 设计如下程序： 解：利用MATLAB函数 利用 函数 设计如下程序 clear syms n f1=(2*n-1)/2^n; f2=1/(n*(2*n+1)); I1=symsum(f1,n,1,inf) I2=symsum(f2,n,1,inf) 运行结果为： 运行结果为： I1 =3 I2 =2-2*log(2)南 京 邮 电 大 学Nanjing University of Posts and Telecommunications

本例是收敛的情况，如果发散，则求得的和为 ，因此， 本例是收敛的情况，如果发散，则求得的和为inf,因此， 本方法就可以同时用来解决求和问题和收敛性问题。 本方法就可以同时用来解决求和问题和收敛性问题。∞

sin x , I = ( 1)n 1 ∑ I3 = ∑ 2 4 n =1 n =1 n 程序如下： 解：MATLAB程序如下： 程序如下例2:求级数 求级数 clear syms n x f3=sin(x)/n^2; f4=(-1)^(n-1)*x^n/n; I3=symsum(f3,n,1,inf) I4=symsum(f4,n,1,inf)南 京 邮 电 大 学Nanjing University of Posts and Telecommunications

∞

xn n

的和。 的和。

运行结果为： 运行结果为： I3 =1/6*sin(x)*pi^2 I4 =log(1+x) 从这个例子可以

看出， 从这个例子可以看出，symsum()这个函数不但可以处理常 这个函数不但可以处理常 数项级数，也可以处理函数项级数。 函数项级数 数项级数，也可以处理函数项级数。

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2.函数的泰勒展开级数是高等数学中函数的一种重要表示形式， 级数是高等数学中函数的一种重要表示形式，有许 多复杂的函数都可以用级数简单地来表示， 多复杂的函数都可以用级数简单地来表示，而将一个复杂 的函数展开成幂级数并取其前面的若干项来近似表达这个 函数是一种很好的近似方法，在学习级数的时候， 函数是一种很好的近似方法，在学习级数的时候，将一个 函数展开成级数有时是比较麻烦的， 函数展开成级数有时是比较麻烦的，现在介绍利用 MATLAB展开函数的方法。 展开函数的方法。 展开函数的方法

(泰勒级数逼近计算器taylortool) 泰勒级数逼近计算器taylortool)南 京 邮 电 大 学

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在MATLAB中，用于幂级数展开的函数为 中 用于幂级数展开的函数为taylor(),其具 ， 体格式为： 体格式为： taylor(function,n,x,a) function是待展开的函数表达式，n为展开项数，缺省时 是待展开的函数表达式， 为展开项数， 是待展开的函数表达式 为展开项数 展开至5次幂， 中的变量， 为函数的 展开至 次幂，即6项，x是function中的变量，a为函数的 次幂 项 是 中的变量 展开点，缺省为 展开点，缺省为0,即麦克劳林展开。

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sin( 的幂级数，分别展开至5次 例3:将函数sin(x)展开为 x 的幂级数，分别展开至 次 ：将函数sin 和20次。 次 程序为： 解：MATLAB程序为： 程序为 clear syms x f=sin(x); taylor(f)南 京

结果为： 结果为： ans =x-1/6*x^3+1/120*x^5

taylor(f,20) 邮 电 大 学

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ans=x-1/6*x^3+1/120*x^51/5040*x^7+1/362880*x^91/39916800*x^11+1/6227020800*x^131/1307674368000*x^15+1/355687428096000*x^171/121645100408832000*x^19

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展开为x 的幂级数，为任意常数。 例4:将函数 ：将函数(1+x)m展开为 的幂级数，为任意常数。展开 次幂。 至4次幂。 次幂 程序为： 解：MATLAB程序为： 程序为 clear syms x m f=(1+x)^m; taylor(f,5)南 京 邮 电 大 学

运行结果为： 运行结果为： ans=1+m*x+1/2*m*(m1)*x^2+1/6*m*(m-1)*(m-2)*x^3 +1/24*m*(m-1)*(m-2)*(m3)*x^4

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例5:将函数 ： 级数。 级数。 程序为： 解：MATLAB程序为： 程序为 clear syms x f=1/(x^2+5*x-3); taylor(f,5,x,2)南 京

展

开为 (x 2) 的幂

pretty(ans) 邮 电 大 学

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结果为：ans =29/121-9/121*x+70/1331*(x-2)^2-531/14641*(x2)^3+4009/161051*(x-2)^429 70 2 531 3 4009 4 ----- - 9/121 x + ------ (x - 2) - ------- (x - 2) + ---------- (x - 2) 121 1331 14641 161051

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二、线性方程组、非线性方程、非线性方程组的求解。 线性方程组、非线性方程、非线性方程组的求解。在MATLAB中，由函数 中 由函数solve()、null()、fsolve(),fzero 、 、 , 等来解决线性方程( 等来解决线性方程(组)和非线性方程(组)的求解问题， 和非线性方程( 的求解问题， 其具体格式如下： 其具体格式如下： X=solve(‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’,’var1’,’var2’,…,’var N’) X=fsolve(fun,x0,options) 函数solve用来解符号方程、方程组，以及超越方程，如 用来解符号方程、方程组，以及超越方程， 函数 用来解符号方程 三角函数方程等非线性方程。参数’ 三角函数方程等非线性方程。参数’eqnN’为方程组中的 为方程组中的南 京Nanjing University of Posts and Telecommunications

个方程， 则是第N个变量 第N个方程，’varN’则是第 个变量。 个方程 则是第 个变量。

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函数null(A)则用来解线性方程组 则用来解线性方程组AX=O的基础解系，实际 的基础解系， 函数 则用来解线性方程组 的基础解系 是求系数矩阵A的零空间， 函数中可加入参数’ , 是求系数矩阵 的零空间，在null函数中可加入参数’r’, 的零空间 函数中可加入参数 表示有理基。通过求系数矩阵的秩和增广矩阵的秩， 表示有理基。通过求系数矩阵的秩和增广矩阵的秩，可以 判定方程组是否有解，以及是否需要求基础解系。另外， 判定方程组是否有解，以及是否需要求基础解系。另外， 还可以用函数fzero来求解非线性方程。用法与fsolve类 来求解非线性方程。用法与 还可以用函数 来求解非线性方程 类 似。

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例1:求解方程

x2 x 6 = 0

的MATLAB程序为：

X=solve(‘x^2-x-6=0’,’x’) 结果为：X=3, -2 x2 + y 6 = 0 2 y + x 6 = 0

例2:求解方程组

的程序为：

[X,Y]=solve('x^2+y-6=0','y^2+x-6=0','x','y') 结果为： 结果为： X =2, -3, 1/2-1/2*21^(1/2), 1/2+1/2*21^(1/2) Y =2, -3, 1/2+1/2*21^(1/2), 1/2-1/2*21^(1/2)南 京 邮 电 大 学Nanjing University of Posts and Telecommunications

5 x1 + 4 x3 + 2 x4 = 3 x x + 2x + x = 1 1 2 3 4 例3:求解方程组 的程序为： 3 的程序为： 4 x1 + x2 + 2 x3 = 1 clear x1 +

x2 + x3 + x4 = 0 format rat A=[5, 0, 4, 2;1, -1, 2, 1;4, 1, 2,0;1,1,1,1]; ; B=[3;1;1;0]; ; X=A\B南 京 邮 电 大 学Nanjing University of Posts and Telecommunications

例4:求方程组

x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 = 0 2 x1 + x2 2 x3 2 x4 = 0 x x 4 x 3x = 0 3 4 1 2

的通解的程序 解的程序为： 解的程序 clear format rat A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3] C=null(A,'r') 结果如下： 结果如下：南 京 邮 电 大 学Nanjing University of Posts and Telecommunications

%求出矩阵A的解空间的有理基。 求出矩阵A的解空间的有理基。

C= 2 -2 1 0 5/3 -4/3 0 1

接着，用命令： 接着，用命令： syms k1 k2南 京

X=k1*C(:,1)+k2*C(:,2) 邮 电 大 学

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求出的通解为： X= [ 2*k1+5/3*k2] [ -2*k1-4/3*k2] [ [ k1] k2]

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