上海中考专题训练25题专题训练及答案

1．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分）

在Rt△ABC中，?C?90?，BC?2，Rt△ABC绕着点B按顺时针方向旋转，使

A ABDC点落在斜边上的点，设点

点E重合，联结AE，过点E作直线EM与射线CB垂直，交点为M． （1）若点M与点B重合如图10，求cot?BAE的值；

（2）若点M在边BC上如图11，设边长AC?x，BM?y，点M与点B不重合，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若?BAE??EBM，求斜边AB的长．

E A

D

E A D

C B M B(M) C 图10 图11

2．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）

如图，已知在梯形ABCD中，AD // BC，AB = DC = 5，AD = 4．M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME // DN，MF // AN，联结EF．

（1）如图1，如果EF // BC，求EF的长；

3（2）如果四边形MENF的面积是△ADN的面积的，求AM的长；

8（3）如果BC = 10，试探索△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．

M M A D A D

E E F F

C C B BN N

（图1） （第25题图）

1

3．（本题满分14分）

如图，已知矩形ABCD，AB =12 cm，AD =10 cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F。已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动.设运动时间为t（单位:s）. （1）求证: DE=CF；

（2）设x = 3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；

（3）设△PAQ关于直线PQ对称的图形是△PA'Q，当t和x分别为何值时，点A'与圆心O恰好重合，求出符合条件的t、x的值.

DEFC

P

O

R

ABQ

第25题图

4．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90o，AB=4，AD=3，

sin?BCD?25，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H． 5（1）求证：∠BCD=∠BDC；

（2）如图1，若以P为圆心、PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，求DP的长；

（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．

A

P D H

A

P F B （第25题图1）

D H

B C

C

（第25题图2）

E

2

、5.

6、（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

已知：⊙O的半径为3，OC?弦AB，垂足为D，点E在⊙O上，?ECO??BOC，射线CE CE与射线OB相交于点F．设AB?x, CE?y （1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域； （2）当?OEF为直角三角形时，求AB的长； （3）如果BF?1，求EF的长．

E O D C

第25题

O F B 备用图1

A （备用图2）

3

O

7．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

已知：如图七，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A ＝90°，AD＝6，AB＝8，sinC＝

45，点P在射线DC上， 点Q在射线AB上，且PQ⊥CD，设DP＝x，BQ＝y．

（1）求证：点D在线段BC的垂直平分线上； （2）如图八，当点P在线段DC上，且点Q在线 段AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）若以点B为圆心、BQ为半径的⊙B与以点C 为圆心、CP为半径的⊙C相切，求线段DP的长．

4

A

D B C

A D P

Q B C

A D B C

(图七) （图八） (备用) 1.解：（1）当点M与点B重合，由旋转得：BC?BD?2，AC?ED， ?CBA??EBD，?EDB??C?90?∵EM?CB∴?EBC?90? ∴?CBA??EBD?45?…………1分 ∴?CAB??CBA?45?∴AC?CB?2

A ∴AB?22 …………………………………1分 ∴DE?DB?2

D ∴AD?22?2 ……………………………1分 ∴cot?BAE?E AD?2?1………………1分 DE（2）设EM与边AB交点为G B(M) C

?1??2?90??3??CBA?90?由题意可知：，

又?2??3，∴?1??CBA∵?EBD??CBA，

∴?1??EBD，∵?EDG??BDE，∴△EDG∽△BDE EDDG?∴…………………………………………1分 BDED∵BC?BD?2，AC?ED?x xDGx2∴?，∴DG?…………………………1分 2x2E MBBC?由题意可知：cos?ABC?……………1分 BGAB1 24?xA AB?x2?4，GB?2D y2?∴……………………1分 2 224?xx?4G 3 2C H B M 4?x22 x?4……………………1分 ∴y?2x?4定义域为0?x?2…………………………1分

（3）当点M在边BC上时，由旋转可知：AB?EB，∴?AEB??BAE

设?CBA?x?，则?ABE?x?，∵?BAE??EBM，分别延长EA、BC交于点H ∴?AEB??BAE??EMB?2x?，∵?ABE??BAE??AEB?180?∴x?36 易得：?H??ABH??ABE?36? ，?HBE??BAE??AEB?72? ∴AH?AB?BE，HB?HE，∵?ACB?90?，∴HC?BC?2

ABAE?∴HB?HE?4，∴△BAE∽△HBE，∴，又BE?AB HBBEAB4?ABAE?HE?HA?4?AB，∴?，∴AB??2?25(负值舍去)

4AB∴AB??2?25…………………………2分

当点M在边CB的延长线上时，∵?AEB??BAE，?BAE??EBM

E ∴?AEB??EBM∴AE∥MC∴?BAE??CBA A ∵?CBA??EBA∴?EBM??CBA??EBA

BC∴?CBA?60?，∵cos?CBA?，BC?2

ABD ∴AB?4…………………………2分 综上所述：AB??2?25或4.

5

C B M

2．解：（1）∵ AD // BC，EF // BC，∴ EF // AD．……………………………（1分）

又∵ ME // DN，∴ 四边形EFDM是平行四边形．

∴ EF = DM．…………………………………………………………（1分） 同理可证，EF = AM．…………………………………………………（1分） ∴ AM = DM．

1∵ AD = 4，∴ EF?AM?AD?2．……………………………（1分）

235（2）∵ S四边形MENF?S?ADN，∴ S?AM? ?FS?．ES?DMADN88SS5即得 ?AME??DM?F．……………………………………………（1分）

S?ADNS?ADN8∵ ME // DN，∴ △AME∽△AND．

S?AMEAM2?∴ ．……………………………………………………（1分） S?ADNAD2S?DMFDM2?同理可证，△DMF∽△DNA．即得 ．……………（1分） S?ADNAD2?设 AM = x，则 DM?ADAM?4?．x

x2(4?x)25∴ ??．………………………………………………（1分）

16168即得 x2?4x?3?0．解得 x1?1，x2?3．

∴ AM 的长为1或 3．………………………………………………（1分） （3）△ABN、△AND、△DNC能两两相似． ……………………………（1分）

∵ AD // BC，AB = DC，∴ ∠B =∠C．

由 AD // BC，得 ∠DAN =∠ANB，∠ADN =∠DNC．

∴ 当 △ABN、△AND、△DNC两两相似时，只有 ∠AND =∠B一种情况．……………………………………………………………………（1分） 于是，由 ∠ANC =∠B +∠BAN，∠ANC =∠AND +∠DNC， 得 ∠DNC =∠BAN．∴ △ABN∽△DNC． 又∵ ∠ADN =∠DNC，∴ △AND∽△DNC． ∴ △ABN∽△AND∽△DNC．

ABBNANAD∴ ，． ………………………………………（1分） ??NCCDBNAN5x设 BN = x，则 NC = 10 –x．∴ ?．

10?x5即得 x2?10x?2? x?5．……………………………（1分） 5．解得0经检验：x = 5是原方程的根，且符合题意．

AN4?5． ∴ ∴ BN?CN． ?5AN即得 AN?25．……………………………………………………（1分） ∴ 当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，AN的长为25．

6

3．（本题满分14分）

（1）证:作OH⊥DC于点H，设⊙O与BC边切于点G，联结OG. （1分）

∴∠OHC=90° DEHFC∵⊙O与BC边切于点G ∴OG=6，OG⊥BC

P∴∠OGC=90°

G∵矩形ABCD ∴∠C=90°

O∴四边形OGCH是矩形

R∴CH=OG

∵OG=6 ∴CH=6 （1分）

ABQ ∵矩形ABCD ∴AB=CD 第25题图(1)

∵AB=12 ∴CD=12

∴DH=CD﹣CH=6 ∴DH= CH

∴O是圆心且OH⊥DC ∴EH=FH （2分） ∴DE=CF. （1分）

（2）据题意，设DP=t，PA=10-t，AQ=3t，QB=12-3t，BR=1.5t（0 < t < 4）. （1分）

∵矩形ABCD ∴∠A=∠B=90° 若△PAQ与△QBR相似，则有 ①

3t14APAQ10-t?? t? （2分）

5QBBR12-3t1.5t3tAPAQ10-t?? t1?269?14或t2?-269?14（舍）（2分）

BRQB1.5t12?3t②

（3）设⊙O与AD、AB都相切点M、N，联结OM、ON、OA. ∴OM⊥AD ON⊥AB 且OM=ON=6 又∵矩形ABCD ∴∠A=90° ∴四边形OMAN是矩形

又∵ OM =ON ∴四边形OMAN是正方形 （1分） ∴MN垂直平分OA

∵△PAQ与△PA'Q关于直线PQ对称 ∴PQ垂直平分OA

∴MN与PQ重合 （1分）

∴ MA = PA = 10-t = 6 ∴ t = 4 （1分） ∴AN = AQ = x t = 6 ∴x = ∴当t = 4 和x =

DEHFC(P)MOGRAN（Q）B第25题图(2)

3 （1分） 23时点A'与圆心O恰好重合. 2 7

4

8

5

9

6．解：（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H

∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=x，CE=y

∴BD?1111AB?x，EH?EC?y ………………………………1分 222222236?x2∵在Rt△ODB中，OD?BD?BO，OB=3 ∴OD= ………1分

2∵OC=OE ∴∠ECO=∠CEO ∵∠ECO＝∠BOC

∴∠CEO=∠BOC 又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB

∴△ODB≌△EHO ∴EH=OD …………………………1分

y36?x2 ∴?

22∴y?36?x2……………………………………………………………………1分 函数定义域为（0＜x＜6）………………………………………………………1分 （2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：

①若∠OFE＝90o，则∠COF＝∠OCF＝45o ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=45°

又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠ABO=45°， ∴∠AOB=90° ∴△OAB是等腰直角三角形

∴AB?2?OB?32…………………………………………………2分

②若∠EOF＝90o ， 则∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30o……………………1分 ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=60° 又∵OA=OB

∴△OAB是等边三角形

∴AB=OB=3…………………………………………………………………2分

（3）①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，

OC29?， 可得：△CFO∽△COE，CE＝CF295∴EF＝CE–CF＝?2?． ……………………………………………2分

22②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，

OC29?， 可得：△CFO∽△COE，CE＝CF497∴EF＝CF–CE＝4??． ……………………………………………2分

44

10

7、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 解：（1）作DH⊥BC于H（见图①） …………（1分）

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，

∴∠B＝90°, ∠BHD=90° ∴四边形ABHD是矩形

∴DH=AB，BH=AD …………（1分） 又∵AD＝6，AB＝8 ∴DH=8，BH=6

在Rt△DHC中, sinC＝

4,可设DH=4k, DC=5k 5∴DC=10, HC=102?82?6，

∴BH=HC=6 …………（1分） 又∵DH⊥BC

∴点D在线段BC的垂直平分线上 …………（1分） （2）延长BA、CD相交于点S（见图②）， …………（1分）

∵AD∥BC且BC＝12 ∴AD=∴

1BC 2

SASDAD1??? SBSCBC2∴SD=DC=10，SA=AB=8 ∵DP＝x，BQ＝y, SP=x+10 由△SPQ～△SAD得∴SQ?

SQSD5?? ………（1分） SPSA4

5(x?10) …………（1分） 4557BQ?16?(x?10)??x?

44257∴所求解析式为y??x?， …………（1分）

4214定义域是0≤x≤ …………（1分）

5(说明：若用勾股定理列出：AD?AQ?DP?QB?BC?PC亦可，方法多样．)

（3）由图形分析，有三种情况：

（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，

由BQ+CP=BC，?222222572x??10?x?12，解得x? 423（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，

…………（2分） （ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，

11

57x?, CP = x-10 …………（1分） 425734若两圆外切，BQ+CP=BC，即x??x?10?12,解得x?…………（1分）

423此时BQ?若两圆内切，BQ?CP?BC，即

57x??(x?10)?12 4257x??(x?10)?12 解得x?22 4257x??(x?10)??12 解得x??74（不合题意舍去） 42 …………（1分）

综上所述，⊙B与⊙C相切时，线段DP的长为

234，或22 ． 33 12

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