随机过程复习题

随机过程复习题

一、随机过程的数字特征及平稳性

1、设随机过程Z (t ) =X sint +Y cost，其中X和Y是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，讨论Z(t)的平稳性。

2、设随机过程??t??e?Xt （t>0），其中随机变量X具有在区间（0，

T）中的均匀分布。试求随机过程?（t）的数学期望和自相关函数。 3、有随机过程{?(t)，-?

t+?+?), 其中A，B，?，?为实常数，?均匀分布于[0，2?]，试求R??(s,t) 4、设有随机过程{?(t)，-?

试证：(a)(b)R???t1,t2?=13cost1cost2

1C???t1,t2?=12cost1cost25、随机过程?(t)=sin(Ut)，其中U是在[0，2?]上均匀分布的随机变量。若t?T, 而T=[0，?）, 试分析?（t）的平稳性。

6、随机过程??t?=Acos??0t+??；式中：A、?0是实常数；?是具有均匀分布的随机变量：

??2(0????f???=??2

?(其他）?0分析?(t)的平稳性。

7、随机过程?(t)=Acos(?t+? )，-?

8、设?X?t?,???t????的均值函数为mX(t)，协方差函数为CX(t)，而?(t)是一个普通函数，令Y?t??X?t????t?，???t???，试求?Y?t?,???t????的均值函数和协方差函数。

9、设正弦波随机过程为X?t??Acos?0t，其中?0为常数，A为均匀分布在（0，1）内的随机变量，即

?1,0?a?1 fA?a???0,其他?（1） 画出过程X(t)的两个样本函数的图形； （2） 试求t=0、

的曲线。

10、随机相位的正弦波过程：??t??Acos??t???，其中振幅A为常数，角频率? 取常数，相位? 是一个均匀分布于???,??间的随机变量。 （1） 求该过程的均值、方差、相关函数和协方差函数； （2） 判断?（t）的广义平稳性和遍历性。

11、设随机过程??t??Acos?t?Bsin?t,t?0，其中?为常数，A,B相互独立同分布于N（0，?2）。试求随机过程?（t）的均值函数、相关函数和协方差函数。判别?（t）是否为平稳过程。

12、设随机过程?(t)有二阶矩，f(t)是非随机函数，?(t)= ?(t)+ f(t),

试证：（10分）

??、时，X(t)的一维概率密度，并画出它们4?02?0cov???t?,??s???cov???t?,??s??

二、马尔科夫链

1、 设有4个状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为:

0??1/21/20?1/21/20?0? p???1/41/41/41/4???0001??（1） 试画出该过程的状态传递图并对状态空间进行分解； （2）求出极限分布。

2、把两个黑球和两个白球放在两个坛子中，每次从每个坛子中随机的取出一球，然后把被取出的球交换放到坛子里。设?(n)表示n次交换后第一个坛子里的白球数。

（1）说明?(n)构成一个齐次马尔科夫链，并写出状态空间； （2）写出一步、二步转移概率矩阵。

3、设{?(n)，n=0,1,2,…}是一齐次马尔科夫链，其一步转移概率矩阵为

?0.5?0?P=?0??0.25??0.300.2500.500.500.300.300.7500.2500?0??0.7?

?0?0.4??试分析状态类型。

4、一质点在圆周上做随机游动，圆周上共有N格，质点以概率p顺时针移动一格，以概率q=1-p逆时针移动一格，试确定该过程的状态空间和转移概率矩阵。

5、设有三个状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为

?1?2?1 p???3?1??6121923?0?5?? 9?1?6??（1） 试画出该过程的状态传递图并说明其状态是常返态还是非常返态。 （2）求出极限分布。

6、设有三个状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为

?1?2?1 p???2?0??121413?0?1?? 4?2?3??（1） 试画出该过程的状态传递图并说明其状态是常返态还是非常返态。 （2）求出极限分布。

7、设时齐马尔可夫链的转移概率矩阵为：

?0.30.30.40??0.50.5?00? P???0.250.2500.5???00.500.5??（1）问马尔可夫链有几个状态？

（2）画出状态传递图，并分析各个状态为常返态还是非常返态？ 8、一质点沿圆周游动。圆周按顺时针、等距排列五个点（0，1，2，

3，4）把圆周分成五个格。质点每次游动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为p，逆时针转一格的概率为1-p。设?(n)代表经过n次转移后质点所处的位置（即状态），?(n)是一个齐次马尔可夫链。试求： （1）状态空间；

（2）一步转移概率矩阵； （3）极限概率分布。

9、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移开率矩阵为：

?1?2?1?P????3?1??6121923?0?5?? 9?1?6??试对经过长时间后的销售状况进行分析。

10、试对以下列矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。

0??0.700.30?0.10.80.10?0??0? （1）P??0.400.60??0000.50.5???000.50.5??0??1?4?1?（2）P??2?0?0???13412000001130?0??00?? 00?20??300??011、马氏链的一步转移概率矩阵为：

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