2013年全国1卷高考理科数学试卷及答案（精校word详细解析版）

2013年普通高等学校招生全国统一考试

全国课标Ⅰ理科数学

一、 选择题：共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的一项. 1.已知集合A?x|x?2x?0,B?x|?5?x?5，则 ( ) A.A∩B=? B.A∪B=R C.B?A

D.A?B

(

)

?2???2.若复数z满足(3?4i)z?|4?3i|，则z的虚部为 A.?4 B.?4 5 C.4 D.

4 53.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已

了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样

x2y254.已知双曲线C：2?2?1（a?0,b?0）的离心率为，则C的渐近线方程为

ab2A.y??111x B.y??x C.y??x D.y??x

2435.运行如下程序框图，如果输入的t?[?1,3]，则输出s属于

A.[?3,4] B.[?5,2] C.[?4,3] D.[?2,5]

6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在

容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A.

500?866?1372?2048?cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 33337.设等差数列?an?的前n项和为Sn,Sm?1??2,Sm?0,Sm?1?3，则

m? ( )

A.3 B.4 C.5 D.6

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．16?8? B．8?8? C．16?16? D．8?16? 9.设m为正整数，(x?y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，

(x?y)2m?1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a?7b，则m? ( )

A.5

B.6

C.7

D.8

x2y210.已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A,B两点.

ab若AB的中点坐标为(1,?1)，则E的方程为 ( )

x2y2??1 A.

4536

x2y2??1 B.

3627

x2y2??1 C.

2718x2y2??1 D.

189??x2?2x,x?011.已知函数f(x)??，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是

?ln(x?1),x?0A．(??,0] B．(??,1] C．[?2,1] D．[?2,0]

12.设?AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，?AnBnCn的面积为Sn，n?1,2,3,，若

b1?c1,b1?c1?2a1，an?1?an,bn?1?cn?anb?an,cn?1?n，则( ) 22

A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列

C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t) b，若bc=0，则t=_____. 14.若数列{an}的前n项和为Sn＝

21an?，则数列{an}的通项公式是an=______. 3315.设当x??时，函数f(x)?sinx?2cosx取得最大值，则cos??______

16.若函数f(x)=(1?x)(x?ax?b)的图像关于直线x??2对称，则f(x)的最大值是______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3 ，BC=1，P为△ABC内一点，

∠BPC＝90° 1

(1)若PB=2，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

2218.（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为

1，且各件产品2是否为优质品相互独立.

（1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.

20.(本小题满分12分)已知圆M:(x?1)?y?1,圆N:(x?1)?y?9,动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

222221.（本小题满分共12分）已知函数f(x)＝x?ax?b，g(x)＝e(cx?d)，若曲线y?f(x)和曲线y?g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y?4x?2

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.

（Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=

，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径.

2x

23.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

?x?4?5cost已知曲线C1的参数方程为?(t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴

y?5?5sint?建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2sin?. （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)=|2x?1|?|2x?a|,g(x)=x?3. （Ⅰ）当a= -2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

（Ⅱ）设a＞ -1,且当x∈[?

a1，)时，f(x)≤g(x),求a的取值范围. 222013年全国课标Ⅰ理科数学参考答案

一、选择题

1．B. 2．D. 3．C. 4．C 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．D 11．D 12．B 二、填空题

13．t=2. 14．an=(?2)三、解答题

17．（Ⅰ）由已知得，∠PBC=60，∴∠PBA=30，在△PBA中，由余弦定理得

o

n?1. 15．?25. 16．16 5o1177； PA2=3??2?3?cos30o=，∴PA=4242（Ⅱ）设∠PBA=?，由已知得，PB=sin?，在△PBA中，由正弦定理得，3sin??，

sin150osin(30o??)化简得，3cos??4sin?， ∴tan?=

33，∴tan?PBA=. 4418．（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，A1B，A1E， ∵AB=AA1，?BAA1=60，∴?BAA1是正三角形，

∴A1E⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵CE?A1E=E，∴AB⊥面CEA1， ∴AB⊥AC1； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，EA1⊥AB，

又∵面ABC⊥面ABB1A1，面ABC∩面ABB1A1=AB， ∴EC⊥面ABB1A1，∴EC⊥EA1，

∴EA，EC，EA1两两相互垂直，以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O?xyz，

有题设知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),则BC=（1,0，3）,

0BB1=AA1=(－1,0,3),AC1=(0,－3,3), ……9分

???n?BC?0?x?3z?0设n=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量,则?,即?,可取n=（3，1，-1），

???n?BB1?0?x?3y?0∴cosn,A1C=

n?A1C1010， ∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为.……12分

5|n||A1C|519．设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品

为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥， ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=C4()?（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且 P(X=400)=1-C4()?∴X的分布列为 X P 400 500 800 331221141413?()+()?=.…6分 22226412311411111313?()=，P(X=500)=，P(X=800)=C4()?=， 22161622411 161 161 4 ……10分 EX=400×

1111+500×+800×=506.25 ……12分 1616420．由已知得圆M的圆心为M（-1，0）,半径r1=1，圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R.

（Ⅰ）∵圆P与圆M外切且与圆N内切，∴|PM|+|PN|=(R?r1)?(r2?R)=r1?r2=4， 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除

x2y2??1(x??2). 外)，其方程为43（Ⅱ）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|-|PN|=2R?2≤2，∴R≤2,

当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2. ∴当圆P的半径最长时，其方程为(x?2)?y?4， 当l的倾斜角为90时，则l与y轴重合，可得|AB|=23. 当l的倾斜角不为90时，由r1≠R知l不平行x轴，设l与x轴的交点为Q，则

0022|QP|R=，可求得

|QM|r1

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