研究生高等代数复习题 - 图文
更新时间:2024-03-20 04:48:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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1.设?是数域P上线性空间V的线性变换且A2?A,证明:
(1)?的特征值为1或0;(2)A?1(0)????A(?)??V?;(3)
V?A?1(0)?A(V).
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换,证明:?的不变子空间W的正交补W?也是?
的不变子空间.
?1234??3.已知复系数矩阵
A??0123????001?, (1) 求矩阵2A的行列式因子、不变因子
?0001??和初等因子;(2)若当标准形.(15分)
4.已知二次型
f(x221,x2,x3)?2x1?3x2?3x2,
(a?0)通过某
3?2ax2x3个正交变换可化为标准形f?y222(1)写出二次型对应的矩阵A及1?2y2?5y,
3A的特征多项式,并确定
a的值; (2)求出作用的正交变换.
6.
设
A为
n阶方阵,
W1??x?Rn|Ax?0?,
W??x?Rn|(A?E)x?0?证明
A为幂等矩阵,则Rn2?W1?W.
2
7.若设W=
?f(x)f(1)?0,f(x)?R[x],
n?证明:W是
R[x]n的子空间,并求出W的一组基及维数.
8.设V是一个n维欧氏空间,?1,?2,L,?m为V中的正交向量组,令
W???(?,?)?0,??V,i?1,2,L,m?
i(1)证明:W是V的一个子空间;(2)证明:W??L??,.
1?2,L,?m?
?3?100??9.试求矩阵?1100?A???3053??的特征多项式、最小多项式. ? ?4?13?1??
10.在线性空间
Pn中定义变换?:?(x1,x2,L,xn)?(0,x2,L,xn)
(1)证明:?是
Pn的线性变换.(2)求值域?(Pn)及核??1(0)的基和维数.
n11.证明二次型f(x2n1,L,xn)?n?xi?(?x2i) (n?2)是半正定
i?1i?1的.
f(x22?x212.求
?的值,使
1,x2,x3,x4)??(x1?x23)?2x1x2?2x2x3?2x1x3?x24是正定二次型. (12分)
?11?1?13.设
A?????3?33???(1)求A的不变因子.(2)求A的若当标准形. ?2?22??
?2?1?11?14.设R4?的线性变换?在标准基下的矩阵为??121?1?A???, ??112?1??1?1?12??(1)求?的特征值和特征向量, (2)求
R4的一组标准正交基,使?在此基下的矩阵为对角矩阵.
15.设?1,?2,?3,?4是四维线性空间V的一组基,线性变换?在这组基下的矩阵为
?1021???1213?A????1??(1)求线性变换?的秩,(2)求线性变换?核与值域. 255?2?21?2??
16.求正交变换使二次型2x2?4xx?x2?4x2x化为标准形,并判定该二次型是
11223否正定.
17.设
e,e,L,e是5维的5的一组标准正交基,
125欧几里得空间
R?1?e2?e3,?2??e?eV12?e4,?,求1?L(?1,?2?,3,其中)3V的一组
?4e11?5e2?e5标准正交基.
18. 设A?(a)是
,i?jijn?n矩阵,其中aij??a1,i?j (1)求
detA的值;(2)设W??XAX?0?,求W的维数及W的一组基.
19.
设
?
是
线
性
空间
R3上的线性变换,满足???(x,y,z)?R3,T(?)?(x?y,y?z,z?x)?,
求
?
在
基
?(0?,1,?1),??下的矩阵(1,. 0,1),(1,1,
20.设?是
n维线性空间V上的线性变换,?1,?,L,?是V的一组基.
2n如果?是单射,则A?1,A?,L,A?n也是一组基.
2
21.二次型
f(x,x 2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3,1)写出二次型f的矩阵A1;
2)求出A的特征值与特征向量;3)求一正交变换,将
f化为标准形.
0)
?31?1?22.求方阵A?????131???的不变因子、初等因子和若当标准形. 022?? 23.设V是n维欧氏空间,n
?3, 给定非零向量
??V,令
??:V?V:?a??(2?,??)证明:(1)
是正交变换;(2)如果
(?,?)???1,?2,?3,L,?n是正交基,则存在不全为零实数k1,k2,Lkn使得
k1???k2?k1??L?n??是V上的恒等变换.
2n
24.V1,V2是x1?x2?L?xn?0和xi?xi?1?0,i?1,2,L,n?1的解空间,
则Pn?V1?V2.
25.设?和?是线性空间P[x]中依据如下方式定义的两个线性变换: ?(f(x))?f?(x),?(f(x))?xf(x),求?????.
26.设欧氏空间中有?,?1,?2,L,?n,??0.W1?L(?1,?2,L,?n),
W2?L(?,?1,?2,L,?n),证明:如果(?,?i)?0,那么dimW1?dimW2.
27.求实二次型 f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x3?4x1x4?2x2x的规范形及
3符号差.(15分)
28.设A是一个8阶方阵,它的8个不变因子为1,1,1,1,1,??1,??1,
(??1)2(??2)(??3)3,求A 的所有的初等因子及A的若当标准形.
29.设V为数域P上的n维线性空间,且V?L(?1,?2,L,?n)
(1)证明:{?1,?1??2,L,?1??2?L??n}是V的一组基;
(2) 若??V在基{?1,?2,L,?n}下的坐标为(n,n?1,L,21),
求
?在基{?1,?1??2,L,?1??2?L??n}下的坐标. (14分)
30.在三维空间
P3中,已知线性变换
T在基
?101??1?(?1,1?2,1?),??下的矩阵是0,1?3(1?,?1)1,0?,
求(???T?121??在基e1?(1,0,0),e2?(0,1,0),e3?(0,0,1)下的矩阵.
31.
在
线
性
空
间
Rn中
,定义(x,y?)?x,Ay?x?(x22?3A????1,x2),y?(y1,y2)?R,其中??6?。 3?(1)证明:(x,y)是R2的内积,因而R2按此内积构成一个欧氏空间,
(2)求
R2的一组标准正交基,(3)求矩阵
P,使得
A?P?P.
32.设
R4的两个子空间为:V1???x1,x2,x3,x4?x1?x2?x3?x4?0?,
V2??(x1,x2,x3,x4)x1?x2?x3?x4?0?.求V1?V2与V1IV2的基与维数.
1,1)
33.设V是3维线性空间,?1,?2,?3为它的一个基.线性变换?:V?V,
x1?1?x2?2?x?3a32x?1?13x?2?24x? 30,
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