行列式的计算方法

编号：

本科毕业论文（设计）

题目：行列式的计算方法

学 院 数学与计算科学

专 业 信息与计算科学

学 号 200740520129

姓 名 鲁兵兵

指导教师 王先超 职称： 副教授

完成日期 2011.04.07

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诚 信 承 诺

我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《行列式的计算方法》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担

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承诺人（签名）：年 月

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日行列式的计算方法

姓 名 : 鲁兵兵 学 号 : 200740520129 指导老师 :王先超

摘要：行列式是高等代数和线性代数的课程中基本内容，并且其在数学中有着广泛的应用，学会计算行列式对大学学习非常重要，掌握行列式计算技巧，可以达到快速准确解题的目的.本文先阐述行列式的起源，而后简单介绍了行列式的一些基本性质和有关结论，同时重点讨论了行列式的一些计算方法，如定义法、加边法、公式法、化三角形法、展开法等.

关键词：行列式 定义法 加边法 公式法 展开法 化三角形法

Abstract:The determinant is higher algebra and linear algebra course basic content, and its in

mathematics, society has been widely used for calculating the determinant university study is very important, grasps the determinant computing skills, can achieve the purpose of solving problems

quickly and accurately. This paper expounded the origin of first and then simple determinant introduced some basic properties of the determinant and the relevant conclusions, and emphatically discussed some of the determinant computational method, such as definition method, plus edge method, the formula method, the triangle method, expansion method, etc.

Keywords: Determinant Definition method Add edge method Expansion method Triangle method

of

引言

行列式于l757年开始被人们接触，是马拉普斯研究解含两个或者三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早己不局限于代数的范围,成为很多数学分支的基本工具.也就是说计算行列式的基本方法奠定了高等代数的理论基础，同时也为数学在现实生活中的广泛运用提供了理论依据，简言之，计算行列式的方法具有实质上的研究价值.

本文通过简单举例介绍了几种行列式的计算方法和技巧，同时介绍了行列式的

定义：

a11A（或detA）=a21?an1a12??a1n??a22?a2nan2?ann?p1p2...pn?(?1)?(p1p2...pn)a1p1a2p2...anpn,

即它是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由n!项组成，其中

3

PP1,2,?n这n个数构成的一个n级排列. 12?Pn是由1. 行列式的性质

行列式具有如下性质：

性质1：转置不变性，就是说一个行列式与行列式转置行列式是相等的.

性质2：一个行列式中元素的公因子可以提到行列式符号的外边来，换言之，过程是可逆的，就是说用一个数来乘行列式，也可以把这个数乘到行列式的某一行或列上去. 性质3：零化条件，若一个行列式的行或列对应成比例，则此行列式的值为零. 性质4：初等变换性质，包括以下四点：

交换一个行列式的其中的两行或列，仅改变此行列式的符号； 若一行列式中有两行或列完全相同，则此行列式的值为零；

把行列式某一行或列的元素乘以同一个数后加到另一行或列的对应元素上，行列式的值不变；

两个行列式中的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数中的一个，其余各行（列）的元素与原行列式是完全相同的.

2. 与行列式有关的结论

在解题时常用到的结论有下面3个：

结论1：上（下）三角形的行列式等于其对角线上的元素之和

即

?a11a22a33...ann.

结论2：设A是m阶方阵，B是 n阶方阵，则

AO*B=AO*B＝AB，

*A=OBA*BO?(?1)mnAB.

结论3：行列式一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和是等于零的.

3.行列式的计算方法

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3.1定义法

根据给出的行列式定义，来直接求行列式的值这是最基本的方法，但是计算.量很大.一般情况下不用这种方法，但如果行列式中有许多的零元素，可以考虑用此方法解题.但值得注意的是：在用定义法求非零元素乘积项时．不一定要从第一行开始，看哪行非零元素最少就从哪一行开始.

0000?0?01?20?00. ?00

例1：计算行列式?n0n?1?00解：此行列式的展开项中只有一个非零项a1na2,n?1...an1，它前面所带的符号应为(?1)?[n(n?1)...21]?(?1)n(n?1)2，所以原行列式等于(?1)n(n?1)2n!.

本题利用定义法解题时，关键是要注意行列式值的正负，本题也是三角形行列式，可直接利用公式. 3.2化三角形法[1][2]

化三角形法是利用行列式的性质将原行列式化为上（下）三角形或对角形行列式，然后再来计算的一种方法，这是计算行列式的基本方法之一.在原则上，每一个行列式都可以利用行列式的性质化为三角形行列式，但对于阶数较高的行列式计算起来往往太过繁杂，因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其做某种保值变形，再将其化为三角形行列式，例如下面两个行列式：

?2例2：计算行列式132?25?18?1537?5=?5?18?1537?5?913.

?7?101?232?9135?18?1573?5??100?926261325717解：

132?9130?13?34?26?33?24

?7?10?7?10 5

1=?00?9001316070?1325173=?(?13)?16?()?312, 8232这里，第一步是互换1，2两行，以下都是把一行的倍数加到另一行.用这

n2?2n?3特别当n比较个方法计算一个n级的数字行列式只需要做次乘法和除法。3大的时候，这个方法的优越性就更加明显了.

0123例 3:计算行列式123023013012.

解：直观上可以看出来,该行列式的各行之和相等,可知:

01231230230130126123=62306301601211122100=6112312301301101233=6110100210332

=6?2?200?4?8

0?1?1?1=6?1?1?(?4)?2??48.

3.3利用行列式的性质进行的计算[3][4]

此法就是利用行列式的性质计算，举例如下.

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121202011210?120. 212?11103例4:计算行列式31?1212解：312020112101?120?212?11103221002062?220211101?121164321?142?112210000022?224?231?21?10481?1162??11212?2216132110434

81?112162613?512320 17120?5121?3883030121202177012??337123010????. 881017810017本题注意对行列式性质的应用，解题过程中应该防止出差错，注意在此过程中利用行列式的性质降阶.我们可以发现本题一直用化简、降阶的方法，最后化为两阶的行列式然后利用定义求解，解这一类题型时应以解法简单为原则. 3.4加边法（或者称之为升阶法）[5]

把原n阶行列式适当的增加一行一列（或行列）变成n?1（或n?m）阶行列式，行列式的值保持不变，但要所得的n?1（或n?m）阶行列式较易计算，再通过性质化简出结果.其一般做法是：

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a11?a1n?an1?1a1?an0a11?a1nb??或????1??????annan1?ann0an1?annbna11?a1n10???0?,

a11?a1nan1?ann特殊情况取a1?a2???an?1或b1?b2???bn?1,例如：

x?aaax?aa?a???aaa?aa?a???aaa?例5:计算n阶行列式

a?ax?a?的值.

?x?ax?aaax?aa?aaa?a1a?a?a0x?aa?a0a?a1????0aa?

解：

a?ax?a?x?a??x?a?x?an?100?010?001?0????n?11a?a?a?1x?2a0?0?10?0????100??(x?2a)nx?2a??x?2an?1nax?2aax?2aax?2a?ax?2a

00?1na)?[x?(n?2)a](x?2a)n?1. x?2a又显然x?2a时上式成立，且此n阶行列式值为零. ?(x?2a)n(1?3.5展开法（又称降阶法）[6]

3.5.1按某一行（或列）展开

此方法主要是针对行列式中某行（或列）有较多的零元素，按照定义展开降阶并便于将降阶后的行列式利用其他方法求值.下举例说明

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b0?00a00?0ab00?ab0??????0a?000ab?000b0?00a00?0ab00?ab0 解：按第一行展开，可知：??????0a?000ab?0000?ab?b????a?00b?00?b(?1)?(?1)3.5.2按拉普拉斯定理展开

(n?1)(n?2)2例6:计算行列式.

0??a?(?1)n?10a???b0???ab?0(n?1)(n?2)2bn?1?a?(?1)n?1(?1)

(n?1)(n?2)2[bn?(?1)n?1an].也就是在某一个阶行列式中任意取k行(1?k?n?1)（或列），由这k行（或列）所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于原本行列式的值.

?aaa?a????b?????. 例 7：计算行列式b??????b?????b????ab?b?解：利用拉普拉斯定理，可知b??b????aa?a????????????????????? 9

?b?0?0aa????aa????00?0?00?00?0?0?0???????

???0?????????????00?????(n?1)ab??(n?2)??????

?????(???)[???(n?2)???(n?1)ab].

3.6公式法[7][8][9]

公式法1：在行列式的计算中,我们经常会碰到这样一种行列式，即为我们熟知

1的范德蒙行列式1a2????1an??a1?1?j?i?n?(ai?aj).

n?1n?1a1n?1a2?anab?b公式法2：即n阶行列式

ba?b????bb?a?(a?b)n?1[a?(n?1)b].

公式法3：爪型行列式，设b1b2...bn?0，则有

a1c2?cn12122例8：解行列式??12na2?anb2??0332?3n0???（a1?aca2c2???nn）b2b3?bn. b2bn?bn??n?.

?n2?nn解：利用公式法1范德蒙行列式定义得：

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1?2?332?3ni??n??n!11?12?13????1n?

12212n?n2?nn12n?13n?1?nn?1?n!n?i?j?1?(x?xj)

?n!(2?1)(3?1)?(n?1)?(3?2)(4?2)?(n?2)?[n?(n?1)] ?n!(n?1)!(n?2)!?2!1!.

a011a10?010?0???100. ?例9：计算行列式的值1?1a2??an10?0???10?0??aj(a0??j?1n解：用公式法3得：

a011?11a10?0a2?1). aj?1in?an小结

无论是高等数学领域里的高深理论,还是现实生活里的实际问题,都或多或少的与行列式有着直接或间接的联系.行列式的计算方法灵活多变，需要很强的技巧性，最常用的便是以上几种，行列式的计算方法主要是运用其性质.但是有时也因其结构不同而有其他类型的解法，这里就不做列举.

参考文献：

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数[M].北京: 高等教育出版社（第二版），1987.51 -103.

[2] 阎满富.高等代数习题汇编与解答[J].天津人民出版社，1994. 37 - 78. [3] 张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京: 高等教育出版社（第四版），1999 . 103-140. [4] 王品超. 高等代数新办法 [J]. 山东教育出版社，1989. 45 - 46.

[5] 许甫华，张贤科.高等代数解题方法 [J]. 请华大学出版社，2001年9月第一版. 36-63. [6] 钱吉森.高等代数题解精粹[J].中央民族大学出版社2002年10月第一版. 22-56. [7] 宣飞红.线性代数[M].厦门大学出版社，2003年7月第一版.1-35.

[8] 钱芳华,黎有高,卜淑云,邓培民.高等代数习题课教材[M].广西师范大学出版社，1997年2月第一版.77-106.

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[9]李启文,谢季坚.线性代数理论与解题方法[M].湖南大学出版社，2001年3月.4-6.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vcx3.html