声学基础答案

习题1

1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f，质量为m，求它的弹性系数。 解：由公式fo?12?Km2得：Km?(2?f)m Mm1-2 设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：

（1） 当这一质点被拉离平衡位置?时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？ （答：f0?12?g，g为重力加速度） l

图 习题1－2

解：（1）如右图所示，对Mm作受力分析：它受重力Mmg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两力的合力F

就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为?，则sin??受力分析可得：F?Mmgsin??Mmg?l

?l

（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。

d2?由牛顿定律可知：F??Mm 2dtd2??d2?g?Mmg 即 2???0, 则 ?Mmdt2ldtl ? ?0?2g1 即 f0?l2πg, 这就是小球产生的振动频率。 l

1-3 有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x0处，挂着一质量Mm，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置?时，它所受到生？并应怎样表示？

(2) 当外力去掉后，质量Mm在此恢复力作用下率应如何表示？

(3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对Mm进行受力分析，见右图，

图 习题1-3

产生振动，它的振动频的恢复平衡的力由何产

Fx?Tl?x0(l?x0)2??2?Tx02x0??222?0（????x0 ，?x0） ??2?x0,(l?x0)2??2?(l?x0)2 。

Fy?T?(l?x0)2??2?T?2x0??2?T?l?x0?T?x0?Tl?

x0(l?x0)Tl。

x0(l?x0)可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统，质量M?Mm，弹性系数k?（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F?Tl?，方向为竖直向下。

x0(l?x0)（2）振动频率为??K?MTl。

x0(l?x0)Mml时，系统的振动频率最低。 2（3）对?分析可得，当x0?1-4 设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的x0位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移?0以保持力的平衡，并假定M离平衡位置?0的振动?位移很小，满足????0条件。

图 习题1－4

2Tcos??Mg???4???0?Mg 解：如右图所示，受力分析可得 cos??0??l1?l?2?又????0，T'?T，可得振动方程为 ?2T?0??l2

d2?d2?4T4T?M2即 M2?????0

dtdtll? f?12?4Tl1?M2?Mg1??0M2?g?01-5 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。 解：设振动位移???acos(?0t??)，速度表达式为v???0?asin(?0t??)。由于?12t?0 ??0，vt?0?0，

代入上面两式计算可得：?222??0cos?0t ；v???0?0sin?0t。振动能量E?Mmva?Mm?0?a。

121-6 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为v0，试求其振动位移、速度、和能量。

解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为Km，质量为Mm，取正方向沿x轴，位移为?。

d2?Km22????0, 则质点自由振动方程为 （其中??,） 00dt2Mm 解得

???acos(?0t??0),

v?d????0?asin(?0t??0??)??0?acos(?0t??0?) dt21?222?????va000??0??acos?0??0??当?t?0??0，vt?0?v0时， ? ? ??vv???cos(??)00a0????arctan0?20??0?0?质点振动位移为??1?0222?0?0?v0cos(?0t?arctanv0?0?0)

质点振动速度为v?222?0?0?v0cos(?0t?arctan?)

?0?02v0?质点振动的能量为E?112222Mmva?Mm(?0?0?v0) 221sin2?t，试问： 21-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加??sin?t?(1) 在什么时候位移最大？(2) 在什么时候速度最大？

1d2?d???cos?t??cos2?t???2sin?t?2?2sin2?t。 解：???sin?t?sin2?t， ?22dtdt令

2k???3d???0，得：?t?2k??或?t?2k???，经检验后得：t?时，位移最大。

?dt32k?d2?1令2?0，得： ?t?k?或?t?2k??arccos(?)，经检验后得：t?时，速度最大。

?4dt1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)

试证明

???acos(?t??)

?1sin?1??2sin?2

?1cos?1??2cos?222其中?a??1??2?2?1?2cos(?2??1)，??arctan证明：???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)

??1cos?tcos?1??1sin?tsin?1??2cos?tcos?2??2sin?tsin?2 ?cos?t(?1cos?1??2cos?2)?sin?t(?1sin?1??2sin?2)设 A??1cos?1??2cos?2 ，B??(?1sin?1??2sin?2) 则 ??Acos?t?Bsin?t=

BA2?B2cos(?t??) （其中??arctan(?)）

A2又 A2?B2??12cos2?1??2cos2?2?2?1?2cos?1cos?2??12sin2?1??22sin2?2?2?1?2sin?1sin?2 2 ??12??2?2?1?2(cos?1cos?2?sin?1sin?2)??12??22?2?1?2cos(?2??1)

n(又 ??arcta? 则

B?sin?1??2sin?22222)rctan1(令 )?a?A?B??1??2?2?1?2cos(?2??1) ?aA?1cos?1??2cos?2???acos?(t??)

1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示

???1cosw1t??2cosw2t (w2?w1)试证明???acos(w1t??)，

其中?a??sin(?wt)?12??22?2?1?2cos(?wt),??arctan2,?w?w1?w2.

?1??2cos(?wt)解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知，

?a??12??22?2?1?2cos(w2t?w1t)

??1??2?2?1?2cos(?wt)

其中，?w?w2?w1。 由三角形面积知，

2211?1?2sin?wt??1?asin? 22得 sin???2sin?wt

?a?2sin?wt?a??2sin?wt222得 tg??

??2sin?wt(?1??2cos?wt)2??2sin?wt?2sin?wt故 ??即可证。

?1??2cos?wt?1??2cos?wt1-10 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.

证 由胡克定理得 mg＝Kmξ1 ? Km＝mg/ξ1 由质点振动系统固有频率的表达式f0?12?KmKmmg得，Mm?. ?2222Mm4?f04?f0?1纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.

1-11 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。

解：由 f0?12?Km1 得 Km?(2?f0)2Mm由 f0??Mm2?mf0?f02Km 得 Km?(2?f0?)2(Mm?m,)

Mm?m联立两式，求得Mm?4?2mf0f0?，Km? 222?f0?f0?f0?2221-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。

图 1-2-3

图 1-2-4

K1mK2mK1mK2md2?解： 串接时，动力学方程为Mm，等效弹性系数为。 K????02K1m?K2mK1m?K2mdtd2??(K1m?K2m)??0，等效弹性系数为K?K1m?K2m。 并接时，动力学方程为Mm2dt1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm可称0～1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？

解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为g?9.8ms，月球表面的重力加速度为g? 由虎克定律知 FM??Kx,又 FM??Mg 则 K?2Mg1?g??10g x0.1

该方程式稳态解的一般形式为???aejwt，将其代入上式可得：

?a?Fajw[(R1?R2)?j(M??K1?K2?|?a|?e)]j(??0)2?

?其中|?a|?FaM??K1?K2?(R1?R2)2??M????K1?K2????2，?0?arctan?R1?R2.

故质量块的稳态位移表示式可以写为：??|?a|cos(wt??2??0).

1-27 设有如图所示的耦合振动系统，有一外力F1?Faej?t作用于质量M1上。M1的振动通过耦合弹簧K12引起

M2也随之振动，设M1和M2的振动位移与振动速度分别

图 1-4-1

为?1，v1与?2，v1。试分别写出M1和M2的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时

v1?K1Z2?Z12Z12F1与v2?F1。

Z1Z2?(Z1?Z2)Z12Z1Z2?(Z1?Z2)Z12K2)?R2，Z12??jK12。

其中Z1?j(?M1??)?R1，Z2?j(?M2???图 习题1-27

解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程：

d2?1d?1d2?2d?2M12?R1?K1?1?K12(?1??2)?F1M2?R?K2?2?K12(?2??1)?0 22dtdtdtdt设：?1?Aej?t，?2?Bej?tv1?V1ej?t，v2?V2ej?t

22于是方程可化为：A(?M1??j?R1?K1?K12)?BK12?FaB(?M2??j?R2?K2?K12)?AK12?0 设：Z1?j(?M1?K1?)?R1，Z2?j(?M2?K2?)?R2，Z12??jK12?。

?对上面的两个方程整理并求解可得v1?Z2?Z12Z12F1v2?F1

Z1Z2?(Z1?Z2)Z12Z1Z2?(Z1?Z2)Z121-28 有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：Fa?Apa?，

其中A为常数，pa为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式)，并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什

么？解：压差式传声器产生的作用力振幅为Fa?Apa?，其中A，pa为常数，则Fa随?变化。

电动换能方式传声器，其开路电压输出为E?Blv，要使E均匀恒定，则要v恒定 系统处在质量控制区时va?产生均匀的开路电压输出。

1-29 对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式(电容式)，其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？

解：传声器开路输出电压E与振膜位移有如下关系：E?FaAP?a?MmMm，此时va与频率?无关，故在一较宽的频率范围内，传声器将

E0FAp??只有在力阻控制区，??a?a， D?RmRm即在此控制区，输出电压E与频率?无关。?传声器的振动系统应工作在力阻控制区。

1-30 有一小型动圈扬声器，如果在面积为S0的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为Rr??0C0S0（参见§5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？

解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为 W?1122Rrva＝?0C0S0va 222 其中?0，C0，S0均为常数，要使W均匀，则va应不受的W影响。故振动系统应工作在力阻控制区，此时

va?Fa（其中Fa为频率恒定的外力，Rm也恒定）。 Rm1-31 有一如图所示的供测试用动圈式

振动台，台面Mm由弹簧Km支撑着，现欲内，在音圈上施加对频率恒定的电流时，能的加速度，试问其振动系统应工作在何种振么？

解：音圈通以I电流时，在磁场下产生

图 习题1-31

在较宽的频率范围使台面Mm产生均匀动控制状态？为什

电动力F?BIL，由

F?Mma可见，只有在质量控制区a?Fa时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。 Mm面的质量Mm=1.5×103㎏，串联而成。已知每只弹簧在隔振系统的固有频率，并问隔振台Mm将产生多大的位

1-32 有一试验装置的隔振台，如图所示，已知台台面由四组相同的弹簧支撑，每组由两只相同的弹簧承受最大负荷为600㎏时，产生的位移3㎝，试求该当外界基础振动的位移振幅为1㎜、频率为20Hz时，移振幅？

解：每只弹簧的劲度系数K=600×9.8/0.03=1.96×105N/m每组弹簧的总劲度K1=K/2四组弹簧并联后的劲度K2=4 K1=2 K =3.92×105 N/m则固有频率f0?'12?K2???K(???)?0，将???ejwt，?2.57Hz由振动方程Mm?am0MK?a?0.0168㎜ ?0??aejwt代入得，?a?2K?wM'1-33 设有如图所示的主动隔声系统，有一外力F0=F10ejωt作用于质量块Mm上，试求传递在基础上力F与F0的振幅比.

F0MmFKm , Rm

解：对质量块进行受力分析，可得质量块Mm的振动方程为：

jwt???R??其稳态解的一般形式为???acos(?t??). Mm?m?Km??F10e其中?a?F10??|Zm|F10?Rm2K?????Mm?m????2，??arctan?Mm?RmKm?.

弹簧传递给基础的作用力为F?Km???Km?acos(?t??)，则Fa??aKm. 由此传递给基础的力F与F0的振幅比DF?Fa?F10Km?Rm2???Mm???Km????2.

1-34 有一振动物体产生频率为f，加速度振幅为a10的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为f0，力学品质因素为Qm，音圈导线总长为l，磁隙中的磁通量密度为B。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？

解：动圈式加速度计测量 由 Qm?则 Ea?Bl?0MmRmMm 得 Rm??0MmQm 由 f0?1Km 得 Km?4?2f02Mm

2πMmMm12Mma10＝Bla10ZmKm2??2R?(?M?)?mm????1212 ＝Bla10

2?2?Km22R??M?2KM?mmm?m?2??? ＝

Bla10?4?2f0216?4f04?222?Q2???8?f0??2?m??

1-35 设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成FF?Fa(1?hsin?1t)sin?t， 其中h为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。

解：外力表达式为FF?Fa(1?hsin?1t)sin?t ?Facos(?t?用指数形式表示外力为FF?Faej(?t?)2?2)?1Fah[cos(?1??)t?cos(?1??)t] 2??11Fahej(???1)t?Fahej(???1)t 22振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为

1hFaFa??2??cos(?t???1)?cos[(???1)t?0??3?]?Z12(???1)Z321hFa?2?cos[(???1)t?0??2?]

(???1)Z22KmKm(???)M?(???)M??Mm?1m1m??????1?；??arctan1其中：?1?arctan；； ??arctan23RmRmRmKm2Z1?Rm?(?Mm?Km?2)2；Z2?Rm?[(???1)Mm?Km2]；

???12Z3?Rm?[(???1)Mm?Km2]。

???12t) T1-36 设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为FF?Fa(1?（kT?t?(1?k)T,k?0,1,2,?）试求振动系统的位移。

d2?d?2t?Km??FF(t)?Fa(1?) （1） 解：质点的振动方程为 Mm2?RmdtdtT 又 FF(t)?A0?其中 A0??n?1?Ancosn?t?Bnsinn?t,（??2TFF(t)cons?tt?dT?02π） （2） T1T?T0F)d?t0An?F(tB0n?2Fa2TF(t)sinn?tt?d FT?0n?2Fan?， ?n?arctana

式（2）也可表示为 FF(t)??n?0?22其中 Fn?An?Bn?Fncos(n?t??n) （3）

2Fn?把式（3）表示成为复数形式 FF(t)???Fenn?0?j(n?t??n)?d2?d?)则式（1）可写成 Mm2?Rm （4） ?Km???Fnej(n?t??n

dtdtn?0 设 ????n，代入式（4）可得 ????n??n?0??n?0n?0KFnej(n?t??n) 其中 Zn?Rn?jXn?Rm?j(n?Mm?m)

n?jn?Zn?Fn2Fππ 取?的实部得 ???cos(n?t??n??n?) ＝?2acos(n?t??n??n?)

22n?0n?Znn?0?n?Zn? 式中 Zn?2Rm?(n?Mm?XKm2) ?n?arctann?arctanRmn?n?Mm?RmKmn?

1-37 设有如下形式的外力

??Fa,??FF???Fa,????1??kT?t??k??T2??1(k?)T?t?(k?1)T

2(k?0,1,2,?)作用于单振子的质量上，试求振动系统位移. 解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得FF(t)??Fn?0?ncos(n?t??n)

其中Fn?An?Bn，?n?arctan22Bn. AnA0?1T2TF(t)dt?0A?FF(t)cosnwtdt?0， ，Fn??00TT?4Fa2Fa2T?Bn??FF(t)sinnwtdt?[1?(?1)n]??n?T0n???0由此Fn?Bn，?n?n为奇数n为偶数.

?2(n为奇数)，即

F1?4?Fa,F3?444????Fa,F5?Fa,?,Fn?Fa；?1?,?3?,?5?,?,?n?(n为奇数). 3?5?n?22a22由(1-5-14)得质点振动系统得位移

???Fn?cos(nwt??n??n?)

2n?0n?Zn?4Fa4Fa4Fa?cos(wt??1??)?cos(3wt??3??)??2cos(nwt??n??)(n为奇数) ??Z19??Z3n??Zn

习题2

2-1 有一质量为m，长为l的细弦以F的张力张紧，试问：

1) 当弦作自由振动时其基频为多少？2) 设弦中点位置基频的位移振幅是B，求基频振动的总能量。 (3) 距细弦一端l4处的速度振幅为多少？解：（1）简正频率fn?mnT，且线密度??

l2l?216T?016TB21T1T??基频f1?。（2）基频振动的总能量E1?。（3）弦的位移的总和形式?2l?2mll?2l?2??(t,x)??(t,x)??Bnsinknxcos(?nt??n)速度表达式为v(t,x)???(?Bn?nsinknx)sin(?nt??n)

?tn?1n?1??距一端0.25m处的速度振幅Va?x?l4?nTn?lTn???Bn?2??sin(?) ??n?Bn sin2l?l4ml4n?1n?1? Vax?3l4?nTn?3lT3n???Bn?2??sin(?)??n?Bn sin2l?l4ml4n?1n?12-2 长为l的弦两端固定，在距一端为x0处拉开弦以产生?0的静位移，然后释放。 （1）求解弦的振动位移；（2）以x0?l3为例，比较前三个振动方式的能量。 解：弦的振动位移形式为：?(t,x)?其中kn??sinkn?1?nx(Cncos?nt?Dnsin?nt)

n?n?c，?n?，Cn?Bncos?n，Dn?Bnsin?n ll??0x??x0（1）由初始条件可得：?(t?0)????0(l?x)??l?x0v(t?0)?(??)t?0?0?t(0?x?l)

(0?x?x0)

(x0?x?l)2l?C??(x)sinknxdx??nl?00又?

2lv0(x)sinknxdx?Dn??0?l?n?l??02?0l22?x0?0n?xsinknxdx??(l?x)sinknxdx??22sinx0 则Cn???0x0l?x0l?x0l?n?x0(l?x0) Dn?0 则sin?n?0??n?n? Bn?Cn

?2?0l22?n?2?xn?c?(t,x)??Cnsinxcos(?nt??n)??22sinx0sincost

lllln?x(l?x)n?1n?100n2?2c2?2n2?2T2Bn?Bn （2）En?4l4l1当x0?l时，Bn?Cn?32?0l29?n?ln?sin??202sin ll33n?22ln?(l?)3322T?0243T?0?2T9?0?2243E2?(sin)?则E1?E3?0

4l?2364?2l16?2l2-3 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。 解：弦的振动位移表达式为?(t,x)??sinkn?1?nx(Cncos?nt?Dnsin?nt)

??(t,x)???sinknx(??nCnsin?nt??nDncos?nt) ?可得速度表达式为v(t,x)??tn?1由题可得初始条件：?t?0?0；

???tt?0l?2v0x,0?x??l2 ??l2v?2v0?0x,?x?l2l?通过傅立叶变换可得：Cn?0；Dn??4v0kl(?sinkl?2sin)。 332kl?n?位移表达式为?(t,x)??Dnsinknxsin?nt其中Dn?n?14v0kl(?sinkl?2sin)。 32kl3?n2-4 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中心，试证明外力传给 弦的初动能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。

??(t?0)?0

??l

解：初始条件???x?2

?v0?

???tt?0

弦的总位移为?(t,x)??n?1?sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt),

其中Cn?Bncos?n,Dn?Bnsin?n，（?n?又Dn??nπc,kn?n）

cl2v0l(1?cosn?) n2?2c2l?n?l0v0(x)sinknxdx＝

2l?n?l0v0sinknxdx＝

Cn?0当n为偶数时，D2?D4?D6???0

当n为奇数时，D1?故Bn?Dn，?n?0

4v0l14v0l14v0lD?D?，，，? 35?2c9?2c25?2c24Tv0l11T222??) 又弦振动时的总能量为E??En??(nπBn)＝22(1???c9254ln?1n?1??222l?124Tv0l?2Tv0lTv012T122v(l?)mvc?mv0 ＝22()＝＝＝ ＝＝ （）外力传给弦的初始动能为＝EE00k0k022?22T22c?c82-5 设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离l处，施加一垂直于弦的力F?Faej?t，试求在x?l力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。

提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：?1??2和T??1???T2?F。 ?x?x2-6 有长为l，线密度为?的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M，已知弦所受的张力T，如图所示。试求(1)该弦作自由振动时的频率方程；(2)假设此重物M比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。

图 2－6

解：（1）由题意可知其初始条件和边界条件

??x?0?0?为????2???Tx?l?M?x?t2?弦

的

振

x?l动位移为

?(t,x)?(Acosx?Bsinx)cos(ut??)（其中u??n?2πfn）

当?x?0ucuc??uu??Businxsin(ut??) ?0时，得A?0则?(t,x)?Bsinxcos(ut??)?tcc??uuu?2?2??Businxcos(ut??)?Bcosxcosut(??) 2?xccc?t带入边界条件可得： ?TBuuuuTcoslcos(ut??)??MBu2sinlcos(ut??) 即 tanl?

cMcucccuuTuTl?lMSTltanl?l??? （其中c?, 弦的质量为Ms，线密度为?） ccMcucMMc2M?令r?Mul，??S，则rtanr??，这就是弦作自由振动时的频率方程。 cM??3??4?422??.r?? 可简化为 ??（2）当Mm<

11??3?1??3则 r2???11??3?MS?M2?fnuT11l，c??Ms?,Ms??l 又r?l?MsMscc?1?M?3M3则f0?1c?Ms?2?l1MM?s31M?Ms3＝

12?T?Ms??l21MM?s3

＝

12?T?Ms?lMs＝

12?KmT （其中Km?） MlM?s32-7 长为l的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移ξ0，然后释放. 试求棒作纵振动时各次振动方式的位移振幅.

解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??).

??|x?0?0?由棒一端固定一端自由的边界条件得????0??x?x?l由(1)式?Acos(wt??)?0?A＝0.

(1)(2)

由(2)式?kBcosklcos(wt??)?0?coskl?0?kn?(n?)1?2l(n?1,2,3,?).

由此各阶简正频率对应的位移表达式为?n(t,x)?Bnsinknxcos(?nt??n). 棒的总位移为各简正频率位移之和，即?(t,x)??Bn?1?nsinknxcos(?nt??n).

?0??|?x?t?0?l?棒的初始条件为?????0???tt?0(3)

(4)2l?0(x)sinknxdx l?0由(4)?sin?n?0??n?n?.由(3)?Bncos(??n)??Bn?(?1)n?2?02l?0. x?sinkxdx??n?2l?0l(n??)22-8 有一长1m、截面为1×10-4m2的铝棒( ρ=2.7×103kg/m3)，两端自由.

(1) 试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？

(2) 如果在一端负载着0.054kg的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？ 解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??).

?????x?由棒两端自由的边界条件得???????x?0x?0(1)

?0x?l(2)由(1)式?Bkcos(wt??)?0?B＝0.

由(2)式?kAsinklcos(wt??)?0?sinkl?0?kn?n?l(n?1,2,3,?)

?fn??nkncnc??. 2?2?2lc16.85?1010(1) 棒作纵振动的基频为f1???2520Hz. 32l2?12.7?10该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1).

当cosk1x?0，即x?(n?)l时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x?移振幅最小.

(2) 当在一端负载时，由(2-2-25)得

12l?0.5m的点位2Mtankl??m??0.2，即tank??0.2k，利用数值方法可以求得k1=2.65. klm该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1).

1(n?)?2时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x1=0.59m的点位移当cosk1x?0，即x?2.65振幅最小.

2-9 有一长为l的棒一端固定一端有一质量负载Mm。（1）试求棒作纵振动时的频率方程；（2）如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？

kx?Bsinkx)coswt(??) 解：（1）棒的位移方程为 ?(t,x)?(Acos?(x?0)?0?A?0???ctgkl2Mm ??由边界条件得：??????ES()??M()x?lmx?l??m?kl?x?t2?故频率方程为：ctgkl?Mmkl m（2）将2-8参数代入得ctgkl?0.2kl,(Mm?0.2)?ctgk?0.2k mk1c?1.05?103（Hz）基频振幅为：?1?Bsink1x,(0?x?1) 2?由牛顿迭代法知： k1 =1.3138则 f1?当x=1时，sink1x达到最大，即振幅最大。

2-10 试分别画出两端自由和两端固定的棒，作n=1,2模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位置x的分布图。 解：两端自由的棒：

? ?c0=c0(400C)?c0(00C)?24m/s

（2）声强I?W??c0 S?c0(400C)??c0(00C)pe2?100%?7.24% 又平面波声压不变，媒质密度也不变，则??不变则?I%=2?c0(00C)?0c0又 SIL?10log10IIrefI(400C)I(00C) (dB)则 ?SIL?SIL(40C)?SIL(0C)=10log10?10log10IrefIref00?c0(400C)I(400C)=10log10=10log10＝0.3dB 0I(00C)?c0(0C)4-8 如果两列声脉冲到达人耳的间隔时间约在(120)s以上时，听觉上可以区别出来，试问人离一垛高墙至少要多远的距离才能听到自己讲话的回声？

解：设高墙距人L米，?c2L1?L?0?8.6(m) ?20c020因此人离一垛高墙至少要8.6m的距离才能听到自己讲话的回声。 4-9 （1）试导出空气中由于声压p引起的绝对温度的升高?T的表达式。

（2）试问在200C、标准大气压的空气里，80dB的平面声波引起的温度变化幅值为多少？

?解：（1）对理想气体有 PV0MM?RT0 又 P?P0??P T?T0??T则 (P0??P)V??R(T0??T)P0T0?P?T0 即 ?T?P0??PT0??TP0（2） SPL?20log10ppe(dB) 由题得 80?20log10e 则 pe?0.2Pa 即 P?0.22Pa

prefpref则 ?P?0.22Pa ?T??P0.22?4 0T??(273?20)?8.?21K05P1.0?1104-10 在20oC的空气里，求频率为1000Hz、声压级为0dB的平面声波的质点位移幅值，质点速度幅值，声压幅值及平均能量密度各为多少？如果声压级为120dB，上述各量又为多少？为了使空气质点速度有效值达到与声速相同的数值，借用线性声学结果估计需要多大的声压级?

p解：由SPL?20log10epref(pref?2?10pa)得pe?pref102?5SPL20.则：声压幅值pa?2pe；质点速度幅

vpape值va?；质点位移幅值?a?a；平均能量密度??.(1) SPL＝0dB 2??0c0?0c0pa?2.828?10?5pa；va?6.815?10?8m/s；?a?1.085?10?11m；??2.813?10?15J/m3.

(2) SPL＝120dBpa?28.28pa；va?0.0682m/s；?a?1.085?10?5m；??2.813?10J/m3. (3) ve??3pep2?c0?pe??0c0，则SPL?20log10e?197dB. ?0c0pref4-11 在20℃的空气里，有一平面声波，已知其声压级为74dB，试求其有效声压、平均声能量密度和声强。 解：声压级SPL?20lgpe?74(dB)，?有效声压pe?0.1(Pa)， pref22pepe0.12?8?3?5?2 平均声能量密度??， 声强??6.9?10(J?m)I??c??2.4?10(W?s)。 02?0c0?0c0415?3444-12 如果在水中与空气中具有同样的平面波质点速度幅值，问水中声强将比空气中声强大多少倍？

解：水中平面波质点速度幅值为va1，声压为Pa1，声强为I1空气中平面波质点速度幅值va2，声压为Pa2，声强为I2 则 va1?va2， 又Pa1?va1?1c1， Pa2?va2?2c2 则

1Pa2?2c2 又 I?Pava ?2Pa1?1c1I2Pa2?2c21.480?106????3566倍 ?

I1Pa1?1c14154-13 欲在声级为120dB的噪声环境中通电话，假设耳机再加一定电功率时在耳腔中能产生110dB的声压，如果在耳机外加上的耳罩能隔掉20dB噪声，问此时在耳腔中通话信号声压比噪声大多少倍？ 解： 耳机内信号声压P信=Pref·10

110/20

，到达耳机的噪声声压P噪=Pref·10

（120-20）/20

所以P信/P噪=10

110/20

/10

100/20

=3.16

4-14 已知两声压级幅度之比为2，5，10，100，求它们声压级之差.已知两声压级之差为1dB，3dB，6dB，10dB，求声压幅值之比.解：已知声压幅值比，则声压级之差为

?SPL?20log10pe1ppp?20log10e2?20log10e1?20log10a1. prefprefpe2pa2?SPL20p已知声压级之差，则声压幅值比为a1?10pa2.

(1) 当声压幅值比分别为2，5，10，100时，声压级之差分别为6.02dB，14.0dB，20dB，40dB.

(2) 当声压之差分别为1dB，3dB，6dB，10dB时，声压幅值之比分别为1.1220，1.4125，1.9953，3.1623. 4-15 20℃时空气和水的特性阻抗分别为R1?415Pa?sm及R2?1.48?10Pa?sm，计算平面声波由空气垂直入射于水面上时反射声压大小及声强透射系数。

解：声压反射系数rp?6R2?R1?1，

R2?R12Itpta2?2c2R124R1R2?2?tp??1.21?10?3。 声强透射系数rI?2Iipia2?1c1R2(R1?R2)4-16 水和泥沙的特性阻抗分别为1.48?106Pa?s/m及3.2?106Pa?s/m，求声波由水垂直入射于泥沙时，在分

界面上反射声压与入射声压之比及声强透射系数。

解: 水的特性阻抗为R1=1.48?106Pa?s/m 泥沙的特性阻抗为R2=3.2?106Pa?s/m

当声波由水垂直入射于泥沙时，在分界面上反射声压与入射声压之比为

rp?IpraR2?R14R1R2?0.86 ??0.37声强透射系数为 tI?t?2piaR2?R1Ii1(R1?R2)4-17 声波由空气以?i?30?斜入射于水中，试问折射角为多大？分界面上反射波声压于入射波声压之比为多少？平均声能量流透射系数为多少？ 解：

sin?ic1c1483m/s又2sin?i??,查表知c1?344m/s，c2?1483sin30??2.16?1，所以发生全反射现象

sin?tc2c1344反射波声压于入射波声压之比为rp?PrPi?1 平均声能量流透射系数为tw?tIcos?t?0

cos?i4-18 试求空气中厚为1mm的铁板对200Hz及2000Hz声波的声强透射系数tI(考虑垂直入射). 解：由(4-10-41)知声强透射系数为tI?(1) f＝200Hz时，k2?4. 2224cosk2D?(R12?R21)sink2D?c?2??200?0.2889，k2D?2.889?10?4.

4350由于k2D??1，则cosk2D?1,sink2D?0，?tI?1.(2) f=2000Hz时，分析过程同上，tI?1. 4-19 空气中有一木质板壁，厚为h，试问频率为f的声波的隔声量有多少？

解：隔声量TL??42?20lgf?20lgM??42?20lgf?20lg?h 其中?表示木质板壁的密度。 4-20 一骨导送话器的外壳用厚1mm的铁皮做成，试求这外壳对1000Hz气导声波的隔声量。

33解：对于铁，其厚度为D?1mm?10m，??7.70?10kg/m，c?3.70?10m/s

?33 R??c?28.49?10N?s/m，M??D?7.7kg/m对于空气 R0??0c0?415N?s/m3 则R21?632R02?DD??1, ??0.5 （??2?f?2000?Hz） R?2c0???M?2?则所求隔声量为TL?10log10?1?????35.3dB

2R???0???4-21 房间隔墙厚度20㎝，密度?=2000㎏/m3，试求100Hz及1000Hz声波的隔声量分别为多少？如墙的厚度增加一倍，100Hz声波的隔声量为多少？如不是增加厚度，而是用相同材料切成双层墙，中间距10㎝，这时对100Hz声波的隔声量为多少？

解：由质量定律TL=-42+20lgf+20lgM2,得TL1=-42+20lg100+20lg（0.2×200）=50dBTL2=-42+20lg1000+20lg（0.2×200）=70dB墙厚度增加一倍，即D=0.4m，故此时TL1=-42+20lg100+20lg（0.4×200）=56dB双层墙时，

TL?20lg100?2000?0.2100?2000?0.2100wMwM?20lg(??0.1)=43dB ?20lgkD?20lg1.21?3442?1.21?344344R12R14-23 试导出三层媒质的声强透射系数（4－10－43）式。

解: 设一厚度为D，特性阻抗为R2??2c2的中间层媒质置于特性阻抗为R1??1c1与R3??3c3中，如图所示。

(t?k1x)?pi?piaej??p1r?p1raej(?t?k1x)?p2t?p2taej(?t?k2x)则 ? ；? ；? ； j?(t?k1x)j(?t?k1x)j(?t?k2x)??i??iae??1r?p1rae??2t?p2tae?p???j(?t?k2x)?pe2r2ra2r??2raej(?t?k2x)j[?t?k3(x?D)]??pt?ptae ；? j[?t?k3(x?D)]???t??tae其中 ?ia?piapppp???,?1ra??1ra,?2ta?2ta,?2ra??2ra,?ta?ta k1?,k2?,k3?

c1c2c3R1R1R2R2R3?pia?p1ra?p2ta?p2ra?pia?p1ra?p2ta?p2ra?当x?0时，? 即?piap1rap2tap2ra （1）

??????????2ta2ra?ia1ra?RRRR2?112?p2tae-jk2D?p2raejk2D?pta?p2t?p2r?pt?当x?D时，? 即?p2ta-jk2Dp2rajk2Dpta （2）

e?e???2t??2r??t?RR2R3?2由（1）得 2R2p (3) )pR)2rpia?(R1?R2t2?a(R?1R3?R2?jk2Dp?pe2tata?2R3?由（2）得 ? (4) 把（4）代入（3）得

?p?R3?R2pe-jk2D2rata?2R3?2R2pia?(R1?R2)2R3?R2R?R2ptaejk2D?(R1?R2)3ptae-jk2D 2R32R32p4R2R3则ta＝ jk2D-jk2Dpia(R1?R2)(R3?R2)e?(R1?R2)(R3?R2)e4R2R3??(R1?R2)(R3?R2)?(R1?R2)(R3?R2)?cosk2D?j?(R1?R2)(R3?R2)?(R1?R2)(R3?R2)sink2D?2

4R2R3 ?22R2(R1?R3)cosk2D?j2(R2?R1R3)sink2D224R2R3?2?222R2(R1?R3)cosk2D?(R2?R1R3)2sin2k2D24R32(R1?R3)2cos2k2D?(R2?R1R322)sink2DR2

|pta|2R14R1R3则 tI? ??|pia|2R3(R?R)2cos2kD?(R?R1R3)2sin2kD13222R24-24 有不同频率的两列声波，它们的声压可分别表示为p1?p1acos(?1t?k1x??1)，

p2?p2acos(?2t?k2x??2)，这里初相位角φ1及φ2为常数，试求它们的合成声场的平均能量密度.

解：由题意可知，这两列声波是不相关的，由(4-12-11)可知合成声场的平均能量密度为???1??2?4-25 试计算入射声波与反射声波振幅相等的平均驻波声场中的平均能量密度。

解：入射声波与反射声波频率相同，设入射声波为pi?paej(?t?kx)，反射声波为pi?paej(?t?kx)。

2(2pacoskx)22pa2合成的声场为p?pi?pr?2pacoskxe。平均声能量密度???coskx 222?0c0?0c0p1a?p2a2?0c0222.

j?t4-26 设有一沿x方向的平面驻波，其驻波声压可表示为p?piae求该驻波声场的平均声能量密度?和平均声能量流密度（声强）I。 解：由题意得 p?piaej(?t?kx)j(?t?kx)?praej(?t?kx)，若已知pra?piaej?2，试

?praej(?t?kx)?piaej(?t?kx)?piaej(?t?kx?)2??piaej(?t?kx)?piaej(?t?(?kx?))2??p1?p2

22piapia两列波的相位差 ??(?kx?)?kx??2kx? 两列波的平均声能量密度分别为 ?1?，?2? 22222?0c02?0c0??222piapiapiapiapia?该驻波声场的平均声能量密度???1??2?＝＋＋cos?cos(?2kx?)＝2222?0c02?0c02?0c02?0c02pia2?0c022piapia???1?cos(2kx?)?＝(1?sin2kx)该驻波声场的平均声能量流密度I??c0?(1?sin2kx) 2??0c02??0c0?4-27 某测试环境本底噪声声压级40dB，若被测声源在某位置上产生的声压级70dB，试问置于该位置上的传声器接收到的总声压级为多少？如本底噪声也为70dB，总声压级又为多少？

解：（1）LP?10lgPe22PrefPe2?Pe?Pref?10401022LP10所以Pe?P1e?P2e?Pref?(1022224010?10)

701070107010总声压级LP?10lgPref2?10lg(10?10)?70dB2）总声压级LP?10lg7010Pe22Pref?10lg(10?10)?73dB

4-28 房间内由n个人各自无关地朗读，假如每个人单独时在某位置均产生Lj (dB)的声音，那么n个人同时朗读时在该位置上总声压级应为多少？解：n各人同时朗读的声音是互不相关的，满足能量叠加原理.由(4-12-14)得该位置上

LjLjLjLj总声压级为SPL?10log10(1010?1010??1010)?10log10(n?1010)?10log10(n)?Lj(dB).

习题5

5-1 有一声管在末端放一待测吸声材料,现用频率为500Hz的平面声波,测得管中的驻波比G等于10,并确定离材料表面0.25m处出现第一个声压极小值.试求该吸声材料的法向声阻抗率以及法向吸声系数.

解：由公式（5-1-9）得0.25?(1??)c0其中c0?344ms，f?500Hz 4frp?G?19?因此，可得法向声阻抗率G?111计算得??0.453。声压反射系数

?1?rpej??Zs???1?rej??p??4Rs?0c0??c?401.6?j321.8 法向吸声系数???0.87 22?00(Rs??0c0)?Xs?5-2 试求在末端有声学负载的声管中，相邻的声压极大值与极小值之间的距离。 解：对于末端有声学负载的声管中 2k(x?? 2k(x???4)??(2n?1)π(n?0,1,2,?) 总声压有极小值

?4)??2nπ(n?0,1,?2, ) 总声压有极大值

取n?0，管中声压极小值的位置为 (?x)min??1????4 管中声压极大值的位置为 (?x)max???4

则相邻声压极大值与极小值之间的距离为??(?x)max?(?x)min??4

5-3 设在面积为S的声管的末端装一面积为S1 的活塞式振子，如图所示，假定活塞质量为Mm ，弹簧的弹性系数为Km ，力阻很小可以忽略。试求管中的声压反射系数。

KmSS1Mm

5-4 设在声管末端的刚性壁前D距离处放一穿孔板,见图所示,穿孔板的面积与声管面积相同都为S,假定穿孔板的穿孔总面积为S0,板的厚度为l,试证该穿孔板共振结构的共振频率为fr?c02??Dl,

其中??S0?0lVDS?称为穿孔率。解：结构中腔体的声容Ca?；声质量， M?a22SS0?0c0?0c0因此共振频率fr?12?c1?0CaMa2??Dl

，其中总声压R??Ra??0c0/S。试证明它与（5－1－28）式等效。

5-5 设共振式吸声结构的品质因素 QR?解： QR??rMaR??rMaR??x?c?rMa?lVSD? ，其中声质量Ma?0，声阻Ra?s00，声容Ca? 22SR??Ra??0c0/SS0?0c0?0c0 共振频率?r?2?fr?1?MaCa2S0c0 lSD2llSlSS0c0?0l?0c02?DS0SDS0DS0DlSDS0 则 QR?＝?＝?＝? ?0c0xs?0c0?0c0xs?12?D(xs?1)(xs?1)?SSSlSDlSD2?c02?c02S0S0c0?rc2?c0?? ?其中（??0?） ??fr?r2?D(xs?1)2?D(xs?1)2?D(xs?1)2?D(xs?1)2?5-6 设在声管末端放一穿孔板共振吸声结构，见5－4题的图，已知其共振频率为500Hz，空腔深度D=5cm，假设要求该吸声结构的吸声频带宽度为2，试求该结构的声阻率比xs以及在频率为250，500，1 000Hz时的吸声系数. 解：由(5-1-30)知吸声频带宽度为z1?z2?11，由此QR?.

2QR由课本(5-1-28)知：QR??(1?xs)2?D，得xs??2?DQR?1?c344?1??1?3.38

2?fDQR0.5?2?3.14?0.05?5004xs?rz2共振吸声系数?r?， ?0.70，由(5-1-29)知??2222(1?xs)z?[(z?1)QR]当f＝250Hz，z＝0.5，α＝0.45；当f＝500Hz，z＝1，α＝0.70；当f＝1000Hz，z＝2，α＝0.45.

5-8 设在面积为S1的管中充有?1c1的流体，而在面积为S2的管中充有?2c2的流体，而两根管子用极薄的材料隔开，假定声波从S1管中传来，S2管延伸无限，见图所示，试求在S2管中的声功率透射系数。

?pi?Aej(?t?kx)?j(?t?kx)解：设?pr?Be?p?Cej(?t?kx)?t?Aj(?t?kx)v?e?i?1c1?Bj(?t?kx)?e，则?vr? ?c11??v?Cej(?t?kx)?t?c22?在分界面处应满足声压连续和体积速度连续的边界条件

A?B?C??ABC即?(?)S1?S2， ??2c2??1c1?1c1可以推出 声压透射系数为：tp?C?A2S1?cS1?S211?2c2

C2S2ItS22?2c24S1S2?1c1?2c2声功率透射系数为：tw? ??22IiS1A(?2c2S1??1c1S2)S12?1c15-9 试画出S12 =10与S12 =5两种情形扩张管式消声器的消声量TL随（kl）的变化曲线。 解：（1）S12=10，S21=0.1所以TL1?10lg[1?（2）S12=5，S21=0.2所以TL2?10lg[1?1(10?0.1)2sin2kl]?10lg(1?24.5025sin2kl)（dB） 41(5?0.2)2sin2kl]?10lg(1?5.76sin2kl)（dB） 4消声量TL随（kl）在一个周期[0,?]的变化曲线如下：

5-10 设在一通风管道中传播着一频率为1000Hz的声波，声压级为100dB.现准备采用扩张式消声器,把该声音消去20分贝,试问扩张管的长度,扩张管与主管的面积比应如何设计？

解：根据公式（5-2-11）TL?10lg[1?1(S12?S21)2(sinkD)2] 4根据实际情况应使D取值尽量小，扩张比尽量小。当D?(2n?1)扩张管长度D??4时，消声量达到极大值，

?4?c0S1344??0.086(m)此时，由20?10lg[1?(S12?S21)2]得S12?2?19.95。

44f4000S1因此，当扩张管长取0.086m，扩张管与主管横截面面积之比为19.95时，能把声音消去20dB。 5-12 试证明在计及声阻Rb时，共振式消声器的消声量公式为

????1?4xs? TL?10log10?1?122??4x2?(z?1)s???2z2??其中xs?RbS。 ?0c0解：由式(5-3-7)和(5-3-9)知，共振式消声器的消声量公式为

2???0c0???02c02?0c0??2?Rb??Xb????Rb??22S?S??10log?1?4S? TL?10log10??102222??Rb?XbRb?Xb?????????????02c022S4S下面进一步对上式括号内部分进行化简，对22Rb?Xb??0c0Rb中各元素均除以

?02c024S2，就可以写为

1?4xs4xs?Xb224S?0c02；

?c11其中，Xb?Mb???(?2MbCb?1)?00(z2?1)，则

?Cb?Cb?VbXb224S2c04S211222222?(z?1)?(z?1)?(z?1) 222222222?z?0c0?Vb?rVb??224S2c0?r2将以上各式代入消声量公式结论即可得到证明。 5-15 有一如图所示的双节扩张管，已知它们的长为l1?为S1，试求消声量TL。

S1piprSl2l1l3S1S1S1?2，l2???，l3?，主管面积为S，两扩张管面积都44

解：分别在x=0,l1,l2,l3处根据声压连续和体积速度连续列方程，即可解出消声量TL。过程略。

5-18 在上题的号筒喉部装一面积相同的活塞声源，其振动频率为1000Hz，如果已知它向号筒中辐射的平均声功率为1W，试求活塞声源的位移振幅，如果将号筒拿掉，把活塞置于一块大的障板上，并且活塞的位移振幅保持不变，试问这时它能向空间辐射多少平均声功率？

1?S(x)??解：(1) 由(5-5-7)知S(x)?S0e，则??In??In100?4.6052. ?x?S0???x指数号筒的截至频率fc??c0?126Hz，声源频率f =1000Hz>fc，由(5-5-19)可得声源的速度振幅4?????2W??ua??2????cS1????????000?2k???(2) ka0?0.5?1.97m/s，则位移振幅为?a?ua??3.13?10?4m.

2?f12a0?0.37?0.5，则声源的平均辐射功率为W??0c0S0(ka0)2ua?0.0673W. c425-25 有一矩形管内充空气，管子的截面积为lx?ly?0.1?0.08m，在管口有一声源产生频率从

1000Hz?2000Hz的振动，管的另一端延伸无限。试讨论管中声波的传播情况

解：由fnnxy22343?1?343?1?c0?nx??ny?得f10??????????1715Hz，f01????2143.75Hz ??2?0.1?2?0.08?2?lx??ly?22当1000Hz?f?1715Hz时，管中传播的是一束沿z轴方向，波阵面为一维平面波的(0,0)次波。

当1715Hz?f?2000Hz时，管中传播的是沿x轴程一定夹角方向斜向传播，并经壁面不断反射而进行着的平面波

(1,0)次高次波。

5-27 假设在一矩形管的管口z?0处声源的振速分布为u(t)?u0sin?lxxej?t，试求前三个简正波的声压振幅。

解：管中传播的波的形式为 pnn?Anncoskxxcoskyyej(?t?kzz) 在z?0处，pnn?Anncoskxxcoskyy

xyxyxyxy 又在z?0处，u(t)?u0sin?lxxej?t1 则 B00?lxly??0lx0lxly0u0sin?lxxdxdy?2?u0

B10?lxly2?π2???u0sinxcosxdxdy?0B01?00lxlylxlxlxly??ly0u0sin?lxxcosπydxdy?0 ly又 Anxny??0kzBnxny则 （1）对于(0,0)次简正波，cz?c0

pa00?Anncoskxxcosky?Anxnycosxynyπ??2?cnx?xcosy ?A00?0B00?00u0

kz?lxlx pa10?A10cos（2）对于(1,0)次简正波，cz?c01?πc?lx?22021()2lxx??0?kzB10cos?lxx?0

（3）对于(0,1)次简正波，cz?c01?πc1()2?ly2202 pa01?A01cos?lyy??0?kzB01cos?lyy?0

习题6

6-1 对于脉动球源，在满足kr0 <<1的情况下，如使球源半径比原来增加一倍，表面振速及频率仍保持不变，试问其辐射声压增加多少分贝？如果在kr0 <<1的情况下使球源半径比原来增加一倍，振速不变，频率也不变，试问声压增

?ckruaA加多少分贝？解：点声源声压P?ej(wt?kr)?0002(kr0?j)ej(wt?kr)

rr[1?(kr0)]（1）当kr0??1时，P?j2?0c0kr02uarej(wt?kr)球源半径比原来增加一倍，即P??j?0c0k(2r0)2uarej(wt?kr)

?4j?0c0kr02uar??ej(wt?kr)?4P?Pa?4Pa?Pe?4Pe

所以LP?20lg4PeP?20lge?20lg4故辐射声压增加了20lg4=12dB PrefPref

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