数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学曹

数列专题复习

一、等差数列的有关概念：

1、等差数列的判断方法：定义法an?1?an?d(d为常数）或an?1?an?an?an?1(n?2)。 如设{an}是等差数列，求证：以bn=等差数列。

2、等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。

如(1)等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an? （答：2n?10）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：

a1?a2???an n?N*为通项公式的数列{bn}为

n8?d?3） 3n(a1?an)n(n?1)d。 ，Sn?na1?223115*如（1）数列 {an}中，an?an?1?(n?2,n?N)，an?，前n项和Sn??，

2223、等差数列的前n和：Sn?则a1＝ ＿，n＝＿（答：a1??3，n?10）；

（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n2，求数列{|an|}的前n项和Tn（答：

2*??12n?n(n?6,n?N)Tn??2）. *??n?12n?72(n?6,n?N)4、等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A?a?b。 2提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及

Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，

即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为?，

a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（公差为2d）

5、等差数列的性质：

（1）当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Sn?na1?函数且常数项为0.

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n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次222（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

（3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有

am?an?2ap.

如（1）等差数列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，则n＝____（答：27）； (4) 若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、

a?也成等差数列，而{an}成等比数列；若{an}Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，{ap?nq}(p,q?N*)、

是等比数列，且an?0，则{lgan}是等差数列.

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：

225）

（5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇?nd；项数为奇数2n?1时，；S奇：S偶?n:?n-1?。 S奇?S偶?a中，S2n?1?(2n?1)?a中（这里a中即an）

如（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

（6）若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

An?f(n)，则Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).如设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分bn(2n?1)bnB2n?1别为Sn和Tn，若

a6n?2Sn3n?1，那么n?___________（答：） ?8n?7bnTn4n?3(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增

等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

?an?0??an?0?确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于?或??????an?1?0??an?1?0?n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N*。上述两种

方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大

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值。（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，a2003?a2004?0，则使前n项和

Sn?0成立的最大正整数n是 （答：4006）

（3）在等差数列?an?中，a10?0,a11?0，且a1则（ ） 1?|a10|，Sn是其前n项和，A、S1,S2B、S1,S2C、S1,S2D、S1,S2S10都小于0，S11,S12S19都小于0，S20,S21S5都小于0，S6,S7S20都小于0，S21,S22都大于0 都大于0 都大于0

都大于0 （答：B）

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm.

二、等比数列的有关概念：

1、等比数列的判断方法：定义法

an?1?q(q为常数），其中q?0,an?0或anan?1an(n?2)。 ?anan?1如（1）一个等比数列{an}共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an?1为____（答：）；（2）数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。

2、等比数列的通项：an?a1qn?1或an?amqn?m。

如等比数列{an}中，a1?an?66，a2an?1?128，前n项和Sn＝126，求n和q.（答：

56n?6，q?1或2） 2a1(1?qn)a1?anq?3、等比数列的前n和：当q?1时，Sn?na1；当q?1时，Sn?。

1?q1?q如（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99（答：44）； （2）

?(?Cn?1k?010nkn； )的值为__________（答：2046）

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特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。

4、等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个?ab。如已知两个正数

a,b(a?b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及

Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，

即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为?，

aaaa2q,,a,aq,aq?（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为?,,aq,aq3，?，23qqqq因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：

（1）当m?n?p?q时，则有aman?apaq，特别地，当m?n?2p时，则有

aman?ap2.

如（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；

lg（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则o（答：10）。

31aolg?32a?olg?301a?

(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap?nq}(p,q?N)、{kan}成等比数列；若

*a{n}成等比数列；则{anbn}、 若{an}是等比数列，且公比q??1，{an}、{bn}成等比数列，

bn则数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也是等比数列。当q??1，且n为偶数时，数列

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?是常数数列0，它不是等比数列.

?loagxn(n?N*)，且如（1）已知a?0且a?1，设数列{xn}满足logaxn?1?1 4 / 13

x1?x2??x100?100，则x101?x102?； ?x200? . （答：100a100）

（2）在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30?13S10,S10?S30?140，则S20的值为______（答：40）

(3)若a1?0,q?1，则{an}为递增数列；若a1?0,q?1, 则{an}为递减数列；若则{an}为递减数列；若a1?0,0?q?1, 则{an}为递增数列；若q?0，a1?0,0?q?1 ，

则{an}为摆动数列；若q?1，则{an}为常数列.

(4) 当q?1时，Sn??a1naq?1?aqn?b，这里a?b?0，但a?0,b?0，1?q1?q是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。

如若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1）

(5) Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的值为_____（答：－2）

(6) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶?qS奇；项数为奇数2n?1时，

S奇?a1?qS偶.

(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列?an?的前n项和为Sn（n?N）， 关于数列?an?有下列三个命题：①若

an?an?1(n?N)，则?an?既是等差数列又是等比数列；②若Sn?an2?bn?a、b?R?，

n则?an?是等差数列；③若Sn?1???1?，则?an?是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）

三、数列通项公式的求法

一、公式法

（?S1n?1)a?①n?；

S?S(n?2)n?1?n②?an?等差、等比数列?an?公式.

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