(浙江专版)2019年高中数学 第一章 计数原理 课时跟踪检测(五)组合与组合数公式 新人教A版选修2-3

（浙江专版）2019年高中数学 第一章 计数原理 课时跟踪检测（五）

组合与组合数公式 新人教A 版选修2-3

1．C 58＋C 68的值为( )

A ．36

B ．84

C ．88

D ．504 解析：选A C 58＋C 68＝C 69＝C 39＝9×8×73×2×1

＝84. 2．以下四个命题，属于组合问题的是( )

A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列

B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星

D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地

解析：选C 选项A 是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C 是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D 是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C ．

3．方程C x 14＝C 2x －4

14的解集为( )

A ．4

B ．14

C ．4或6

D ．14或2 解析：选C 由题意知????? x ＝2x －4，2x －4≤14，

x ≤14

或????? x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，

解得x ＝4或6. 4．某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是

( )

A ．6

B ．12

C ．24

D ．36

解析：选B 甲部门分一名电脑编程人员有C 13C 12C 33种分配方案，甲部门分两名电脑编程

人员有C 23C 12C 22种分配方案．∴由分类加法计数原理得，共有C 13C 12C 33＋C 23C 12C 22＝12(种)不同的分配方案．

5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )

A ．60种

B ．48种

C ．30种

D ．10种

解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C 25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C 23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C 25·C 23＝30种．故选C ．

6．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________．

解析：原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821

＝C 15＋C 25＋…＋C 1821

＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315.

答案：7 315

7．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________．

解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．

答案：20

8．不等式C 2n －n <5的解集为________．

解析：由C 2n －n <5，得

n (n －1)2－n <5， ∴n 2－3n －10<0.解得－2<n <5.

由题设条件知n ≥2，且n ∈N *

，

∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．

答案：{2,3,4}

9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ；

(2)解不等式：C x －18>3C x 8.

解：(1)原方程等价于 m (m －1)(m －2)＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1

， ∴4＝m －3，m ＝7.

(2)由已知得：????? x －1≤8，x ≤8，

∴x ≤8，且x ∈N *，

∵C x －18>3C x 8，

∴

8！(x －1)！(9－x )！>3×8！x ！(8－x )！. 即19－x >3x ，

∴x >3(9－x )，解得x >274

， ∴x ＝7,8.

∴原不等式的解集为{7,8}．

10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)

(1)图中有多少个矩形？

(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？

解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．

(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．

层级二 应试能力达标

1．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是( )

A ．{6,7,8,9}

B ．{0,1,2,3}

C ．{n |n ≥6}

D ．{7,8,9} 解析：选A ∵C 4n >C 6n ，∴????? C 4n >C 6n ，n ≥6，

?????? n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！

，n ≥6.

??

???? n 2－9n －10<0，n ≥6，?????? －1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9.

∴n 的集合为{6,7,8,9}．

2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )

A ．12种

B ．18种

C ．36种

D ．54种

解析：选B 由题意，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32

＝18种． 3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )

A ．60种

B ．63种

C ．65种

D ．66种

解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1种，取2奇数

2偶数的取法有C 24·C 25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C 45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．

4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( )

A ．18对

B ．24对

C ．30对

D ．36对

解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 46－3＝12个不同四面体，而每

个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．

5．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋2

16的解集是________．

解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.

答案：{5}

6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种(用数字作答)．

解析：两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 2

4＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 14＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．

答案：10

7．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．

解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！

， 整理得n 2－21n ＋98＝0，

解得n ＝7或n ＝14，

要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，

于是C 1214＝C 214＝14×132×1

＝91.

8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．

(1)若B中每一元素都有原象，则不同的映射f有多少个？

(2)若B中的元素0无原象，则不同的映射f有多少个？

(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，则不同的映射f又有多少个？

解：(1)显然映射f是一一对应的，故不同的映射f共有A44＝24个．

(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A中每一个元素的象都有3种可能，只有把A中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f有34＝81个．

(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，

∴不同的映射有：1＋C24A22＋C24A22＋C24＝31个．

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