深圳市龙岗区2013-2014学年第二学期期末高二（理科）数学试题及答案

联邦理科 高二下

深圳市龙岗区2013-2014学年第二学期期末学业评价试题

高二（理科）数学

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1．复数z?3?i（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2．用演绎推理推证“菱形的对角线互相平分”中，用到下列三个判断：①菱形是平行四边形；②平行四边形的对角线互相平分；③菱形的对角线互相平分．则大前提、小前提、结论分别是 A．①②③

3?i3．复数的模等于

1?iA．3

B．③②①

C．①③②

D．②①③

B．5 C．5 D．2

4．已知随机变量?的的分布列如右表，则随机 变量?的方差D?等于 A．0 C．2

B．0.8 D．1

? 1 0.4 2 0.2 3 P a 5．已知函数y?f(x)的图象如图1所示，则其导函数y?f?(x)的图象可能是

y y y y y

O A

x O B

x O C

x O D

x O y?f?x?x 图1

6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好 不爱好 总计 男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 2由K2?n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?P(K2?k) k 算得，K2?110?40?30?20?20?60?50?60?50?7.8.

附表：

0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

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C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 7．在二项式(x?1)5的展开式中，含x4的项的系数是 A．-10

B．10

C．-5

D．5 8．甲、乙等五名医生被分配到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名医生，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的不同分配方法种数为 A．72种

B．36种

C．144种

D．48种 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

19．函数f(x)?x3?2x2?3x?2在区间[0,2]上最大值为 .

310．?(x2?1)dx= .

0611．某班有50名学生，一次考试的成绩?(??N)服从正态分布N(100,102). 已知P(90???100)=0.3，估

计该班数学成绩在110分以上的人数为 .

12．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 .（用数字作答）

13．从装有n?1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球(0?m?n,m,n?N*),共有Cnm?1种取

m法．在这Cnm?1种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球不含黑球，共有C10?Cn种取法；另一类1m?1m1m?1m是取出的m个球中含有黑球，共有C1．因此，有C10?Cn?Cn?C1?Cn?Cn?1成立，即有等式mm?1mCn?Cn?Cn?1成立．试根据上述思想化简下列式子： m1m?1m?2Cn?Ck?Cn?Ck2?Cn?m?k?Ckk?Cn? .(1?k?m?n,k,m,n?N*).

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

?x?cos?,14．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是?（?是参数），若以O为极点，x轴的

y?sin??1.?正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为 . 15．如图2，⊙O的直径AB?6，P是AB延长线上的一点，过P切线，切点为C，连接AC，若?CPA?30?，则PC= . C A B P 点作⊙O的

O 图2

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x3?12x． （1）求函数f(x)的单调区间与极值；

（2）求函数y?f(x)的图象在点x??1处的切线方程．

17．（本小题满分12分）

一学生在上学途中要经过6个路口，假设他在各个路口遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都

1是. 3高二（理科）数学试题 第 2 页 共 8 页（2014.07）

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（1）求他通过第3个路口时，首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在途中恰好遇到3次红灯的概率； （3）求他在途中遇到红灯次数?的数学期望和方差.

18．（本小题满分14分）

已知数列?an?满足a1?1，4an?1?anan?1?2an?9(n?N*). （1）求a2,a3,a4；

（2）猜想数列?an?的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 19．（本小题满分14分）

某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：

月份x 1 4 2 4 3 5 4 6 5 6 y（万盒） （1）该同学通过作散点图，发现样本点呈条状分布，月份和甲胶囊生产产量有比较好的线性相关关系，

??a??bx?来近似刻画它们之间的关系．为了求出y关于x的线性回归方程因此可以用线性直线y??0.6，试求出a??a?的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊??bx?，根据表中数据已经正确计算出by产量数；

（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随

机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为?，求?的分布列和数学期望． ??(参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式bn?xyii?1i2?nx?y??y?bx.) ，a?xi?1ni?nx2

20．（本小题满分14分）

有同寝室的四位同学分别写一张贺年片，先集中起来，然后每人去拿一张．记自己拿到自己写的贺年片的人数为?.

（1）求随机变量?的概率分布； （2）求?的数学期望与方差.

21．（本小题满分14分）

a已知函数f?x??x?(a?R)，g?x??lnx．

x（1）求函数F?x??f?x??g?x?的单调区间；

g?x??x?[f?x??2e](e为自然对数的底数)只有一个实数根，求a的值． （2）若关于x的方程x

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龙岗区2013—2014学年第二学期期末高二理科数学参考答案

一、选择题：（每小题5分，共40分）DDCB，ACDA. 二、填空题：（每小题5分，共30分）

9. ?2m ；10.78；11. 10；12.48；13. Cn?k；14. ??2sin? ； 15.33. 3三、解答题：

16．（本小题满分12分）已知函数f(x)?x3?12x． （1）求函数f(x)的单调区间与极值；

（2）求函数y?f(x)的图象在点x??1处的切线方程．

解：（1）∵f?(x)?3x2?12?3(x?2)(x?2)，????????????2分 ∴当x变化时，f?(x)、f(x)的变化情况如下表：

x (??,?2) ＋ ↗ ?2 (?2,2) － ↘ 2 (2,??) ＋ ↗ 0 16 0 ?16 ∴函数f(x)的单调递增区间是(??,?2)、(2,??)，单调递减区间是(?2,2)．???6分 当x??2时，f(x)取极大值，极大值为16； ???????????7分 当x?2时，f(x)取极小值，极小值为?16． ????????????8分 （2）∵f(?1)?11，f?(?1)??9， ????????????????????10分 ∴函数y?f(x)图象在点x??1处的切线方程为y?11??9(x?1)，即9x?y?2?0． ????????????12分

17．（本题满分12分）一学生在上学途中要经过6个路口，假设他在各个路口遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是

1. 3（1）求他通过第3个路口时，首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在途中恰好遇到3次红灯的概率； （3）求他在途中遇到红灯数?的期望和方差.

解：（1）∵这名学生在第一、二个路口没遇到红灯，第三个路口遇到红灯。

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1114?. ????????????????????4分

3332713131603（2）P?C6?()?(1?)?. ????????????????????8分

337291（3）?B(6,) ????????????????????10分

31∴E??6??2， ????????????????????11分

3114D??6??(1?)?. ????????????????????12分

333∴概率P?(1?)(1?)?18. （本题满分14分）已知数列?an?满足a1?1，4an?1?anan?1?2an?9(n?N*). (1)求a2,a3,a4；(2)猜想数列?an?的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 18.解：（1）由已知条件，可得

an?1?9?2an， ????????????????????2分

4?an∵a1?1，

71319,a3?,a4?. ????????????????????5分 3576n?5(n?N*).????????????????????7分 (2)由（1）可猜想an?2n?1∴a2?下面用数学归纳法证明：

①当n?1时，an?1,猜想正确； ????????????????????9分 ②假设当n?k(k?N*)时，猜想成立，即ak?6k?5，??????????????10分 2k?1那么ak?12(6k?5)9?2ak2k?1?6(k?1)?5. ??6k?52(k?1)?14?ak4?2k?19?即当n?k?1时，猜想也正确. ????????????????????13分 由①②可知，猜想正确. ????????????????????14分 19．（本小题满分14分）

某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：

月份x 1 4 2 4 3 5 4 6 5 6 y（万盒） （1）该同学通过作散点图，发现样本点呈条状分布，月份和甲胶囊生产产量有比较好的线性相关关系，

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