江西省抚州市临川一中2015届高考数学最后一模试卷(理科)

江西省抚州市临川一中2015届高考数学最后一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1．（5分）设复数z=+（1+i）2，则复数z的共轭复数的模为（）

A．B．1C．2D ．

2．（5分）设全集U={x∈R|x≥0}，函数f（x）=的定义域为M，则?U M为（）

A．（10，+∞）∪{0} B．（10，+∞）C．（0，10）D．（0，10]

3．（5分）偶函数f（x）=log a|x+b|在（﹣∞，0）上单调递减，则f（a+1）与f（2﹣b）的大小关系是（）

A．f（a+1）＞f（2﹣b）B．f（a+1）=f（2﹣b）C．f（a+1）＜f（2﹣b）D．不能确定

4．（5分）已知{a n}为等差数列且公差d≠0，其首项a1=20，且a3，a7，a9成等比数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）

A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110

5．（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）

A．B．

C．

D ．

6．（5分）执行如图的程序框图，当k的值为2015时，则输出的S值为（）

A．B．

C．

D ．

7．（5分）“辽宁舰”，舷号16，是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索，降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条，则为“成功着陆”，舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%，挂住第二条、第三条拦阻索的概率为62%，捕捉钩为挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%，现有一架歼﹣15战机白天着舰演练20次均成功，则其被第四条拦阻索挂住的次数约为（）

A．5B．3C．2D．4

8．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ）﹣1（0＜φ＜），且（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（）

A．B．

C．

D ．

9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数

y=的图象交于点P，若函数y=

的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）

A．B．

C．

D ．

10．（5分）已知

，则

=（）

A．B．

C．

D ．

11．（5分）若不等式组所表示的平面区域存在点（x0，y0）使x0+ay0+2≤0成

立，则实数a的取值范围是（）

A．a＞1 B．a＞﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣1

12．（5分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）

A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

13．（5分）在1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是．（用数字作答）14．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），且f（1）=f（2），则f（log46）=．

15．（5分）非零向量，夹角为60°，且|﹣|=1，则|+|的取值范围为．

16．（5分）给定正奇数n（n≥5），数列{a n}：a1，a2，…a n是1，2，…，n的一个排列，定义E （a1，a2，…a n=|a1﹣1|+|a2﹣2|+…+|a n﹣n|为数列{a n}：a1，a2，…a n的位差和．若位差和E（a1，a2，…a n）=4，则满足条件的数列{a n}：a1，a2，…a n的个数为；（用n表示）

三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3且a1，a2，a4成等比数列．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）数列{}是以a1为首项，3为公比的等比数列，求数列{n?k n}的前n项和S n．

18．（12分）某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校2014-2015学年高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．

（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校2014-2015学年高二年纪学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．

p（K2≥k0）0.010 0.005 0.001

k0 6.635 7.879 10.828

附：．

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC=，AB=BB1=2，∠BCC1=，点E在棱BB1上．

（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC1

（Ⅱ）若BE=λBB1，试确定λ的值，使得二面角A﹣C1B﹣C 的余弦值为．

20．（12分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，动点P在椭圆上，且

使得∠F1PF2=90°的点P恰有两个，动点P到焦点F1的距离的最大值为2+．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x=﹣2上的动点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A，B，若直线AB与椭圆C1交于不同的两点C，D，求弦|CD|长的取值范围．

21．（12分）定义在R上的函数e x﹣1+a满足lnx，a≥2，x≥1．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数e x﹣1+a的单调区间；

（Ⅲ）如果lnx、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．（10分）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC的延长线于点F．

（1）求证：△ABE∽△ADC；

（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圆的半径．

23．直角坐标系中曲线C 的参数方程为（θ为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）经过点M（2，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率．

24．已知函数f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]．

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）若a、b、c 是正实数，且，求证：．

江西省抚州市临川一中2015届高考数学最后一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1．（5分）设复数z=+（1+i）2，则复数z的共轭复数的模为（）

A．B．1C．2D ．

考点：复数求模．

专题：数系的扩充和复数．

分析：化简复数wa+bi的形式，求出共轭复数，然后求解即可．

解答：解：z=+（1+i）2=+2i=1﹣i+2i=1+i，

=1﹣i，

．

故选：A．

点评：本题考查复数的基本运算，复数的模的求法，考查计算能力．

2．（5分）设全集U={x∈R|x≥0}，函数f（x）=的定义域为M，则?U M为（）A．（10，+∞）∪{0} B．（10，+∞）C．（0，10）D．（0，10]

考点：交、并、补集的混合运算．

专题：集合．

分析：求出函数的定义域，根据集合的基本运算进行求解即可．

解答：解：由1﹣lgx≥0得lgx≤1，交点0＜x≤10，

即M=（0，10]，

∵U={x∈R|x≥0}，

∴?U M=（10，+∞）∪{0}，

故选：A

点评：本题主要考查集合的基本运算，根据函数成立的条件求出函数的定义域是解决本题的关键．

3．（5分）偶函数f（x）=log a|x+b|在（﹣∞，0）上单调递减，则f（a+1）与f（2﹣b）的大小关系是（）

A．f（a+1）＞f（2﹣b）B．f（a+1）=f（2﹣b）C．f（a+1）＜f（2﹣b）D．不能确定

考点：函数单调性的性质．

专题：函数的性质及应用．

分析：由条件利用函数的奇偶性的性质、函数的单调性的性质，判断函数的奇偶性和单调性．

解答：解：根据函数f（x）=log a|x+b|为偶函数，可得f（﹣x）=fx），即log a|﹣x+b|=log a|x+b|，b=0，故f（x）=log a|x|．

再根据f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上单调递减，可得a＞1，∴（a+1）＞2﹣b=2．

由偶函数的性质可得f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递增，∴f（a+1）＞f（2﹣b），

故选：A．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题．

4．（5分）已知{a n}为等差数列且公差d≠0，其首项a1=20，且a3，a7，a9成等比数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）

A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110

考点：等差数列与等比数列的综合．

专题：计算题；等差数列与等比数列．

分析：根据等比数列的性质建立条件关系，求出等差数列的公差，即可得到结论．

解答：解：由a3，a7，a9成等比数列，

则a3a9=（a7）2，

即（a1+2d）（a1+8d）=（a1+6d）2，

化简可得2a1d+20d2=0，

由a1=20，d≠0，解得d=﹣2．

则S10=10a1+×（﹣2）=110，

故选D．

点评：本题主要考查等差数列的性质和等差数列的求和，根据等比数列的性质求出等差数列的公差是解决本题的关键．

5．（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）

A．B．

C．

D ．

考点：由三视图求面积、体积．

专题：空间位置关系与距离．

分析：由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．

解答：解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，

高为2的四棱锥，做出其直观图所示：

则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，

所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，

即该棱锥外接球的体积V==，

故选：C．

点评：本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据．

6．（5分）执行如图的程序框图，当k的值为2015时，则输出的S值为（）

A．B．

C．

D ．

考点：程序框图．

专题：图表型；算法和程序框图．

分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出

S=0+

++…+的值，用裂项法即可求值．

解答：解：模拟执行程序框图，可得

第一次循环，S=0+，n=1＜2015；

第二次循环，S=0++，n=2＜2015；

第二次循环，S=0+

+，n=3＜2015；

…

当n=2015时，S=0+

++…+=1﹣…+﹣=1

﹣=，

此时满足2015≥2015，退出循环，输出S 的值为：．故选：C．

点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型?③解模．

7．（5分）“辽宁舰”，舷号16，是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索，降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条，则为“成功着陆”，舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%，挂住第二条、第三条拦阻索的概率为62%，捕捉钩为挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%，现有一架歼﹣15战机白天着舰演练20次均成功，则其被第四条拦阻索挂住的次数约为（）

A．5B．3C．2D．4

考点：互斥事件的概率加法公式．

专题：概率与统计．

分析：仔细阅读题意得出舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1﹣18%﹣62%﹣5%=15%，运用总体为20，求解即可．

解答：解：由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1﹣18%﹣62%﹣5%=15%，

故其被第四条拦阻索挂住的次数约为20×0.15=3

故选：B

点评：本题简单的考查了概率在实际问题中的应用，需要仔细阅读题意，确定关系即可，属于容易题．

8．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ）﹣1（0＜φ＜），且（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（）

A．B．

C．

D ．

考点：定积分；函数的零点．

专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．

分析：把f（x）=sin（x﹣φ）﹣1代入（f（x）+1）dx=0，由定积分求得φ，得到函数解析式，再由f（x）=0求得函数f（x）的一个零点．

解答：解：由f（x）=sin（x﹣φ）﹣1且（f（x）+1）dx=0，

得[sin（x﹣φ）]dx=0，∴[﹣cos（x﹣φ）]=0．

即，∴．

∵0＜φ＜，∴φ=，

则f（x）=sin（x ﹣）﹣1，

由sin（x ﹣）﹣1=0，解得：．

取k=0，得x=．

故选：A．

点评：本题考查了定积分，考查了由三角函数值求角，训练了函数零点的判断方法，是中档题．

9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数

y=的图象交于点P，若函数y=

的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）

A．B．

C．

D ．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．

解答：解：设，函数y=的导数为：y′=，∴切线的斜率为，又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），∴，解得x0=1，

∴P（1，1），可得，c2=a2+b2．c=1，解得a=

因此，故双曲线的离心率是，

故选A；

点评：本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求．

10．（5分）已知

，则

=（）

A．B．

C．

D ．

考点：两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．

专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．

分析：首先对函数的关系式进行灵活的恒等变换，进一步利用诱导公式和2倍角公式进行变形，进一步求出结果．

解答：解：=

=

=

又由于=

=

=

由

=

=1﹣

故原式=

故选：B

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，及相关的运算问题，主要考查学生对关系式的灵活变换能力．

11．（5分）若不等式组所表示的平面区域存在点（x0，y0）使x0+ay0+2≤0成

立，则实数a的取值范围是（）

A．a＞1 B．a＞﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣1

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式组对应的平面区域，根据线性规划的知识，结合直线斜率与区域的关系进行求解即可．

解答：解：作出不等式组对应的平面区域，

若a=0，则不等式等价为x≤﹣2，此时不满足条件．

若a＞0，直线x+ay=2的斜率k=﹣＜0．若面区域存在点（x0，y0）使x0+ay0+2≤0成立，即区域内的存在点在直线x+ay=2的下方，此时不满足条件．

若a＜0，直线x+ay=2的斜率k=﹣＞0，

若面区域存在点（x0，y0）使x0+ay0+2≤0成立，

即区域内的存在点在直线x+ay=2的上方，

即直线x+ay=2的斜率k=k=﹣≤k AB=1，

解得a≤﹣1，

故选：

D

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．注意要对a进行讨论．

12．（5分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）

A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]

考点：与二面角有关的立体几何综合题．

专题：空间位置关系与距离．

分析：由已知条件推导出，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前DE=AC=，翻折后AE=，AD=，从而求出0＜x ＜．翻折后，当△B1CD与△ACD在

一个平面上，∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×，由此能求出x的取值范围为（0，]．

解答：解：由题意得，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，

翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=AC=，

翻折后，在图2中，此时CB⊥AD．

∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，

∴BC⊥AE，DE⊥BC，

又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1，

∴AE=，AD=，

在△ADE中：①，②，③x＞0；

由①②③可得0＜x ＜．

如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，

AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，

又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°，

∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，

∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×

综上，x的取值范围为（0，]，

故选：A．

点评：本题考查线段长的取值范围的求法，要熟练掌握翻折问题的性质，注意培养空间思维能力．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

13．（5分）在1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是120．（用数字作答）

考点：二项式定理的应用．

专题：计算题；二项式定理．

分析：在1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是C22+C32+…+C92=C103，即可得出结论．

解答：解：在1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是

C22+C32+…+C92=C103=120．

故答案为：120．

点评：本题考查二项式系数的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

14．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），且f（1）=f（2），则f（log46）=．

考点：分段函数的应用．

专题：函数的性质及应用．

分析：函数f（x）=（a＞0，a≠1），可得f（1）=，f（2）=a2，解得a，再利用对数的运算性质即可得出．

解答：解：∵函数f（x）=（a＞0，a≠1），且f（1）=f（2），

∴=a2，

解得a=．

∵log46＞1，

则f（log46）===．

故答案为：．

点评：本题考查了对数的运算性质、分段函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．（5分）非零向量，夹角为60°，且|﹣|=1，则|+|的取值范围为（1，]．

考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．

分析：非零向量，夹角为60°，=1，可得=+1≥，可

得≤1．于是|+

|==，即可得出．

解答：解：∵非零向量，夹角为60°，=1，∴

，即

=1，

化为=+1≥，可得≤1．当且仅当==1时取等号．

∴|+

|=

==，

∴，

∴．

∴|+|的取值范围为．

故答案为：．

点评：本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

16．（5分）给定正奇数n（n≥5），数列{a n}：a1，a2，…a n是1，2，…，n的一个排列，定义E （a1，a2，…a n=|a1﹣1|+|a2﹣2|+…+|a n﹣n|为数列{a n}：a1，a2，…a n的位差和．若位差和E（a1，

a2，…a n）=4，则满足条件的数列{a n}：a1，a2，…a n 的个数为；（用n 表示）

考点：数列的求和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：若数列{a n}：a1，a2，…，a n的位差和E（a1，a2，…，a n）=4，有如下两种情况：

情况一：当a i=i+1，a i+1=i，a j=j+1，a j+1=j，且{a i，a i+1}∩{a j，a j+1}=?，其他项a k=k（其中k?{i，i+1，j，j+1}）时；情况二：当a i，a i+1，a i+2分别等于i+2，i+1，i；或i+1，i+2，i；或i+2，i+1，i；其他项a k=k（其中k?{i，i+1，i+2}）时，分别计算出即可得出．

解答：解：若数列{a n}：a1，a2，…，a n的位差和E（a1，a2，…，a n）=4，有如下两种情况：情况一：当a i=i+1，a i+1=i，a j=j+1，a j+1=j，且{a i，a i+1}∩{a j，a j+1}=?，其他项a k=k（其中k?{i，

i+1，j，j+1}）时，有（n﹣3）+（n﹣4）+…+2+1=种可能；

情况二：当a i，a i+1，a i+2分别等于i+2，i+1，i；或i+1，i+2，i；或i+2，i+1，i；其他项a k=k （其中k?{i，i+1，i+2}）时，有3（n﹣2）种可能；

综上，满足条件的数列{a n}：a1，a2，…，a n 的个数为+3（n﹣2）

=．

故答案为：．

点评：本题考查了新定义“位差和”、等差数列的前n项和公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3且a1，a2，a4成等比数列．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）数列{}是以a1为首项，3为公比的等比数列，求数列{n?k n}的前n项和S n．

考点：数列的求和；等比数列的通项公式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（Ⅰ）设的公差为d ，通过，及a1=3，可得a n=3n；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用数列{}是以a1为首项，3

为公比的等比数列，得

，由此可得S n及3S n ，相减即得．

解答：解：（Ⅰ）设的公差为d ，由题意，，

即，于是d（a1﹣d）=0，

因为d≠0，且a1=3，所以d=3，故a n=3n；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

又数列{}是以a1为首项，3为公比的等比数列，则，

所以，即．

因此S n=1×30+2×31+3×32+…+n×3n﹣1①

则②

由①﹣②得﹣2S n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n×3n

=

=，

因此．

点评：本题考查求数列的通项公式、前n项和，注意挖掘隐含条件、积累解题方法，属于中档题．

18．（12分）某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校2014-2015学年高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．

（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校2014-2015学年高二年纪学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．

p（K2≥k0）0.010 0.005 0.001

k0 6.635 7.879 10.828

附：．

考点：离散型随机变量及其分布列；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．

专题：概率与统计．

分析：（Ⅰ）由题意得列联表，可计算K2≈16.667＞10.828，可得结论；

（Ⅱ）可得语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是，X～B（3，），P（X=k）=（）k （）8﹣k，k=0，1，2，3，计算可得各个概率，可得分布列，进而可得期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意得列联表：

语文优秀语文不优秀总计

外语优秀60 100 160

外语不优秀140 500 640

总计200 600 800

因为K2=≈16.667＞10.828，

所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．…（5分）

（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是．

则X～B（3，），P（X=k）=（）k （）3﹣k，k=0，1，2，3．

X的分布列为

X 0 1 2 3

p

所以E（X）=3×

=．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及独立性检验，属中档题．

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC=，AB=BB1=2，∠BCC1=，点E在棱BB1上．

（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC1

（Ⅱ）若BE=λBB1，试确定λ的值，使得二面角A﹣C1B﹣C 的余弦值为．

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

专题：空间位置关系与距离；空间角．

分析：（Ⅰ）通过由余弦定理、勾股定理及线面垂直的判定定理即得结论；

（Ⅱ）以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，通过平面AC1E的一个法向量与平面C1EC 的一个法向量的夹角的余弦值为，计算即可．

解答：（Ⅰ）证明：∵BC=，CC1=BB1=2，∠BCC1=，

在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B=，

∴C1B2+BC2=，即C1B⊥BC．

又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，

又CB∩AB=B，所以C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1两两垂直，

以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，

则B（0，0，0），A（0，2，0），C （，0，0），

C1（0，0，），B1（﹣，0，），

∴=（0，2，﹣），

=+λ=（﹣，0，0）+λ（﹣，0，）=（﹣﹣λ，0，λ），

设平面AC1E 的一个法向量为=（x，y，z），

由，得，

令z=，取=（，1，），

又平面C1EC 的一个法向量为=（0，1，0），

所以cos ＜，＞===，解得λ=．

所以当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C 的余弦值为．

点评：本题考查空间中线面垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．

20．（12分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，动点P在椭圆上，且

使得∠F1PF2=90°的点P恰有两个，动点P到焦点F1的距离的最大值为2+．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x=﹣2上的动点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A，B，若直线AB与椭圆C1交于不同的两点C，D，求弦|CD|长的取值范围．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（I ）利用条件推出；动点P到焦点F1的距离的最大值为

，可得

，求出a、c、b，即可求出椭圆方程．

（II ）设直线上动点T 的坐标为，设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线AT的方程为x1x+y1y=4，直线BT的方程为x2x+y2y=4，通过，得

到直线AB的方程，联立直线与椭圆方设C（x3，y3），D（x4，y4）．利用韦达定理求解|CD|，然后求出范围即可．

解答：解：（I）由使得∠F1PF2=90°的点P 恰有两个可得；动点P到焦点F1的距离的最大值为，可得，即，

所以椭圆C1的方程是…（4分）

（II）圆C2的方程为x2+y2=4，设直线上动点T 的坐标为设A（x1，

y1），B（x2，y2），则直线AT的方程为x1x+y1y=4，直线BT的方程为x2x+y2y=4

，又

在直线AT和BT 上，即，

故直线AB 的方程为…（6分）

联立，消去x得（t2+16）y2﹣8yt﹣16=0，设C（x3，y3），D（x4，y4）．则，…（8分）

从而…（10分）

=，

又t2+16≥16，从而，所以|CD|∈[2，4）…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．转化思想的应用，是难度比较大的题目．

21．（12分）定义在R上的函数e x﹣1+a满足lnx，a≥2，x≥1．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数e x﹣1+a的单调区间；

（Ⅲ）如果lnx、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

专题：导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）对f（x）求导求出f‘（1）的值求出解析式．

（Ⅱ）f（x）=e2x﹣2x+x2，

∴

∴g'（x）=e x﹣a．对g'（x）讨论得出结论

（Ⅲ）设，∵，对两函数分别求导得出最值，再根据条件得出结论．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=f'（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），所以f'（1）=f'（1）+2﹣2f（0），即f （0）=1．又，所以f'（1）=2e2，所以f（x）=e2x+x2﹣2x．（2分）

（Ⅱ）∵f（x）=e2x﹣2x+x2，

∴

∴g'（x）=e x﹣a．（3分）

①当g'（x）＞0时，g'（x）＞0，函数g'（x）=e x﹣a=0在g'（x）=e x﹣a=0上单调递增；（4分）

②当g'（x）=e x﹣a=0时，由g'（x）=e x﹣a=0得g'（x）＜0，

∴g'（x）＜0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；g'（x）＞0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．

综上，当g（x）时，函数g（x）的单调递增区间为g（x）；当g（x）时，

函数g（x ）的单调递增区间为，单调递减区间为．（6分）

（Ⅲ）解：设，∵，∴p（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，又p（e）=0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，当x＞e时，p （x）＜0．∵，，∴q'（x）在x∈[1，+∞）

上为增函数，又q'（1）=0，∴x∈[1，+∞）时，q'（x）≥0，∴q（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，∴q（x）≥q（1）=a+2＞0．（8分）

①当1≤x≤e 时，，

设，则，∴m（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，∴m（x）≤m（1）=e﹣1﹣a，∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比

e x﹣1+a更靠近lnx．（10分）

时，

②当x＞e

设n（x）=2lnx﹣e x﹣1﹣a ，则，，∴n'（x）在x＞e 时为减函数，∴，∴n（x）在x＞e时为减函数，∴n（x）＜n（e）=2﹣a﹣e e﹣1＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近lnx．综上：在a≥2，x≥1时，比e x﹣1+a更靠近lnx．（12分）

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