2010高考冲刺数学：精彩十五天（第10天）第六章 不等式

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2010届高三冲刺数学：精彩十五天

回顾2009年各地高考数学试题，无不体现 “在考查基础知识的同时，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查”的命题指导思想。试题涉及知识点的覆盖面广、起点低、坡度缓，充分重视到难度适中，区分出不同考生对基本概念掌握的层次或效果不同，强化应用意识，倡导理性思维，体现创新意识的考查。几乎所有的试卷，都强调对基础知识的掌握、突出运用所学知识解决实际问题的能力。遵照高考考试大纲和考试大纲说明的要求，从题型设置、考察知识的范围和运算量,书写量等方面保持相对稳定，体现了考查基础知识、基本运算方法和基本数学思想方法的特点.同时,也注重了知识之间内在的联系与综合，在知识的交汇点设计试题的原则。

从大纲课标、考纲回归到课本，这是考前每一位高三学生的必经之路。为此，我们重点关注考试内容、考试要求、知识结构和知识要点与主要思想方法四大内容，在高考前15天，引领高三学子，每天温习一个章节的双基知识，期待在相应的思想方法上有更多的历练和提升。

2010届高三冲刺数学：精彩十五天第10天——5月27日

第六章 不等式

一、考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 二、考试要求：

1．理解不等式的性质及其证明．

2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简 单的应用．

3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． 4．掌握简单不等式的解法．

5．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 四、知识要点及重要思想方法： 1． 不等式的基本概念

（1）不等（等）号的定义：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式.

（4）同解不等式与不等式的同解变形.

2． 不等式的基本性质

（1）a?b?b?a（对称性）

（2）a?b,b?c?a?c（传递性） （3）a?b?a?c?b?c（加法单调性）

（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减） （6）a.?b,c?0?ac?bc

（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）

（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

(9)a?b?0,0?c?d?ab（异向不等式相除） ?cd高考资源网版权所有 侵权必究

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(10)a?b,ab?0?11（倒数关系） ?ab（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则）

（12）a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)（开方法则） 3． 几个重要不等式

（1）若a?R,则|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么

ab?a?b（当仅当a=b时取等号）

.2极值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

(4)若a、b、c?R?,则a?b?c3?abc（当仅当a=b=c时取等号） 3ba(5)若ab?0,则??2（当仅当a=b时取等号）

ab(6)a?0时，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a

（7）若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 4．几个著名不等式 （1）平均不等式：

a?b如果a,b都是正数，那么 ?ab??112?ab2a2?b2.（当仅当a=b时取等号）即：2平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）： 特别地，ab?(a?b2a2?b2a?b2a2?b2（当a = b时，)?()??ab）

22222a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等) 33??22?...?an??幂平均不等式：a12?a222221(a1?a2?...?an)2 n2注：例如：(ac?bd)?(a?b)(c?d).

111常用不等式的放缩法：①??nn?1n(n?1)②n?1?n? （2）柯西不等式：

1n2111??(n?2)

n(n?1)n?1n1n?n?112n1n?n?1?n?n?1(n?1)

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若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;则2222222 （a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2?(a1?a2?a3???an)(b12?b2?b3??bn)aaaa当且仅当1?2?3???n时取等号b1b2b3bn （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有

f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2)

)?.22则称f(x)为凸（或凹）函数.

5． 不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6． 不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例 ① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ○1

?f(x)?0????定义域

f(x)?g(x)??g(x)?0??f(x)?g(x)?2○

?f(x)?0?f(x)?0f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]

3○

?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0

2??f(x)?[g(x)]af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x) （4）指数不等式：转化为代数不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

（5）对数不等式：转化为代数不等式

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?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)? （6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x) ?g(x)?0?|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1?x)2?1124 ?2x(1?x)(1?x)?()3?2232722x2(1?x2)(1?x2)123423②y?x(1?x)?y? ?()??y?2232792类似于y?sinxcosx?sinx(1?sinx)，③|x?1|?|x|?|1|(x与1同号，故取等)?2

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