固体物理习题及答案汇总整理终极版

11级第一次(作业)

请充分利用网络、本校及外校图书馆的相关资料，同时联系相关专业的老师，调查关于固体物理的简史、发展趋势以及当代的热门前沿课题(针对自己感兴趣的某个方面)，形成一份报告，阐述自己的看法，要求2000字以上。(已经在第一次课布置，11月1日前后上交)

11级固体物理第2次习题和思考题

1.在结晶学中，我们课堂上讲的单胞，也叫元胞，或者叫结晶学原胞，也叫晶胞，试回忆一下晶胞是按晶体的什么特性选取的？

答：在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。

2.解释Bravais点阵并画出氯化钠晶体的结点所构成的Bravais点阵。

答：晶体的内部结构可以概括为由一些相同的结点构成的基元在空间有规则的作周期性的无限分布，这些结点构成点阵，如果基元只由一个结点构成，这种点阵称为Bravais点阵。氯化钠晶体的Bravais点阵可参照书p8的图1-13，点阵的结点由钠离子和氯离子组成。

3.说明金刚石结构是复式点阵的原因。

答：金刚石结构可这样描述：面心立方的体心向顶角引8条对角线，在互不相邻的四条对角线中点，各有一个原子。以金刚石为例，顶角和面心处的原子周围情况和对角线上的原子周围情况不相同，因而金刚石结构是复式晶格，可看作两套面心立方子晶格沿体对角线移开1/4体对角线长度而成。Bravais点阵包含两个原子。

4.体心立方点阵和面心立方点阵互为正、倒格子，试证明之。 答：面心立方的三个基矢为：

??a???a1?2(i?j)???a???a2?(j?k)

2??a???a(k?i)3??2?a3其体积为

4，根据倒格矢的定义得：

????a2?a32????(i?j?k)?b1?2?????a?(a?a)a1?2?3??a3?a12?????(?i?j?k) ?b2?2?????a1?(a2?a3)a????a2?????1?a2(i?j?k)?????b3?2?aa1?(a2?a3)?可见，除了系数不同之外，方向正好是体心立方的晶格基矢。反之亦然。

5、翻看资料，试画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。

(1)氯化铯； (2)硅； (3)砷化镓； (4)硫化锌

答：(1)氯化铯为简单立方，氯离子处于立方的顶角组成子晶格，铯离子处于立方的顶角组成 子晶格，两套子晶格沿着体对角线移开一半体对角线长度，使得氯离子子晶格的体心 恰好有一个铯离子，铯离子子晶格的体心恰好有一个氯离子。元胞就是简单立方。一

1

个元胞里有一个氯离子和一个铯离子；配位数为6。

(2)硅为复式格子，硅原子组成面心立方子晶格，两套子晶格沿体对角线移开1/4体对角线长度，形成 金刚石结构。初基元胞就是面心立方，一个元胞里有两个硅原子。配位数为4。

(3)、(4)砷化镓和硫化锌的结构相同，属于闪锌矿结构，晶格实际上是金刚石结构，只是原子不同类。 图略，参见书p5~6的图1-8、1-9、1-10

6.用倒格矢的性质证明，立方晶格的(hcl)晶向与(hcl)晶面垂直。

????答：根据倒格矢的性质，对应于(hcl)晶面的倒格矢为：Ghcl?hb1?cb2?lb3，它垂直于(hcl)晶面；而

????(hcl)晶向为：Nhcl?ha1?ca2?la3。根据倒格矢与正格矢的关系即倒格矢的定义可知：在立方晶格中，??ai//bi(i?1,2,3)，大小成比例，所以立方晶格的(hcl)晶向与(hcl)晶面垂直。

7.若轴矢a、b、c构成简单正交系，证明，晶面族(h、k、l)的面间距为

1

h2k2l2(a)?(b)?(c)?答：设晶面族(h、k、l)的公共法线的单位矢量为n，则：

??????a?n?hdhkl、b?n?kdhkl、c?n?ldhkl

2dhkl?即：

??????acos(a?n)?hdhkl、bcos(b?n)?kdhkl、ccos(c?n)?ldhkl

dhkl为面间距，整理后结论即得证明。

aa3a(i+j+k)的晶体为何种结构？若a=(j+k)+i，又为何种结构？为什么？ 222a3答：由已知条件，可计算出晶体的原胞的体积Ω= a1·a2×a3=。由原胞的体积推断，晶体结构为体心立方。

28.基矢为a1=ai，a2=aj，a3=

3

构造新的矢量：

a(-i+j+k)， 2av=a3-a2=(i-j+k)，

2aw=a1+a2-a3=(i+j-k)。

2u=a3-a1=

u，v，w对应体心立方结构，可以验证，u，v，w满足选作基矢的充分条件。可见基矢为a1=ai，a2=aj，a3=的晶体为体心立方结构。

9.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为

a(i+j+k)2a3a若a3=(j+k)+

22a3i，则晶体的原胞的体积Ω= a1·a2×a3=

2，该晶体仍为体心立方结构。

(1)简单立方

3??；(2)体心立方

86；(3)面心立方

2?6；(4)六角密积

2?6；(5)金刚石

3?16。

答：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：

2

?2R，则简立方的致密度

441??R31??R3???33?33?6a(2R)

（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a立方的致密度为：

?4R/3，则体心

442??R32??R33?3??33??8a(4R/3)3

（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a方的致密度为：

?22R，则面心立

444??R32??R33??33??3a(22R)（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为

2?6

R，则原胞的晶体学常数

a?2R，

c?(26/3)a?(46/3)R，则六角密积的致密度为：

446??R36??R333????223a3(2R)6?c6?(46/3)R442?6

（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a石的致密度为：

?(8/3)R，则金刚

448??R38??R33?3??33?? 3316a(8/3)R

10.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 答：体心立方格子的基矢为：

a?a??12(?i?j?k)?a??a2?(i?j?k)

2??a3?a(i?j?k)?2?根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：

3

2?[a2?a3]2??b??(j?k)?1?a?2?[a3?a1]2??b??(i?k) ?2?a??b?2?[a1?a2]?2?(i?j)3??a?由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

11、对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为

a1?a3i?aj 22a3a2??i?aj

22a3?ck

试求倒格子基矢。

答：根据倒格子基矢的定义可知：

a3(?i?aj)?(ck)a2?a322b1?2??2? a1?[a2?a3]a3a3(i?aj)?[(?i?aj)?(ck)]22223acaci?j22＝2?(i?2j)

a323ac2?2?a(ck)?(?i?a3?a12b2?2??2?a1?[a2?a3]a3a(i?aj)?[(?i?222??2?3aj)2 3aj)?(ck)]23acaci?j22＝2?(?i?2j)

a323ac2 4

a3a3(i?aj)?(?i?aj)a1?a22222b3?2? ?2?a1?[a2?a3]a3a3(i?aj)?[(?i?aj)?(ck)]222232ak2?2?32ac2 =

2?k c

12、一晶体原胞基矢大小a=4?、b=6 ? 、c=8 ?，基矢间夹角α=β=90°，γ=120°。试求：

(1)、倒格子基矢的大小； (2)、正、倒格子原胞的体积； (3)、正格子(210)晶面族的面间距。

答：(1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为：

a1?ai

13a2?b(?i?j)

22a3?ck

由此可知：

b1?2?a2?a3=2?a1?[a2?a3]bc(31i?j)22=2?(i?1j)

a33abc2=

b2?2?a3?a1=2?a1?[a2?a3]acj3abc2ab3k22?2?j b3

b3?2?a1?a2=2?a1?[a2?a3]3abc2=

2??k c 所以

b1＝

2?1?12?()2a3＝

4?3a?1.8138?1010m?1

5

b2b3＝

2?2?()2b3＝

4?3b?1.2092?1010m?1

＝

2??12c＝

2??0.7854?1010m?1 c (2) 正格子原胞的体积为：

133??a1?[a2?a3]＝(ai)?[b(?i?j)?(ck)]＝abc?1.6628?10?28m3

222倒格子原胞的体积为：

16?32?12?22???b1?[b2?b3]＝?1.4918?1030m?3 (i?j)?[(j)?(k)]＝

abc3abc33?(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：

dh?2?Kh=

2?2b1?1b2?0b3=

4?4?i?(?)ja3a3b2?4?

=

2??4?11112()2?(?)a3a3b?1.4412?10?10m

13.教科书p16面的公式(1-5)是用正基矢a1、a2、a3表示倒基矢b1、b2、b3的，试用倒基矢b1、b2、b3来表示正基矢a1、a2、a3。

a3?a1a1?a2(2?)2b2?b3?{2?}?{2?}?[(a3?a1)?(a1?a2)]2a1?[a2?a3]a1?[a2?a3]?(2?)2(2?)2{[(a3?a1)?a2]a1?[(a3?a1)?a1]a2}?[(a3?a1)?a2]a1答：??2?2(2?)2?a1?2?*因为??

?1?*b2?b3?b2?b3 所以a1?2(2?)2???*?*b3?b1、a3?b1?b2，其中Ω*是倒原胞体积。 同理a2?2?2?

14.回忆一下晶体的周期性对对称性的影响，基本点对称操作有哪几种。

答：晶体从微观上看是具有周期性的，从宏观上看具有对称性，两者相互影响，周期性使得晶格的对称操

作只存在1、2、3、4、6重等5种旋转轴。基本的点对称操作有8种，分别是E、C2、C3、C4、C6、i、

6

m(或σ)，S4。

15.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯键的基本特征。

答：(1)离子键：无方向性，键能相当强；(2)共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；(3)金属键：有一

定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；(4)范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距感应而形成，其结合力一般与r6成反比关系，该键结合能较弱。

16.当二个原子由相距很远而逐渐接近时，它们之间的力与势能是如何逐渐变化的？

答：当

2个原子由相距很远而逐渐接近时，2个原子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，

f(r)<0，而相互作用势能u(r)逐渐减小；当2个原子慢慢接近到平衡距离r0时，此时，引力等于斥力，总的作用为零，f(r)=0，而相互作用势能u(r)达到最小值；当2个原子间距离继续减小时，由于斥力急剧增大，此时，斥力开始大于引力，总的作用为斥力，f(r)>0，而相互作用势能u(r)也开始急剧增大。

17.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？

(以上四题除参看教材之外，还可翻阅资料，以得到更充实的解答)

答：由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。

18、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 U(r)??ab?rmrn

的形式，试求出(1)、晶体平衡时两原子间的距离；(2)、平衡时的二原子间的互作用能。(3)、若取m=2、n=10，两原子间的平衡距离为3?，仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev，计算a及b的值；(4)若把互作

n用势中排斥项b/r改用玻恩－梅叶表达式?exp(-r/p)，并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n和p间的关系。 答：(1)、U(r)对r求导，

dU(r)manb?m?1?n?1drrr代入U(r)令之等于零即得：r0?am?????bn?a?am????bn?1m?n；

(2)、将r0?am????bn??1m?n??ab?rmrn即得：U(r0)??mm?n?b?am????bn?nm?n

(3)、由题意知，r0?am????bn??1m?n=3?，U(r0)??a?am????bn?mm?n?b?am????bn?rnm?n=4ev，且m=2、n=10，

得：a=-7.2×10-38；b=-1.0498×10-15；

?dU(r)ma??pap?m?1?e(4)、此时，U(r)??m??e，求导得：

drprrr，令之为0，设此时原子间距为r0，则

7

map??er0m?1r?0p，于是U(r0)???amapamp?am?，根据题意，此时r0?????[1?]?r0r0mr0m?1r0mbn??b?am???bn??nm?n1m?n，

?amp[1?]??mr0r0a?am???bn??mm?n，所以np=r0?am????bn??1m?n

?B?e2?19、N对离子组成的NaCl晶体相互作用势能为：U(R)?N?n??

4??0R??R4??0Bn?1n (1)、证明平衡原子间距为 R0?2?e?Ne21(1?) (2)、证明平衡时的互作用势能为 U(R0)??4??0R0n(3)、若试验测得NaCl晶体的结合能为765kj/mol，晶格常数为5.63?10m，计算NaCl晶体的排斥能的幂

指数n，已知NaCl晶体的马德隆常数是?＝1.75。

-10

?nBdU(R)?e2??N??n?1?答：(1)、U(R)对R求导，令之等于零即可得到(1)； 2?dRR4??R0??(2)、将(1)代入U(R)即可得到(2)；

(3)、将具体数字代入U(R0)即可得n=5.3。

20、有一晶体，在平衡时的体积为V0，原子之间总的相互作用能为U0，如果原子间相互作用能由下式给出：

u(r)??试证明弹性模量可由U0?rm??rn，

?mn/(9V0)?给出。

答：解：根据弹性模量的定义可知

?d2U?dP?K???V????VdV2dV??V0?上式中利用了P??? (1) ?V0dU的关系式。设系统包含N个原子，则系统的内能可以写成 dVNN??U?u(r)?(?m?n) (2)

22rr又因为可把N个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r的函数，即

??V?Nv?N?r3 (3)

8

上式中?为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，??2/2）。又因为：

(4)

(dU1dUN?m?n??1)?()?????RdV2?rm?1rn?1?3N?r23?Nr2dr0n????Nm?(??2rm?1rn?1?????r?r0

d2Udrd?1(2)V0???dVdr?3N?r2dV1N?m2?n2?3m?3n??????m?n?m?n? (5)

29V02?r0r0r0r0?考虑平衡条件(m?n?dU)r0?0，得m?ndVr0r0，那么(5)式可化为：

d2U1N?m2?n2??1N?m?n??(2)V0???????m?n ??2mn?2mn?dV9V02?r0r0?9V02?r0r0?

?1N?n?m??mnN????mn??m?n?????(?U0) (6) ?????9V022?r0nr0m?9V022?r0mr0n?9V02将(6)式代入(1)式得：

K?V0?mn?U0?U0?mn/(9V0)? 9V02

11级固体物理第三次习题_思考题参考答案

1. 一维无限长同种原子链和一维无限长异种原子链是从实际中抽象出来的模型，试在简单立方、体心立方、面心立方、氯化钠、氯化铯晶体中找到原型

答： 简单立方、体心立方、面心立方都是由同种原子构成的，立方体的各个边方向、面心立方、体心立方的体对角线方向，面心立方的面对角线上都能抽象出一维无限长同种原子链；氯化钠、氯化铯是由两种‘原子’构成的，在氯化钠元胞的各个边上、氯化铯元胞的体对角线上都能抽象出一维无限长异种原子链。

2. 引入玻恩-卡门条件的理由是什么？

答：(1)方便于求解原子运动方程。由书中可知，除了原子链两端的两个原子外，其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关，即除了原子链两端的两个原子外，其它原子的运动方程构成了个联立方程组，但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子，其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关，运动

9

方程与其它原子的运动方程迥然不同。与其它原子的运动方程不同的这两个方程，给整个联立方程组的求解带来了很大的困难。

(2)与实验结果吻合得较好。对于原子的自由运动，边界上的原子与其它原子一样，无时无刻不在运动。对于有N个原子构成的的原子链，硬性假定u1=0，uN=0的边界条件是不符合事实的。其实不论什么边界条件都与事实不符。但为了求解近似解，必须选取一个边界条件。晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证。玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件。实验测得的振动谱与理论相符的事实说明，玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件。

3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？

答：为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的高阶非线性项忽略掉的近似称为简谐近似。在简谐近似下，由N个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为简正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线性迭加。

简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等于3N。

4．什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？

答：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为?ωj(q)的声子平均数为

nj(q)?1e??j(q)/(kBT)?1

对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。

5. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？

答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移， 原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。

6. 晶体中声子数目是否守恒？

答：频率为ωi的格波的(平均) 声子数为：

10

n(?i)?1

??iexp()?1kBT即每一个格波的声子数都与温度有关，因此，晶体中声子数目不守恒，它是温度的变量。

7. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ 答：频率为ω的格波的(平均) 声子数为：

n(?)?因为光学波的频率ωo比声学波的频率ωA高，(e1e??/kBT?1

??O/kBT所以在温度一定情况下，?1)大于(e??A/kBT?1)，

一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。

8. 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多？ 答：设温度TH>TL，由于(e声子数目。

??/kBTH?1)小于(e??/kBTL?1)，所以温度高时的声子数目多于温度低时的

9. 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？

答：温度很高时，e??/kBT?1???/kBT，频率为ω的格波的(平均) 声子数为：

n(?)?1e??/kBT?1?kBT??

可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。

10. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？

答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移。长声学格波的特点是，原胞内所有的原子没有相对位移。 因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。

11. 金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等？对KCl晶体，结论又是什么？

答：长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移，离子的相对位移产生出宏观极化电场，电场的方向是阻滞离子的位移，使得有效恢复力系数变大，对应的格波的频率变高。长光学格横波不引起离子的位移，不产生极化电场，格波的频率不变。金刚石不是离子晶体，其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等。而KCl晶体是离子晶体，它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等，长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率。

12. 何谓极化声子？ 何谓电磁声子？

答：长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移，离子的相对位移产生出宏观极化电场，称长光

11

学纵波声子为极化声子。长光学横波与电磁场相耦合，使得它具有电磁性质，人们称长光学横波声子为电磁声子。

13. 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？

答：实验已经证实，离子晶体能强烈吸收远红外光波。这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合。简单晶格中不存在光学波，所以简单晶格不会吸收远红外光波。

14. 对于光学横波，ωT→0对应什么物理图象？

答：格波的频率ω与

?成正比，ωT→0说明该光学横波对应的恢复力系数β→0。β=0时，恢复力

消失，发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置，而到达另一平衡位置，即离子晶体结构发生了改变(称为相变)。在这一新的结构中，正负离子存在固定的位移偶极矩， 即产生了自发极化，产生了一个稳定的极化电场。

15. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？

答：按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约为1013Hz，属于光学支频率。但光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学格波。也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。

16. 在甚低温下，不考虑光学波对热容的贡献合理吗？

答：在简谐近似下，光学波的模式密度与温度无关。在甚低温下，exp(???)/T?0， 即光学kBT波对热容的贡献可以忽略，也就是说，在甚低温下，不考虑光学波对热容的贡献是合理的。

17. 在甚低温下，德拜模型为什么与实验相符？

答：在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。

18. 在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？

答：频率为ωi的格波的振动能为：

?i??ni????i

其中ni??i是由ni个声子携带的热振动能，(

??1?2???i2)是零点振动能，声子数：

ni?1

??iexp()?1kBT绝对零度时，ni=0，频率为ωi的格波的振动能只剩下零点振动能。

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格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的，绝对零度时，声子消失，格波间不再交换能量。

19. 温度很低时，声子的自由程很大，当T→0时，???，问T→0时，对于无限长的晶体，是否成为热超导材料？

答：对于电绝缘体，热传导的载流子是声子，当T→0时, 声子数n→0，因此，T→0时，不论晶体是长还是短，都自动成为热绝缘材料。

20．试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处？

答：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒，但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。

21．声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？U过程物理图像是什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗？

答：声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式

?q1??q2??q3??Gn

其中上式中的Gn表示一倒格子矢量。对于Gn?0的情况，即有?q1??q2??q3，在碰撞过程

中声子的动量没有发生变化，这种情况称为正规过程，或N过程，N过程只是改变了动量的分布，而不影响热流的方向，它对热阻是没有贡献的。对于Gn下图1来描述：

?0的情况，称为翻转过程或U过程，其物理图像可由

q2q1q1+q2q1+q2+Gn 图1 U过程物理示意图 在上图1中，q1?q2是向“右”的，碰撞后q3是向“左”的，从而破坏了热流的方向，所以U过程对

热阻是有贡献的。U过程没有违背普遍的动量守恒定律，因为声子不是实物量子，所以其满足的是准动量守恒关系。

22．若格波的色散关系为??cq和???0?cq，试导出它们的状态密度表达式。

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答：根据状态密度的定义式可知

?(?)?lim其中?n表示在??n???0?? (1)

?????间隔内晶格振动模式的数目。

?const作出等频率面，那么在等频率面?和????之间的振动模

/(2?)3(V为晶体体积)，因此有

如果在q空间中，根据?(q)式的数目就是?n。由于晶格振动模在q空间分布是均匀的，密度为V

?n?V ?（频率为?和?＋??的等频率面间的体积）(2?)3V?(2?)3????dSdq (2) ??将(2)式代入(1)式可得到状态密度的一般表达式为

?(?)?V(2?)3???(q) (3)

qdS(3)式中

?q?(q)表示沿法线方向频率的改变率。

当??cq2时，将之代入(3)式可得

?(?)?V1V1V11/22?dS??4?q??? 3323/2?(2?)?q?(q)(2?)2cq(2?)c当???0?cq2，将之代入(3)式可得

?(?)?V1V1V121/2?dS??4?q??(???) 03323/2?(2?)?q?(q)(2?)2cq(2?)c

23.具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2×10-10m，由于非线性相互作用，一个沿[100]方向传播，波矢大小为q?1.3?10m-1的声子同另一个波矢大小相等当沿[110]方向传播的声子相互作用，合成为第3个声子，试求合成后的声子波矢。

解：易知简单立方格子的倒格子仍是一简单立方格子，其倒格基矢b1、b2和b3互相垂直，长度为

102?2?3.1410-1

m，第一布里渊区就是原点和六个近邻格点连线的垂直平分面围成的立??3.14?10?10a2?10方体。

又因为

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q1?q2?1.3?1010i?(1.3? 由此可知q122?1010i?1.3??1010j) 22?2.22?1010i?0.92?1010j

?q2落在第一布里渊区之外，即可知题所述两声子的碰撞过程是一个翻转过程或U过

程，此时两声子的碰撞产生第三声子满足准动量守恒，即有

?q1??q2??q3??Gn （其中Gn表示一倒格矢）

?3.14?1010i，则有

为使q3落在第一布里渊区里，取Gn

q3?q1?q2?Gn?2.22?1010i?0.92?1010j?3.14?1010i

其大小为

??0.92?1010i?0.92?1010j

q3??0.92?1010i?0.92?1010j?1.3?1010m-1

11级第4次习题_思考题参考答案

1、将布洛赫函数中的调制因子uk(r)展成傅立叶级数，对于近自由电子，当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下，此级数有何特点？ 在紧束缚模型下，此级数又有什么特点？

答：由布洛赫定理可知，晶体中电子的波函数：

?????(r)?exp(ikr)uk?(r)

?k对比本教科书(4-24)式的一维形式和(4-46)的三维形式的修正项，具体写出u的形式，并论证其周期性，以一维的为例：将?k(x)变形得：

ni2?xVn1ikxa?k(x)?e{1??2e}

?nLn[k2?(k?2?)2]2ma则有

uk(x)?1??ne?22n[k?(k?2?)2]2maVnni2?xa

则

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x1?2V[?(n?1)](n?1)a?x?(n?)a??0a2(1)

答：这种锯齿势的表达式为：V(x)??1?2V[n?x](n?)a?x?na0?a2?1a?in2a?xV(x)dx，该积分是根据一维近自由电子近似的理论，该金属的能带宽度为2Vn，其中Vn??e0a在原胞中进行的，则(1)在原胞中变为：

x1?2V0?x?a0??a2V(x)??

?2V[1?x]1a?x?a0?a2?于是有

2??inx1ax1a?in2a?xxa2Vn??e2V0dx+?ae2V0(1?)dxa0aa2a?2V0[?e??2V0?2n2120?in2?yxydy??1e?in2?y(1?y)dy](令：y?)

a21所以能带宽度为

4V0?2n2

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