人教版A数学必修二综合测试题(含详解)

必修二综合测试题

一． 选择题

*1.下列叙述中，正确的是（ ）

（A）因为P ,Q ，所以PQ （B）因为P ，Q ，所以 =PQ

其中假命题是（ ）． ．．．

(A) ① (B) ② (C) ③

(D) ④

**8.在同一直角坐标系中，表示直线y ax与y x a正确的是（ ）．

（C）因为AB ，C AB，D AB，所以CD

（D）因为AB ,AB ,所以A ( )且B ( ) *2．已知直线l的方程为y x 1，则该直线l的倾斜角为（ ）．

**9．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是

(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 *3.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),

且AB ,则实数x的值是（ ）． (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2

*4.长方体的三个面的面积分别是2，则长方体的体积是（ ）．

A．32

B．2

C．6

D．6

x

O

x

x

x

边长为1的正方形，

俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ * ）． ．．．(A) **10.

53

(B) (C) (D) 442

直

线

x 2y 3 0

与圆

(x 2)2 (y 3)2 9交于E、F两点，则 EOF

（O是原点）的面积为（ ）．

*5.棱长为a的正方体内切一球，该球的表面积为 （ ） A、 a2 B、2 a2 C、3 a2 D、4 a2 *6.若直线a与平面 不垂直，那么在平面 内与直线a垂直的直线（ ） （A）只有一条 （B）无数条 （C）是平面 内的所有直线 （D）不存在 **7.已知直线l、m、n与平面 、 ，给出下列四个命题： ①若m∥l ，n∥l ，则m∥n ②若m⊥ ，m∥ ， 则 ⊥

③若m∥ ，n∥ ，则m∥n ④若m⊥ ， ⊥ ，则m∥ 或m

6533

A．25 B．4 C．2 D．5

**11.已知点A(2, 3)、B( 3, 2)直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值k范围是 （ ）

A、k

33133或k 4 B、k 或k C、 4 k D、 k 4 444 44

2

***12.若直线y kx 4 2k与曲线y 4 x有两个交点，则k

的取值范围是

33[ 1, )(,1] 1, 44（ ）．A． B． C． D．( , 1]

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．

**13.如果对任何实数k，直线(3＋k)x＋(1-2k)y＋1＋5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是 ．

**14.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是 ． **15．已知

22

圆O1:x2 y2 1与圆O2（:x－3） （y＋4） 9，

***20. （本小题满分12分）已知直线l1：mx-y=0 ，

A

1

l2：x+my-m-2=0

（Ⅰ）求证：对m∈R，l1与 l2的交点P在一个

（Ⅱ）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2

F

B

定圆上；

与定圆的另一交点为P2，求当m在实数范围内取值时，⊿PP1P2面积的最大值及对应的

则圆O1与圆O2的位置关系为．

***16．如图①，一个圆锥形容器的高为a，内装一

定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥

①

②

m．

***21. （本小题满分12分）

如图，在棱长为a的正方体A1B1C1D1 ABCD中，

a

的高恰为（如图②），则图①中的水面高度

2

为 ． 三．解答题：

**17．（本小题满分12分）

如图，在 OABC中，点C（1，3）． （1）求OC所在直线的斜率；

（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程． **18．（本小题满分12分）如图，已知正四棱锥V－ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC 6cm，

ABCD的交线l，判断l与线AC （1）作出面A并给1BC1与面11位置关系，

出证明；

（2）证明B1D⊥面A1BC1； （3）求线AC到面A1BC1的距离； （4）若以D为坐标原点，

分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，试写出B,B1两点的坐标.

****22．（本小题满分14分） 已知圆O：x2 y2 1和定点A(2,1)，由圆

VC 5cm，求正四棱锥V-ABCD的体积．

***19．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足

PQ PA．

(1) 求实数a、b间满足的等量关系；

(2) 求线段PQ长的最小值；

(3) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．

参考答案

一.选择题 DBACA BDCCD AB

2二.填空题 13. ( 1,2) 14. 3 a 15. 相离 16.

(1a

MC 1AC 1BD 1 6 3(cm).

2

2

2

且AB BC

AC .

三.解答题

17. 解: (1) 点O（0，0），点C（1，3），

SABCD AB2 2 18(cm2).

VM是棱锥的高,

Rt△VMC

中，VM 4(cm). 正四棱锥V-ABCD的体积为S319. （1）证明:连结BD.

OC所在直线的斜率为kOC

3 0 3. 1 0

（2）在 OABC中，AB//OC,

13

CD⊥AB， CD⊥OC.

CD所在直线的斜率为kCD 1.

3

1

在长方体AC1中，对角线BD//B1D1. 又 E、F为棱AD、AB的中点， EF//BD.

EF//B1D1. 又B1D1 平面CB1D1，EF 平面CB1D1，

1

CD所在直线方程为y 3 (x 1)，即x 3y 10 0.

3

18. 解法1： 正四棱锥V-ABCD中，ABCD是正方形，

111

MC AC BD 6 3(cm).

222

11

且SABCD AC BD 6 6 18(cm2).

22 VM是棱锥的高,

Rt△VMC

中，

VM 4(cm).

正四棱锥V－ABCD的体积为113SABCD VM 18 4 24(cm). 33

解法2： 正四棱锥V-ABCD中，ABCD是正方形，

EF∥平面CB1D1.

（2） 在长方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1 平面A1B1C1D1，

AA1⊥B1D1.

又 在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

B1D1⊥平面CAA1C1.

又 B1D1 平面CB1D1，

平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

20. 解：（Ⅰ）l1与 l2分别过定点（0,0）、（2,1），且两两垂直，∴ l1与 l2

的交点必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆：

x(x 2) y(y 1) 0 即

x2 y2 2x y 0 （Ⅱ）由（1）得P1（0,0）、P2（2,1），

15

∴⊿PP1P2面积的最大值必为 2r r ．

24

1

此时OP与PP． 12垂直，由此可得m=3或 3

故当

a

6

时，PQmin 即线段PQ5

解法2：由(1)知，点P在直线l：2x + y－3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min =

| 2×2 + 1－3 |2 = .

52 + 1

21.解：（1）在面ABCD内过点B作AC的平行线BE，易知BE即为直线l，

AC∥l，∴l∥AC ∵AC∥AC11，11.

（2）易证AC 1D1，∴AC1B⊥B11⊥面DBB11⊥B1D，同理可证A1D， 又AC1B=A11 A1，∴B1D⊥面A1BC1.

A到面A1BC1的距离，也就是点 （3）线AC到面A1BC1的距离即为点

（3）设圆P 的半径为R，

圆P与圆O有公共点，圆 O的半径为1，

R OP R 1.即R OP 1且R OP 1

.

而OP 故当

a

B1到面A1BC1的距离，记为h，在三棱锥B1 BAC11中有

VB1 BA1C1

11. VB A1B1C1，即S A1BC1 h S

A1B1C1 BB1，∴h

33 （4）C(a,a,0),C1(a,a,a)

22. 解：（1）连OP, Q为切点，PQ OQ，由勾股定理有

6

时，OP

min

5PQ OP OQ.

又由已知PQ PA，故PQ PA. 即：(a2 b2) 12 (a 2)2 (b 1)2.

化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a b 3 0. （2）由2a b 3 0，得b 2a

3.

2

2

222

3

，Rmin

1. 5

得半径取最小值时圆P的方程为(x 6)2 (y 3)2 1)2．

55此时, b 2a 3

解法2： 圆P与圆O有公共点，圆 P半径最小时为与圆O外切（取小者）的

情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’ 与l的交点P0.

35

r = －1 = －1.

52 + 1又 l’：x－2y = 0,

PQ

6

x ,63 x 2y 0, 5解方程组 ，得 .即P0( , )

.

55

2x y 3 0 y 3

5

63∴ 所求圆方程为(x )2 (y )2 1)2.

55

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