18-19 第2章 2.3 2.3.1 双曲线及其标准方程

2.3双曲线

2.3.1双曲线及其标准方程

学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)

[自主预习·探新知]

1．双曲线的定义

把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，

且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？

[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．

(2)点M在双曲线的右支上．

2．双曲线的标准方程

[基础自测]

1/1

2/2 1．思考辨析

(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同．( )

(2)点A (1,0)，B (－1,0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线．( )

(3)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2

b 2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b .( )

[答案] (1)× (2)× (3)×

2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )

A ．3 2

B ．42

C ．33

D ．4 3

D [c 2＝10＋2＝12，所以c ＝23，从而焦距为4 3.]

3．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( )

【导学号：46342088】

A.x 225－y 224＝1

B.y 225－x 224＝1 C ．x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224

＝0 C [b 2＝c 2－a 2＝72－52＝24，故选C ．]

[合 作 探 究·攻 重 难]

若F 1，F 2是双曲线x 9－y 16＝1的两个焦点．

(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离．

(2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．

[思路探究] (1)直接利用定义求解．

(2)在△F 1PF 2中利用余弦定理求|PF 1|·|PF 2|.

[解] (1)设|MF 1|＝16，根据双曲线的定义知||MF 2|－16|＝6，即|MF 2|－16＝±6.

解得|MF2|＝10或|MF2|＝22.

(2)由x2

9－

y2

16＝1，

得a＝3，b＝4，c＝5.

由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，

所以|PF1|·|PF2|＝64，

∴S

△F1PF2＝

1

2|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2

＝1

2×64×

3

2＝16 3.

1．(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是()

A．|PF1|－|PF2|＝±3

B．|PF1|－|PF2|＝±4

C．|PF1|－|PF2|＝±5

D．|PF1|2－|PF2|2＝±4

A[|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A.]

3/3

4/4 (2)已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________.

【导学号：46342089】

9 [由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，则F 1(4,0)．|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|P A |＝|PF 1|＋|P A |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝(4－1)2＋42＝25＝5，所以|PF |＋|P A |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|P A |的最小值为9.]

(1)a ＝4，经过点A ? ????1，－4103； (2)与双曲线x 216－y 2

4＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；

(3)过点P ? ????3，154，Q ? ??

??－163，5且焦点在坐标轴上． [思路探究] (1)结合a 的值设出标准方程的两种形式，将点A 的坐标代入求解．

(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．

(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．

[解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2

b 2＝1(b >0)，把点A 的

坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准

方程为y 216－x 2

b 2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 2

9

＝1.

5/5 (2)法一：∵焦点相同，

∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，

∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20 ①.

∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－4b 2＝1 ②.

由①②得a 2＝12，b 2

＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1. 法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 2

4＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(32，2)，∴18

16－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．

∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.

(3)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0.

∵点P ，Q 在双曲线上，

∴????? 9A ＋22516B ＝1，

2569A ＋25B ＝1，解得????? A ＝－116，B ＝19.

∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.

6/6

2．(1)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )

A ．x 24－y 2＝1

B ．x 23－y 2＝1

C ．x 22－y 2＝1

D ．x 2

－y 22＝1 C [设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，

由题意得??? 4a 2－1b 2＝1c 2＝a 2＋b 2＝3，解得?????

a 2＝2，

b 2＝1， 所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.]

(2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )

A ．x 24－y 2＝1

B ．x 2－y 24＝1

C ．x 22－y 2

3＝1 D ．x 23－y 2

2＝1

B [由双曲线的焦点可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F 2，则有PF 2⊥x 轴，且PF 2＝4，点P 在双曲线右支上．所以PF 1＝(25)2＋42＝36＝6，所以PF 1－PF 2＝6－4＝2＝2a ，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2

＝4，所以双曲线的方程为x 2

－y 2

4＝1，选B.]

[1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？

7/7 提示：一支

2．求以两定点F 1，F 2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？

提示：以直线F 1F 2和线段F 1F 2的垂直平分线分别为x 轴和y 轴建系．

如图2-3-1，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．

图2-3-1

[思路探究] 建立平面直

角坐标系→由已知条件得到边长的关系→判断轨迹的形状→写出轨迹方程

[解] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，

sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R

为△ABC 的外接圆半径)．

∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22

<|AB |.

由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．

由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(x >a )，

∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6.

即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．

8/8

3．如图2-3-2所示，已知定圆F 1：x

2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.

【导学号：46342090】

图2-3-2

[解] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.

∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2

＝c 2－a 2＝914.

∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914

＝1? ??

??x ≤－32. [当 堂 达 标·固 双 基]

1．已知m ，n ∈R ，则“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2

n ＝1表示双曲线”的( )

9/9 A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

C [方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，必有mn ＜0；当mn ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1

表示双曲线，所以“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线”的充要条件．]

2．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )

A ．x 23－y 2＝1

B ．y 2－x 23＝1

C ．x 23－y 24＝1

D ．y 23－x 24＝1

B [椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，长轴的端点A 1(0,2)，A 2(0，－2)，所以对于所求双曲线a ＝1，c ＝2，b 2＝3，焦点在y 轴上，双曲线的方程

为y 2

－x 23＝1.] 3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )

A ．11

B ．9

C ．5

D ．3

B [由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．]

4．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.

【导学号：46342091】

16 [由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.]

10/10 5．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线方程．

[解] 因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)，

设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)，

所以??? a 2＋b 2＝9

16a 2－15b 2＝1，解得?????

a 2＝4

b 2＝5， 所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vb9q.html