第11章稳恒电流及真空中的恒定磁场习题解答和分析

第十一章 电流与磁场

11-1 电源中的非静电力与静电力有什么不同？

答：在电路中，电源中非静电力的作用是，迫使正电荷经过电源内部由低电位的电源负极移动到高电位的电源正极，使两极间维持一电位差。而静电场的作用是在外电路中把正电荷由高电位的地方移动到低电位的地方，起到推动电流的作用；在电源内部正好相反，静电场起的是抵制电流的作用。

电源中存在的电场有两种：1、非静电起源的场；2、稳恒场。把这两种场与静电场比较，静电场由静止电荷所激发，它不随时间的变化而变化。非静电场不由静止电荷产生，它的大小决定于单位正电荷所受的非静电力，E?F非q。当然电源种类不同，F非的起因也不同。

11-2静电场与恒定电场相同处和不同处？为什么恒定电场中仍可应用电势概念？ 答：稳恒电场与静电场有相同之处，即是它们都不随时间的变化而变化，基本规律相同，并且都是位场。但稳恒电场由分布不随时间变化的电荷产生，电荷本身却在移动。

正因为建立稳恒电场的电荷分布不随时间变化，因此静电场的两条基本定理，即高斯定理和环路定理仍然适用，所以仍可引入电势的概念。

11-3一根铜导线表面涂以银层，当两端加上电压后，在铜线和银层中，电场强度是否相同？电流密度是否相同？电流强度是否相同？为什么？ 答：此题涉及知识点：电流强度I??j?ds，电流密度概念，电场强度概念，欧姆定律的

s微分形式j??E。设铜线材料横截面均匀，银层的材料和厚度也均匀。由于加在两者上的电压相同，两者的长度又相等，故铜线和银层的场强E相同。由于铜线和银层的电导率?不同，根据j??E知，它们中的电流密度j不相同。电流强度I??j?ds，铜线和银层的js不同但相差不太大，而它们的横截面积一般相差较大，所以通过两者的电流强度，一般说来是不相同的。

11-4一束质子发生侧向偏转，造成这个偏转的原因可否是：（1）电场？（2）磁场？（3）若是电场和磁场在起作用，如何判断是哪一种场？

答：造成这个偏转的原因可以是电场或磁场。可以改变质子的运动方向，通过质子观察运动轨迹来判断是电场还是磁场在起作用。

11-5 三个粒子，当它们通过磁场时沿着如题图11－5所示的路径运动，对每个粒子可作出什么判断？

答：根据带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力规律，通过观察运动轨迹的不同可以判断三种粒子是否带电和带电种类。

第2篇 电磁学

11-6 一长直载流导线如题11-6图所示，沿Oy轴正向放置，在原点O处取一电流元Idl，求该电流元在（a，0，0），（0，a，0），（a，a，0），（a，a，a）各点处的磁感应强度Β。 分析：根据毕奥-萨伐尔定律求解。 解：由毕奥-萨伐尔定律

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 题11-5图 dΒ??0Idl?r4πr3.

原点O处的电流元Idl在（a，0，0）点产生的Β为： dB??0Idlj?ai?0I?0Idl?(?adlk)??k 3324?a4?a4?aIdl在（0，a，0）点产生的Β为：

dB??0Idlj?aj4πa3??0Idl4πa2(j?j)?0,

Idl在（a，a，0）点产生的Β为：

dB??0Idlj?(ai?aj)2?0Idl??k. 234?16?a(2a)

题11-6图

Idl在（a，a，a）点产生的Β为

dB??0Idlj?(ai?aj?ak)4π(3a)3?3?0Idl(i?k).

36πa211-7 用两根彼此平行的长直导线将半径为R的均匀导体圆环联到电源上，如题11-7图所示，b点为切点，求O点的磁感应强度。

分析：应用毕奥-萨伐尔定律分别求出载流直导线L1和L2以及导体圆环上并联的大圆弧ab大和小圆弧ab小在O点产生的磁感应强度，再利用磁感应强度的矢量和叠加求解。

解：先看导体圆环，由于ab大和ab小并联，设大圆弧有电流I1，小圆弧有电流I2，必有：

I1R大?I2R小.

由于圆环材料相同，电阻率相同，截面积S相同，实际电阻与圆环弧的弧长l大和l小有关，即：I1l大?I2l小,

2

则I1在O点产生的B1的大小为B1??0I1l大4πR2,

而I2在O点产生的B2的大小为B2??0I2l小4?R2?B1.

题11-7图

B1和B2方向相反，大小相等.即B1?B2?0。

直导线L1在O点产生的B3＝0。 直导线L2在O点产生的B4?则O点总的磁感强度大小为

?0I，方向垂直纸面向外。 4?RB0?B4??0I 4?R11-8 一载有电流I的长导线弯折成如题11-8图所示的形状，CD为1/4圆弧，半径为R，圆心O在AC，EF的延长线上.求O点处磁场的场强。

分析：O点的磁感强度Β为各段载流导线在O点产生磁感强度的矢量和。 解：因为O点在AC和EF的延长线上，故AC和EF段对O点的磁场没有贡献。

CD段：BCD?DE段：BDE??0I?4?R???0I8R,

?0I4?a(cos45??cos135?)?2?0I4?2R/2??0I2?R.

O点总磁感应强度为

B?BDE?BCD???0I2?R??0I8R

?0I?11????.2R?4??方同垂直纸面向外.

11-9 一无限长薄电流板均匀通有电流I，电流板宽为a，求在电流板同一平面内距板边为a的P点处的磁感应强度。

题11-8图

题图11-9

第2篇 电磁学

分析：微分无限长薄电流板，对微分电流dI应用无限长载流直导线产生的磁场公式求解dB。并将dB再积分求解总的磁感应强度。注意利用场的对称性。

解：在电流板上距P点x处取宽为dx.并平行于电流I的无限长窄条，狭条中的电流为

Idx. a?dIdI在P点处产生的磁感强度为：dB?0,方向垂直纸面向里。

2?x整个电流板上各窄条电流在P点处产生的dB方向相同，故

dI?B??dB???0dI2πx??2aa??0Idxln2. ???2πx?a?2πa?0?I11-10 在半径R?1cm的“无限长”半圆柱形金属薄片中，有电流I?5A自下而上地通过，如题11-10图所示。试求圆柱轴线上一点P处的磁感应强度。

分析：微分半圆柱形金属薄片，对微分电流dI应用无限长载流直导线产生的磁场公式求解

dB。并将场强矢量dB分解后再积分求解总的磁感应强度。注意利用场的对称性。

解：无限长载流半圆形金属薄片可看成由许多宽为dl?Rd?的无限长电流窄条所组成，每根导线上的电流在P点产生的磁场dB大小为dB?11-10图所示。

?0dI2πR，方向按右手螺旋法则确定，如解

题11-10图 解11-10图

dI??dI?Id?IIdl?Rd?，dB?0?02. ?R?R2πR2πR?由于各电流窄条产生的磁场方向各不相同，P点的总磁场应化矢量积分为标量积分，即

2?R?R??Id?By??dBy??dBcos???02cos??0.

02?R0Bx??dBx??dBsin????0Id?2sin???0I2,

4

4???????5B?Bx????6.37?10?5T,方向沿x正向. ??2?R??10?0I11-11 在半径为R及r的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面线圈（如题11-11图）通有电流I，求线圈中心（即两圆圆心）处的磁感应强度。

分析：微分密绕平面线圈，计算出相应的微分电流dI，利用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式求解dB。并将矢量dB再积分求解总的磁感应强度。

解：由于载流螺旋线绕得很密，可以将它看成由许多同心的圆电流所组成，在沿径向r到R范围内，单位长度的线圈匝数为

n?N. R?r任取半径?，宽为d?的电流环，该电流环共有电流为

Ind??INd?. R?r该电流环在线圈中心产生的磁感强度大小为

dB??0?INd?Ind??0. 2?2(R?r)?

题11-11图

圆心处总磁感强度大小

B??dB??Rr?0INd??INR?0ln,

2(R?r)?2(R?r)r方向垂直纸面向外。

11-12 如题11-12图所示，在顶角为2?的圆锥台上密绕以线圈，共N匝，通以电流I，绕有线圈部分的上下底半径分别为r和R.求圆锥顶O处的磁感应强度的大小.

分析：微分密绕线圈，计算出相应的微分电流dI，利用载流圆环在其轴线上产生的磁场公式求解dB。并将矢量dB再积分求解总的磁感应强度。

解：只要将题11-11中的均匀密绕平面线圈沿通过中心的轴垂直上提，便与本题条件相一致，故解题思路也相似。

如解11-12图建立坐标，取半径为?，宽为d?的电流环的密绕线圈，其含有匝数为通电流为dI?Nd?， R?rNId?. R?r因为x??cot?，dx?d?cot?。

半径为?的一小匝电流在O点产生的dB大小为

?0?2dI?0?2NIdB??d?

2(?2+x2)3/22(?2+?2cot2?)3/2(R?r)

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