【走向高考】2016届高三数学一轮阶段性测试题4 三角函数、三角恒

阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2015·娄底市名校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( ) 4

A．－5 34C．5 D．5 [答案] B

[解析] 解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2， a2123

∴cos2θ＝5a2＝5，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝5－1＝－5. cos2θ－sin2θ1－tan2θ2a

解法2：tanθ＝a＝2，cos2θ＝＝

cos2θ＋sin2θ1＋tan2θ3＝－5.

2．(2015·山东滕州一中月考)化简 π11πcosπ＋αcos2＋αcos2－α

3B．－5 的结果是( ) 9π

cosπ－αsin－π－αsin2＋αA．－1 C．tanα [答案] C

B．1

D．－tanα

－cosα·－sinα·－sinα

[解析] 原式＝＝tanα.

－cosα·sinα·cosα

π

3．(文)(2014·河南省实验中学期中)函数y＝sin(2x＋3)图象的对称轴方程可能是( ) ππA．x＝－6 B．x＝－12 πC．x＝6 [答案] D

ππkππ

[解析] 由2x＋3＝kπ＋2(k∈Z)得，x＝2＋12(k∈Z)，∴选D．

π

(理)(2015·沈阳市东北育才学校一模)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝3对称的是( ) πA．y＝sin(2x＋6)

π

B．y＝sin(2x＋3) π

D．x＝12

- 1 -

π

C．y＝sin(2x－3) [答案] D

π

D．y＝sin(2x－6) π

[解析] 把x＝3代入解析式，函数应取到最值，经检验D符合．

4．(文)(2015·河南八校联考)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是( ) ππA．12 B．6 π2πC．3 D．3 [答案] D

ππ

[解析] y＝3cosx＋sinx＝2sin(x＋3)，向左平移m个单位得到y＝2sin(x＋m＋3)，此函数为奇π2π函数，∴m＋3＝kπ，k∈Z，∵m>0，∴m的最小值为3. π

(理)(2014·杭州七校联考)将函数y＝sin2x的图象向左平移4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A．y＝cos2x B．y＝2cos2x π

C．y＝1＋sin(2x＋4) D．y＝2sin2x [答案] B [解析] y＝sin2x

π左移个单位

――→y＝sin2(x＋4)

π向上平移1个单位

――→y＝sin(2x＋2)＋1，

π

∵y＝sin(2x＋2)＋1＝cos2x＋1＝2cos2x，∴选B．

5．(2014·河北冀州中学期中)设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(弧度)( ) A．1 B．4 C．π D．1或4 [答案] D

[解析] 设扇形半径为R，圆心角为α，则 2R＋Rα＝6 1???1 R2α＝2 2??2

44

由(2)得Rα＝R，代入(1)得2R＋R＝6，解之得R＝1或2，当R＝1时，α＝4，当R＝2时，α＝1.∴选D．

31

6．(2014·湖北省八校联考)已知α、β为锐角，cosα＝5，tan(α－β)＝－3，则tanβ的值为( )

- 2 -

1

A．3 B．3 913C．13 D．9 [答案] B

344

[解析] ∵cosα＝5，α为锐角，∴sinα＝5，tanα＝3， tanα－tanα－β

∴tanβ＝tan*α－(α－β)+＝ 1＋tanα·tanα－β41－－33＝41＝3. 1＋3×－3

7．(文)(2015·江西省三县联考)在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，则cosA的值为( ) 34A．5 B．5 C．0 D．1 [答案] B

[解析] 由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5， ∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k>0)，

b2＋c2－a216k2＋25k2－9k24

∴cosA＝＝＝5. 2bc2×4k×5k

(理)(2015·山西忻州四校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的3cb

高为6a，则b＋c的最大值是( ) A．8 B．6 C．32 [答案] D

D．4

c2＋b2－a2bcc2＋b2

[解析] c＋b＝bc，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA＝，① 2bc131

而条件中的“高”容易联想到面积，2a·6a＝2bcsinA，即a2＝23bcsinA，② 将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋3sinA)， bcππ

∴c＋b＝2(cosA＋3sinA)＝4sin(A＋6)，当A＝3时取得最大值4，故选D．

8．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是( )

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 [答案] B

[解析] ∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB，

∴sin(A－B)＝0，∵0

- 3 -

列，则△ABC一定是( )

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形 [答案] D

π2π

[解析] ∵A、B、C成等差数列，∴B＝3，A＋C＝3， 3

又b2＝ac，∴sin2B＝sinAsinC，即sinAsinC＝4， 2π3π

∴sinAsin(3－A)＝4，∴sin(2A－6)＝1， πππ

∵0

∴△ABC为等边三角形． 9．(2014·山东省德州市期中)已知△ABC中三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B＝30°，b＝1，c＝3，则△ABC的面积为( ) 33A．2 B．4 33C．2或4 [答案] C

3

[解析] ∵3sin30°＝2<1<3，∴△ABC有两解． 133

由sin30°＝sinC得，sinC＝2，∴C＝60°或120°， 3

当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝2；

13

当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝2×3×1×sin30°＝4，故选C．

10．(文)(2015·湖北百所重点中学联考)已知α为第三象限角，且sinα＋cosα＝2m，sin2α＝m2，则m的值为( ) 33A．3 B．－3 1C．－3

2

D．－3 3

D．2或3

[答案] B

[解析] 把sinα＋cosα＝2m两边平方可得1＋sin2α＝4m2，又sin2α＝m2，∴3m2＝1，解得m33＝±3，又α为第三象限角，∴m＝－3. A－B

(理)(2014·文登市期中)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2cos22cosB－sin(A4

－B)sinB＋cos(A＋C)＝－5，则cosA＝( ) 4A．－5

4B．5 - 4 -

33C．5 D．－5 [答案] A

A－B

[解析] 2cos22cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C) ＝[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB＋cos(π－B) ＝cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＋cosB－cosB 4

＝cos(A－B＋B)＝cosA＝－5，故选A．

sinx＋cosx

11．(文)(2014·北京海淀期中)已知函数f(x)＝sinxcosx，在下列给出结论中： ①π是f(x)的一个周期；

π

②f(x)的图象关于直线x＝4对称； π

③f(x)在(－2，0)上单调递减． 其中，正确结论的个数为( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 [答案] C

sinx＋cosx

[解析] 因为，f(x)＝sinxcosx，

sinx＋π＋cosx＋π－sinx－cosxsinx＋cosx

f(x＋π)＝＝＝－sinxcosx，所以，①不正确；

sinx＋πcosx＋π－sinx－cosxππsin2－x＋cos2－x

π

又f(2×4－x)＝ ππ

sin2－xcos2－x

sinx＋cosx

＝sinxcosx，由满足f(2a－x)＝f(x)，其图象的对称轴为x＝a知，②正确； sinx＋cosx11π

因为，f(x)＝sinxcosx＝cosx＋sinx，y＝sinx，y＝cosx在(－2，0)上均为增函数， 11π

所以，y＝cosx＋sinx在(－2，0)上为减函数，③正确． 综上知，正确结论的个数为2，选C．

ππ

(理)(2015·洛阳市期中)若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f(t＋4)＝f(－t)，且f(8)＝－1则实数m的值等于( ) A．±1 B．－3或1 C．±3 D．－1或3 [答案] B

πππππ

[解析] 由f(t＋4)＝f(－t)得，f(8＋t)＝f(8－t)，∴f(x)的图象关于直线x＝8对称，又f(8)＝－1， ∴m±2＝－1，∴m＝1或－3.

- 5 -

[解析] (1)∵a、b、c成等差数列，且公差为2，∴a＝c－4，b＝c－2， 2π1

又∠MCN＝3，∴cosC＝－2.

c－22＋c－42－c21

由余弦定理得：＝－2，

2c－2c－4∴c2－9c＋14＝0，∴c＝7或2， ∵c>4，∴c＝7.

ACBCAB

(2)在△ABC中，＝＝，

sin∠ABCsin∠BACsin∠ACBACBC3∴sinθ＝π＝2π＝2，

sin3－θsin3π

∴AC＝2sinθ，BC＝2sin(3－θ)． ∴△ABC的周长L＝|AC|＋|BC|＋|AB| π

＝2sinθ＋2sin(3－θ)＋3

13π

＝2[2sinθ＋2cosθ+＋3＝2sin(θ＋3)＋3， πππ2π

又∵θ∈(0，3)，∴3<θ＋3<3.

πππ

∴当θ＋3＝2，即θ＝6时，L取得最大值2＋3.

1

21．(本小题满分12分)(文)(2014·长春市一调)已知向量m＝(cosx，－1)，n＝(3sinx，－2)，设函数f(x)＝(m＋n)·m.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)已知a、b、c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a＝1，c＝3，且f(A)恰

π

是函数f(x)在[0，2]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．

31＋cos2x33

[解析] (1)f(x)＝(m＋n)·m＝cos2x＋3sinxcosx＋2＝＋sin2x＋222 13π

＝2cos2x＋2sin2x＋2＝sin(2x＋6)＋2， 2π

因为ω＝2，所以最小正周期T＝2＝π.

ππππ7π

(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋6)＋2，当x∈[0，2]时，6≤2x＋6≤6. πππππ

由正弦函数图象可知，当2x＋6＝2时，f(x)取得最大值3，又A为锐角，所以2A＋6＝2，A＝6. π

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得，1＝b2＋3－2×3×b×cos6，所以b＝1或b＝2， 经检验均符合题意．

- 11 -

1π31π3

从而当b＝1时，△ABC的面积S＝2×3×1×sin6＝4；当b＝2时，S＝2×3×2×sin6＝2. tanB2a－c

(理)(2014·浙北名校联盟联考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝c. (1)求角B的大小；

π(2)求函数f(x)＝cosx·cos(x＋B)(x∈[0，2])的值域． sinBcosC2sinA－sinC[解析] (1)∵sinCcosB＝，而sinC>0， sinC∴sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，

∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，∵sin(B＋C)＝sinA， 1π

∴cosB＝2，∴B＝3. 13

(2)f(x)＝2cos2x－2sinxcosx ＝

1＋cos2x31π1

－sin2x＝cos(2x＋4423)＋4，

ππ4π1

∵2x＋3∈[3，3π+，∴－1≤cos(2x＋3)≤2， 11

∴f(x)的值域为[－4，2]．

3π

22．(本小题满分14分)(文)(2015·深圳市五校联考)已知f(x)＝3sin(π＋ωx)sin(2－ωx)－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T＝π. 2π

(1)求f(3)的值；

(2)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有(2a－c)cosB＝bcosC，则求角B的大小以及f(A)的取值范围．

[解析] (1)f(x)＝3sinωxcosωx－cos2ωx 311π1＝2sin2ωx－2cos2ωx－2＝sin(2ωx－6)－2. 2π

∵y＝f(x)的最小正周期T＝π，∴2ω＝π，∴ω＝1， π1

∴f(x)＝sin(2x－6)－2，

2π2ππ17π1

∴f(3)＝sin(2×3－6)－2＝sin6－2＝－1. (2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，

∴由正弦定理可得：(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC， ∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C) ＝sin(π－A)＝sinA，

1π

∵sinA>0，∴cosB＝2，∵B∈(0，π)，∴B＝3. - 12 -

22π

∵A＋C＝π－B＝3π，∴A∈(0，3)，

ππ7ππ1

∴2A－6∈(－6，6)，∴sin(2A－6)∈(－2，1]， π11

∴f(A)＝sin(2A－6)－2∈(－1，2]．

(理)(2015·濉溪县月考)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,23cosωx)，

1

设函数f(x)＝a·b＋λ(λ∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数且ω∈(2，1)． (1)求函数f(x)的最小正周期；

π3π

(2)若y＝f(x)的图象经过点(4，0)，求函数y＝f(x)在区间[0，5]上的取值范围． [解析] (1)∵f(x)＝a·b＋λ

＝(cosωx－sinωx)·(－cosωx－sinωx)＋sinωx·23cosωx＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ

π

＝3sin(2ωx)－cos(2ωx)＋λ＝2sin(2ωx－6)＋λ.

π

由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－6)＝±1， ππk1

∴2ωπ－6＝kπ＋2(k∈Z)，即ω＝2＋3(k∈Z)， 15

又ω∈(2，1)，k∈Z，所以k＝1，ω＝6. 5π

∴f(x)＝2sin(3x－6)＋λ， 6

∴f(x)的最小正周期为5π.

π

(2)∵函数y＝f(x)的图象过点(4，0)，

π5πππ

∴f(4)＝2sin(3×4－6)＋λ＝0，故λ＝－2sin4＝－2. 5π

故f(x)＝2sin(3x－6)－2， 3ππ5π5π∵0≤x≤5，∴－6≤3x－6≤6， 15π

∴－2≤sin(3x－6)≤1，

5π

∴－1－2≤2sin(3x－6)－2≤2－2，

3π

故函数f(x)在[0，5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．

- 13 -

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