2014年六年级数学思维训练：计数综合三

2014年六年级数学思维训练：计数综合三

一、兴趣篇

1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？

2．小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？ 3．用1×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？

4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？

5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？ 6．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？ 7．由1、3、4组成的四位数的各位数字之和为9的多位数共有多少个？ 8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？ 9．一个十位数只含有数字l或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？ 10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？

二、拓展篇

11．老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写l篇，如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？

12．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法？

13．现有14块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？ 14．如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以把平面分成几个部分？

15．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？

16．如图所示，一个圆环被分成8部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？

17．圆周上有10个点A1，A2，…，A10以这些点为端点连结5条线段，要求任两条线段之问都没有公共点，共有多少种连结方式？

18．在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如137、36712等．请问：在1至10000中有多少个这样的多位数？

19．有些自然数存在相邻的两位数字顺次为7和5，例如1975、75675等，但432579．不算在内．请问：具有这种性质的六位数有多少个？

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20．用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字．请问：这样的九位数共有多少个？

21．一个七位数，每位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有 个． 22．满足下面性质的四位数称为“好数”：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如1346、2579是好数，但1567就不是好数．请问：一共有多少个好数？

三、超越篇

23．一个九位数，它只由数字l、2和3组成，而且它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31，这样的自然数有多少个？如果还要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次，则这样的九位数有多少个？ 24．（1）如果在一个平面上画出8个三角形，最多可以把平面分成多少个部分？

（2）如果在一个平面上画出3个四边形、2个圆、l条直线，最多可以把平面分成多少个部分？

25．如图所示，阴影部分是一个圆环，4条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分？

26．用15个1×2的小纸片覆盖如图，共有多少种不同的覆盖方法？

27．（2011?西安校级自主招生）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1．如此进行直到为l时操作停止．问：经过9次操作变为1的数有多少个？ 28．用4种不同的颜色将如图中的圆圈分别涂色，要求有线段连结的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色，共有多少种涂法？（不允许旋转、翻转图）

29．圆周上有15个点A1，A2，…，A15，以这些点为顶点连出5个三角形，要求任意两个三角形没有公共点，共有多少种连接方式？

30．有一年级到六年级的同学各一人，排成一列领取糖果．如果一个高年级的同学站在一个低年级的同学前面，那么这个低年级的同学就会产生一次“怨言”（一个人可以有多次“怨言”）．在一种排列顺序里，我们把所有“怨言”的总数叫“怨言数”．例如：六位同学按下面的

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顺序排列：一年级、四年级、三年级、二年级、六年级、五年级，那么这六位同学产生的“怨言”次数依次为0、0、l、2、0、l，这种排列的“怨言数”就是4．请问：有多少种“怨言数”为7的排列顺序？

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2014年六年级数学思维训练：计数综合三

参考答案与试题解析

一、兴趣篇

1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？

【分析】从第1级开始递推，脚落到第1级只有从地上1种走法；第二级有两种可能，从地跨过第一级或从第一级直接迈上去；登上第3级，分两类，要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来，所以方法数是前两级的方法和；依此类推，以后的每一级的方法数都是前两级方法的和；直到10级，每一级的方法数都求出，因此得解． 【解答】解：递推： 登上第1级：1种 登上第2级：2种

登上第3级：1+2=3种（前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来） 登上第4级：2+3=5种（前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来） 登上第5级：3+5=8种 登上第6级：5+8=13种 登上第7级：8+13=21种 登上第8级：13+21=34种 登上第9级：21+34=55种 登上第10级：55+34=89种；

答：一共可以有89种不同的走法．

2．小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？ 【分析】利用归纳法，记有n块巧克力，有m种吃法，从小数开始算起，找到规律，然后递推出大数的情况．

【解答】解：设有n块糖，有m种吃法， n=1时，m=1，有1=1 n=2时，m=2，有2=1+1 n=3时，m=4，有4=1+2+1 n=4时，m=7，有7=1+2+4 n=5时，m=13，有13=2+4+7 …

可以发现：从第四项开始，每项的方法数等于前三项的方法和， 所以，后面的方法数是：24、44、81、149、274… 所以，10块巧克力，共有274种吃法． 答：共有274种吃法．

3．用1×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？

【分析】本题分类计数：全部竖排1种；1个竖排有4种；3个竖排有10种；，5个横排有6种；然后加在一起，即可得解． 【解答】解：1+4+10+6=21（种）

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答：共有21种不同的覆盖方法．

4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？

【分析】根据直线两两相交，每三条不交于同一点，可把平面分成最多部分，根据两条直线最多分成的部分比一条直线分成部分增加2，三条直线最多分成部分比两条直线最多分成部分增加三，以此类推找出规律，可得答案．

【解答】解：2条直线最多可将平面分成4个部分，如图：

；

三条直线最多分成可将平面分成7个部分，如图：；

四条直线最多分成可将平面分成11个部分，如图：n条直线最多分成可将平面分成2+2+3+4+…+n=所以画20条直线，最多可以分成

+1个部分；

+1=211个部分．

；

答：在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成11个部分；如果画20条直线，最多可以分成211个部分．

5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？ 【分析】利用递推法，设经过n次传球回到甲手中的过程有An种可能，n至少为2．从简单分析探讨得出答案即可．

【解答】解：设经过n次传球回到甲手中的过程有An种可能，n至少为2． A2=2，A3=2，

对于An，若第一次回到甲的手中是经过两次传球，有2种可能，此时还剩余2次，有A2种可能，总共有2A2种可能；

若第一次回到甲手里是经过四次传球（不需要考虑第一次回到甲手里是经过三次传球，这样四次传球不可能回到甲的手中）有2种可能，所以A4=2A2+2=2A2+A3=6．

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