含参数导数常见的讨论

含参数导数问题的三个基本讨论点

导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。

一、

求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

?1,x?1?例1（2008年高考广东卷（理科） 设k?R，函数f(x)??1?x,F(x)?f(x)?kx,x?R，

??x?1,x?1?试讨论函数F(x)的单调性。

?1?k?1?x?2,x?1??12?kx,x?1,???1?x?,F'(x)??解：F(x)?f(x)?kx??1?x。

??x?1?kx,x?1?1?2kx?1?,x?1??2x?1?考虑导函数F'(x)?0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。

1?k?1?x?2（一）若x?1，则F'(x)??1?x?2。由于当k?0时，F'(x)?0无实根，而当k?0时，F'(x)?0有实根，

因此，对参数k分k?0和k?0两种情况讨论。

（1） 当k?0时，F'(x)?0在(??,1)上恒成立，所以函数F(x)在(??,1)上为增函数；

?1???1?????k?x??1?x?1???????kk????????（2） 当k?0时，F'(x)?1?k?1?x?2?1?x???2??1?x?2。

由F'(x)?0，得x1??1?1k1?1??,x?1??2??，因为k?0，所以x1?1?x2。 k?k??由F'(x)?0，得1??x?1；由F'(x)?0，得x?1?1k。

因此，当k?0时，函数F(x)在(??,1?1k)上为减函数，在(1?1k,1)上为增函数。

（二）若x?1，则F'(x)??1?2kx?12x?1。由于当k?0时，F'(x)?0无实根，而当k?0时，F'(x)?0有实

根，因此，对参数k分k?0和k?0两种情况讨论。

（1） 当k?0时，F'(x)?0在?1,???上恒成立，所以函数F(x)在?1,???上为减函数；

（2） 当k?0时，F'(x)??1?2kx?12x?114k2???k??x?1?x?11??2k?。

14k2由F'(x)?0，得x?1?；由F'(x)?0，得1?x?1???。

因此，当k?0时，函数F(x)在1,1??综上所述：

（1） 当k?0时，函数F(x)在(??,1?1k1?1??上为减函数，在1?,???上为增函数。 2?2?4k?4k??)上为减函数，在(1?1k,1)上为增函数，在?1,???上为减函数。

（2） 当k?0时，函数F(x)在(??,1)上为增函数，在?1,???上为减函数。

??1?1??上为减函数，在 1?,????上为增函数。22?4k?4k??（3） 当k?0时，函数F(x)在(??,1)上为增函数，在1,1??

二、

求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，

从而引起讨论。

例2 (2008高考浙江卷理科)已知a是实数，函数f?x??（Ⅰ）求函数f?x?的单调区间；

（Ⅱ）设g?a?为f?x?在区间?0,2?上的最小值。

（i）写出g?a?的表达式；（ii）求a的取值范围，使得?6?g?a???2。

a??3?x??3??2xx?x?a?

解：（Ⅰ）函数的定义域为?0,???，fa3'?x??x?x?a2x?3x?a2x??x?0?，由f'(x)?0得x?a3。

考虑

'是否落在导函数f(x)的定义域?0,???内，需对参数a的取值分a?0及a?0两种情况进行讨论。

'（1） 当a?0时，则f(x)?0在?0,???上恒成立，所以f?x?的单调递增区间为?0,???。

'（2） 当a?0时，由f(x)?0，得x?a3'；由f(x)?0，得0?x?a3。

?a?,???。 ?3?因此，当a?0时，f?x?的单调递减区间为?0,??a?，f?3??x?的单调递增区间为?（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：

（1） 当a?0时，f?x?在?0,???上单调递增，从而f?x?在?0,2?上单调递增，所以g?a??f?0??0。 （2） 当a?0时，f?x?在?0,?上单调递减，在?,???上单调递增，所以：

?3??3??a??a?

① 当

a3??0,2?，即0?a?6时，f?x?在?0,?2a3a9?a??a?上单调递减，在,2?上单调递增， ??3??3?所以g?a??f?② 当

a32a?a????3?3?a3??。

??2,???，即a?6时，f?x?在?0,2?上单调递减，所以g?a??f?2??2?2?a?。

?0,a?0??2aag?a????,0?a?6综上所述， 33??2?2?a?,a?~6?（ii）令?6?g?a???2。 ①若a?0，无解； ②若0?a?6，由?6??2a3a3??2解得3?a?6；

③ 若a?6，由?6?2?2?a???2解得6?a?2?32。

综上所述，a的取值范围为3?a?2?32。

三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不

知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 例3（2007年高考天津理科卷）已知函数f?x??2ax?a?1x?122?x?R?，其中a?R。

（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f?x?在点?2,f?2??处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f?x?的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当a?1时，曲线y?f?x?在点?2,f?2??处的切线方程为6x?25y?32?0。

2a?x?1??2x?2ax?a?1?22（Ⅱ）由于a?0，所以f1a'?x???x2?1?2?1???2a?x?a??x??a???x2?1?2。

由f'?x??0，得x1??,x2?a。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a的

取值分a?0和a?0两种情况进行讨论。 （1）

当a?0时，则x1?x2。易得f?x?在区间???,??1a?1??1?a,????，内为减函数，在区间?,a???为增函数。故

a?a??函数f?x?在x1??处取得极小值f????1?2???a；函数fa?

?x?在x2?a处取得极大值f?a??1。

（2）

当a?0时，则x1?x2。易得f?x?在区间(??,a)，(?1a1a,??)内为增函数，在区间(a,?1a)为减函数。故函

数f?x?在x1??处取得极小值f????1?2???a；函数fa??x?在x2?a处取得极大值f?a??1。

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

例4（07高考山东理科卷改编）设函数f?x??x?bln?x?1?，其中b?0，求函数f?x?的极值点。

2解：由题意可得f?x?的定义域为??1,???，f'?x??2x?bx?1?2x?2x?bx?12，f'?x?的分母x?1在定义域??1,???

上恒为正，方程2x2?2x?b?0是否有实根，需要对参数b的取值进行讨论。

48?b0（1）当???，即b?'12时，方程2x2?2x?b?0无实根或只有唯一根x??12，所以g?x??2x?2x?b?0

2在??1,???上恒成立，则f?x??0在??1,???上恒成立，所以函数f?x?在??1,???上单调递增，从而函数f?x?在

??1,???上无极值点。

（2）当??4?8b?0，即b?12时，方程2x2?2x?b?0，即f?1?1?2b2?1?1?2b2'?x??0有两个不相等的实根：

x1?,x2?。

这两个根是否都在定义域??1,???内呢？又需要对参数b的取值分情况作如下讨论：

?1?1?2b2?1?1?2b2（ⅰ）当b?0时，x1?此时，f'??1,x2???1，所以x1???1,???,x2???1,???。

?x?与f?x?随x的变化情况如下表： ??1,x2? x f'x2 0 极小值 ?x2,??? ?x? ? 递减 ? f?x? 递增 由此表可知：当b?0时，f?x?有唯一极小值点x2?12?1?1?2b21?2b2。

（ⅱ）当0?b?此时，f

'时，x1??1?1?2b2??1,x2??1???1，所以x1???1,???,x2???1,???。

?x?与f?x?随x的变化情况如下表：

x f'??1,x1? x1 ?x1,x2?x2 ?x2,??? ?x? ?递增 f?x? 极大值 0? 递减 极小值 0?递增 由此表可知：当0?b?综上所述：

12时，f?x?有一个极大值点x1??1?1?2b2和一个极小值点x2??1?1?2b2。

（1） 当b?0时，f?x?有唯一极小值点x??1?1?2b2；

（2） 当0?b?（3） 当b?1212时，f?x?有一个极大值点x??1?1?2b2和一个极小值点x??1?1?2b2；

时，f?x?无极值点。

从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。

（2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)

已知函数f(x)?ax3?x2?bx(其中常数a,b∈R),g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数. (Ⅰ)求f(x)的表达式;

(Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.

（2010山东文数）（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)?lnx?ax?1?ax?1(a?R) 12（I）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（II）当a?2x时，讨论f(x)的单调性. x?x?2x22解：（Ⅰ） 当a??1时，f(x)?lnx?x?

?1,x?(0,??), 所以 f'(x)? ),x?(0??,因此，f（2）?1， 即 曲线y?f(x)在点（2，f(2))处的切线斜率为又 f(2)?ln2?2, 所以曲线 y?f(x)在点（2，f(2))处的切线方程为y?(ln2?2)?x?2,1，.

即x?y?ln2?0.

（Ⅱ）因为 f(x)?lnx?ax?1xa?1x21?ax?1，

所以 f'(x)??a???ax2?x?1?ax2 x?(0,??)，

令 g(x)?ax2?x?1?a,x?(0,??),

（1）当a?0时,h(x)??x?1,x?(0,??)

所以，当x?(0,1)时,h(x)?0,此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减； 当x?(1,??)时，h(x)?0，此时f?(x)?0,函数f(x)单调递

1a?1

2 （2）当a?0时,由f?(x)=0 即ax?x?1?a?0，解得x1?1,x2?

①当a?12时，x1?x2,h(x)?0恒成立，

此时f?(x)?0，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减； ②当0?a?12时,1a?1?1?0

x?(0,1)时，h(x)?0,此时f?(x)?0,函数f(x)单调递减； x?(1,x?(1a1a?1)时，h(x)?0,此时f?(x)?0,函数f(x)单调递增；

?1,??)时,h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减；

1a?1?0

③当a?0时，由于

x?(0,1)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减； x?(1,??)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递增。

综上所述：

当a?0时，函数f(x)在（０，１）上单调递减； 函数f(x)在（１，＋∞）上单调递增； 当a?12时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；

12当0?a?时，函数f(x)在（0，1）上单调递减；

1a?1)上单调递增；

函数f(x)在(1,函数f(x)在(1a?1,??)上单调递减，

（2010山东理数）(22)(本小题满分14分) 已知函数f(x)?lnx?ax?(Ⅰ)当a?121?ax?1(a?R).

时，讨论f(x)的单调性；

14（Ⅱ）设g(x)?x2?2bx?4.当a?时，若对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，使

f(x1)?g(x2)，求实数b取值范围.

解：（Ⅰ）因为f(x)?lnx?ax?所以 f(x)?'1?ax?1，

1x?a?a?1x2?ax?x?1?ax22x?(0,??)，

令 h(x)?ax2?x?1?a,x?(0,??)，

①当a?12（0，+?）时，x1?x2,h(x)≥0恒成立，此时f'(x)≤0，函数 f(x)在上单调递减； 11 ②当0＜a＜时，?1＞1＞0，

2a x?(0,1)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减； x?(1,1a1a?1)时h(x)＜0，此时f(x)＞0，函数 f(x)单调递增；

' x?(?1,??)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减； ③当a＜0时，由于

1a?1＜0，

x?(0,1)，h(x)＞0,此时f'(x)＜0，函数 f(x)单调递减；

x?(1,??)时，h(x)＜0，此时f(x)＞0，函数f(x)单调递增.

'综上所述：

0

（Ⅱ）因为a=?(0,)，由（Ⅰ）知，x1=1，x2=3?(0,2)，当x?(0,1)时，f'(x)?0，函数f(x)单调递

4211减；?g(x)?min?g(2)?8?4b?0b?(2,??)?所以f(x)在（0，2）上的最小值为f(1)??1?17?b??,???2?8?12当x?(1,2)时，f'(x)?0，函数f(x)单调递增，

。

由于“对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，使f(x1)?g(x2)”等价于 “g(x)在?1,2?上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值?又g(x)=(x?b)2?4?b2，x1??1,2?，所以

①当b?1时，因为?g(x)?min?g(1)?5?2b?0，此时与（*）矛盾 ②当b??1,2?时，因为?g(x)?min?4?b2?0，同样与（*）矛盾 ③当b?(2,??)时，因为?g(x)?min?g(2)?8?4b，解不等式8-4b?综上，b的取值范围是??17?,???。 ?8?1212”（*）

，可得b?178

（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）设a??2，证明：对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.

a?1x2ax?a?1x2解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+?)，f?(x)??2ax?.

当a≥0时，f?(x)＞0，故f(x)在(0,+?)单调增加； 当a≤－1时，f?(x)＜0, 故f(x)在(0,+?)单调减少；

a?12aa?12a当－1＜a＜0时，令f?(x)＝0,解得x=?.当x∈(0, ?)时, f?(x)＞0；

x∈(?a?12a，+?)时，f?(x)＜0, 故f(x)在（0, ?a?12a）单调增加，在（?a?12a，+?）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+?）单调减少. 所以f(x1)?f(x2)?4x1?x2等价于

f(x1)?f(x2)≥4x1－4x2,

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则

g?(x)?a?1x?2ax+4

2＝

2ax?4x?a?1x2.

于是g?(x)≤

?4x?4x?1x＝

?(2x?1)x2≤0.

从而g(x)在（0，+?）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，

即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+?) ，f(x1)?f(x2)?4x1?x2.

（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1 （I）

讨论函数f(x)的单调性；

（II） （II）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围。 解：（Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+∞）. f'(x)?a?1x2ax?a?1x2?2ax?.

当a?0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调增加； 当a??1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调减少；

a?12a当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得x??.

则当x?(0,?a?12a)时，f'(x)＞0；x?(?a?12a,??)时，f'(x)＜0.

故f(x)在(0,?a?12a)单调增加，在(?a?12a,??)单调减少.

（Ⅱ）不妨假设x1?x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ?x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2

等价于 ?x1,x2?(0,??)，f(x2)?4x2?f(x1)?4x1 ①

令g(x)?f(x)?4x，则g'(x)?a?1x?2ax?4

a?1x?2ax?4?0.

①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即 ?4x?12x?12 从而a??(2x?1)?4x?22x?1222?(2x?1)222x?1?2 故a的取值范围为（-∞，-2].

x2（2010北京理数）(18)(本小题共13分)已知函数f(x)=In(1+x)-x+x(k≥0)。

2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。

解：（I）当k?2时，f(x)?ln(1?x)?x?x2，f'(x)? 由于f(1)?ln2，f'(1)? y?ln2?（II）f'(x)?323211?x?1?2x

， 所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

(x?1) 即 3x?2y?2ln2?3?0

x(kx?k?1)1?x，x?(?1,??).

x1?x 当k?0时，f'(x)??. 所以，在区间(?1,0)上，f'(x)?0；在区间(0,??)上，f'(x)?0.

故f(x)得单调递增区间是(?1,0)，单调递减区间是(0,??). 当0?k?1时，由f'(x)? 所以，在区间(?1,0)和(x(kx?k?1)1?xk?0，得x1?0，x2?1?kk1?kk?0

)上，f'(x)?0 1?kk).

1?k,??)上，f'(x)?0；在区间(0,1?kk 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(x2,??)，单调递减区间是(0, 当k?1时，f'(x)?1?x 故f(x)得单调递增区间是(?1,??).

1?kk当k?1时，f'(x)?所以没在区间(?1,x(kx?k?1)1?x?0，得x1??(?1,0)，x2?0.

1?kk,0)上， f'(x)?0 1?kk,0)

1?kk)和(0,??)上，f'(x)?0；在区间(1?kk故f(x)得单调递增区间是(?1,)和(0,??)，单调递减区间是(（2010江苏卷）20、（本小题满分16分）

设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的

x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x?ax?1)，则称函数f(x)具有性质P(a)。

2(1)设函数f(x)?lnx?b?2x?1(x?1)，其中b为实数。

(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间。 (2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数，

??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，

若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，求m的取值范围。

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 （1）(i)f'(x)?1x?b?2(x?1)2?1x(x?1)2(x?bx?1)

2

∵x?1时，h(x)?1x(x?1)2?0恒成立，

∴函数f(x)具有性质P(b)；

(ii)（方法一）设?(x)?x?bx?1?(x?)?1?22b2b24，?(x)与f'(x)的符号相同。

当1?b24?0,?2?b?2时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增；

当b??2时，对于x?1，有f'(x)?0，所以此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b??2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b2??1，而?(0)?1，

对于x?1，总有?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； （方法二）当b?2时，对于x?1，?(x)?x2?bx?1?x2?2x?1?(x?1)2?0 所以f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增；

b2当b?2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?22?1，方程?(x)?0的两根为：

b?b?4b?,22b?422，而

b?b?42?1,b?b?42?b?2b?42?(0,1)

当x?(1,b?b?42b?422)时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,b?b?422) 上递减；同理得：f(x)在区间[b?2,??)上递增。

综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增； 当b?2时，f(x)在(1,b?b?422b?)上递减；f(x)在[2b?4222,??)上递增。

(2)（方法一）由题意，得：g'(x)?h(x)(x?2x?1)?h(x)(x?1) 又h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，

所以对任意的x?(1,??)都有g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增。 又????x1?x2,????(2m?1)(x1?x2)。 当m?12,m?1时，???，且??x1?(m?1)x1?(1?m)x2,??x2?(1?m)x1?(m?1)x2，

综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x2?2x?1)，其中函数h(x)?0对于任意的x?(1,??)都成立。所以，当x?1时，g'(x)?h(x)(x?1)2?0，从而g(x)在区间(1,??)上单调递增。 ①当m?(0,1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，

??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1,x2)，同理可得??(x1,x2)，所以由g(x)的单调性知g(?)、

g(?)?(g(x1),g(x2))，

从而有|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，符合题设。 ②当m?0时，??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，

??(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1，于是由??1,??1及g(x)的单调性知g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，所

以|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。

③当m?1时，同理可得??x1,??x2，进而得|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）。

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