弹簧练习题

轻弹簧是一种理想的物理模型，在《考试说明》中涉及它的知识点有： ①形变和弹力，胡克定律(该知识点为B级要求)； ②弹性势能(A级要求)、弹簧振子等

弹簧的弹力不能突变，它的变化要经历一个过程，这是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定的。因此，要知道在某一作用瞬间(如碰撞)弹力会保持不变。弹力是变力，求弹力的冲量和弹力做的功时，不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。弹簧的弹力与形变量成正比例变化，故它引起的物体的加速度、速度、动量、动能等变化不是简单的单调关系，往往有临界值。如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。弹簧是高中物理中的一种常见的物理模型，几乎每年高考对这种模型有所涉及和作为压轴题加以考查。它涉及的物理问题较广，有：平衡类问题、运动的合成与分解、圆周运动、简谐运动、做功、冲量、动量和能量、带电粒子在复合场中的运动以及临界和突变等问题。为了将本问题有进一步了解和深入，现归纳整理如下

物理模型：轻弹簧是不计自身质量，能产生沿轴线的拉伸或压缩形变，故产生向内或向外的弹力。

模型力学特征：轻弹簧既可以发生拉伸形变，又可发生压缩形变，其弹力方向一定沿弹簧方向，弹簧两端弹力的大小相等，方向相反。

弹簧物理问题：

弹簧平衡问题：抓住弹簧形变量、运动和力、促平衡、列方程。 弹簧模型应用牛顿第二定律的解题技巧问题：

弹簧长度改变，弹力发生变化问题：要从牛顿第二定律入手先分析加速度，从而分析物体运动规律。而物体的运动又导致弹力的变化，变化的规律又会影响新的运动，由此画出弹簧的几个特殊状态（原长、平衡位置、最大长度）尤其重要。

弹簧长度不变，弹力不变问题：当物体除受弹簧本身的弹力外，还受到其它外力时，当弹簧长度不发生变化时，弹簧的弹力是不变的，出就是形变量不变，抓住这一状态分析物体的另外问题。

弹簧中的临界问题：当弹簧的长度发生改变导致弹力发生变化的过程中，往往会出现临界问题：如“两物体分离”、“离开地面”、“恰好”、“刚好”??这类问题找出隐含条件是求解本类题型的关键。

1. 如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上．现使B瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得 （ ）

（A）

在t1、t3时刻

两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于伸长状态

（B）从

t3到t4时刻弹簧由压缩状态恢复到原长

（C）两物体的质量之比为m1:m2?1:2 （D）在t2时刻A与B的动能之比为

Ek1:Ek2?8：1

2. 如图所示，甲、乙两车用轻弹簧相连静止在光滑的水平面上，现在同时对甲、乙两车施加等大反向的水平恒力F1、F2，使甲、乙同时由静止开始运动，在整个过程中，对甲、乙两车及弹簧组成的系统（假定整个过程中弹簧均在弹性即度内），正确的说法是（ ）

A．系统受到外力作用，动量不断增大 B．弹簧伸长到最长时，系统的机械能最大

C．恒力对系统一直做正功，系统的机械能不断增大

D．两物体的速度减少为零时，弹簧的弹力大小大于外力F1、F2的大小 3．质量相等的A、B两球之间压缩一根轻弹簧，当用板挡住小球A而只释放B球时，B球被弹出落于桌边s=0.4mA B 的地上，如图所示.问当同样的程度压缩弹簧，取走A左边的挡板，将A、B同时释放，B球的落地点离桌边多远？ 4、如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为mA＝2.0kg，mB＝1.0kg，mC＝1.0kg，现用一轻弹簧

将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠

s 近，此过程外力做功108J（弹簧仍处于弹性范围），然后同时释放，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰以4m/s的速度迎面与B发生碰撞并瞬时粘连。求：

⑴弹簧刚好恢复原长时（B与C碰撞前），A和B物块速度的大小。 ⑵当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能。

CBA

⑴ 设弹簧刚好恢复原长时，A和B物块速度的大小分别为vA、vB

mAvA?mBvB?0

1m2?1m2 2AvA2BvB?EP

联立解得 vA?6m/s vB?12m/s

⑵弹簧第二次被压缩到最短时，弹簧具有的弹性势能最大，此时A、B、C具有相同的速度，设此速度为v

mCvc?(mA?mB?mC)v

所以 v?1m/s

C与B碰撞,设碰后B、C粘连时的速度为v /

mBvB?mCvC?(mB?mC)v'

v'?4m/s

故：弹簧第二次被压缩到最短时，弹簧具有的最大弹性势能为：

E'1p?2m212(m?1AvA?B?mC)v'22(mA?mB?mC)v2?50J

5如图9中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平导轨上，弹簧处在原长

状态。另一质量与B相同滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行，当A滑过距离L1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回出发点P并停止。滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为L2，求A从P出发时的初速度υ0。

解析：设A、B质量均为m，A刚接触B时速度为v1（碰前），由功能关系，有

12mv212mv20?1??mgL1 ①

A、B碰撞过程中动量守恒，设碰后A、B共同运动的速度为v2.有

B A mvmvP 1?22 ②

L2

L1

碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，图9

在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速度为v3，在这过程中，弹簧弹性势能始末两态都为零，利

用功能关系，有

12(2m)v2122?2(2m)v3??(2m)g(2L2) ③

此后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有

122mv3??mgL1 ④

由以上各式，解得

v0??g(10L1?16L2) ⑤

6、如图所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小可忽略，它们分别带为

+QA和+QB的电荷量，质量分别为ｍＡ和ｍＢ。两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接轻质小钩。整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中，A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮。

（1）若在小钩上挂质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A对挡板P的压力恰 为零，但不会离开P，求物块C下降的最大距离ｈ

（2）若C的质量为2M，则当A刚离开挡板P时，B的速度多大？ 分析与解

通过物理过程的分析可知：当A刚离开挡板P时，弹力恰好与Ａ所受电场力平衡，弹簧伸长量一定，前后两次改变物块Ｃ质量，在第２问对应的物理过程中，弹簧长度的变化及弹性势能的改变相同，可以替代求解。

设开始时弹簧压缩量为x1

?EQB由平衡条件：kx1?EQxB 可得

1k ①

设当A刚离开档板时弹簧的伸长量为x2：

xEQA由：kx2?EQA 可得

2?k ②

故C下降的最大距离为： h?x1?x2 ③

h?Ek(QQ由①—③式可解得

B?A) ④

（2）由能量转化守恒定律可知：C下落h过程中，C重力势能的减少量等于B电势能的增

量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和

当C的质量为M时：

mgh?QBE?h??E弹 ⑤

当C的质量为2M时，设A刚离开挡板时B的速度为V

2Mgh?Q1(2M?m2

BEh??E弹?2B)V ⑥

由④—⑥式可解得A刚离开P时B的速度为：

V?2Mg(EQA?QB)

k(2M?mB) ⑦

7、如图所示，A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）.

（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；

（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F对木块做的功。

分析与解

此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0时 ,恰好分离.

当F=0（即不加竖直向上F力时），设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有

kx=(m(mA+mB)gA+mB)g 即 x=k ①

对A施加F力，分析A、B受力如右图所示

对A

F+N-mAg=mAa

② 对B kx'-N-mBg=mBa'

③

可知，当N≠0时，AB有共同加速度a=a′，由②式知欲使A匀加速运动，随N减小F增大.

当N=0时，F取得了最大值Fm,

即

Fm=mA(g+a)=4.41 N

又当N=0时，A、B开始分离，由③式知，

kx'=mmB(a+g)此时，弹簧压缩量

B(a+g) x'=k ④

AB共同速度 v2=2a(x-x')??

⑤

由题知，此过程弹性势能减少了WP=EP=0.248 J 设F力功WF，对这一过程应用功能原理

W=1F2( mA+mB)v2+(mA+mB)g(x-x')-Ep ⑥

联立①④⑤⑥，且注意到EP=0.248 J 可知，WF=9.64×10-2 J

8、如图所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相

连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x0，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A、另一端C握在手中，各段绳均处于刚好伸直状态，A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长。现在C端施 水平恒力F而使A从静止开始向上运动。（整个过程弹簧始终处在弹性限度以内）

（1）如果在C端所施恒力大小为3mg，则在B物块刚要离开地面时A的速度为多大？ （2）若将B的质量增加到2m，为了保证运动中B始终不离开地面，则F最大不超过多少？

xmg分析与解 由题意可知：弹簧开始的压缩量

0?k，在B物块刚要离开地面时弹簧的伸长量

xmg也是

0?k

（1）若F=3mg，在弹簧伸长到x0时，B开始离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F

所做的功等于A增加的动能及重力势能的和。即

F?2x

0?mg?2x0?12mv2 可解得：v?22gx0

（2）所施力为恒力F0时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上

除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。故物体A做简谐运动。

在最低点： F0－mg+kx0=ma1

式中k为弹簧劲度系数，a1为在最低点A的加速度。

在最高点，B恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x0，则： K（2x0）+mg－F0=ma2

考虑到： kx0=mg 简谐运动在上、下振幅处 a1=a2

3mg 解得：F0=2

也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F0。物体A做简谐运动的最低点压缩量为x0，最

x0高点伸长量为2x0，则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为2所在处。

mg?kx03由：

2?Fmg0 解得：F0=2

说明 区别原长位置与平衡位置。与原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关；

与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关

9如图所示，A、B、C三物块质量均为m，置于光滑的水平地面上.B、C间夹有原已完全压紧不

能再压缩的弹簧，两物块用细线相连，使弹簧不能伸展.物块A以初速度v0沿B、C连线方向向B运动，相碰后A与B粘合在一起，然后连接B、C的细线受到扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离，脱离弹簧后C的速度为v0.

⑴求弹簧所释放的弹性势能?EP；

⑵若更换B、C间的弹簧，当物块A以初速度v向B运动，物块C在脱离弹簧后的速度为2v0，则弹簧所释放的弹性势能?EP?是多少？

⑶若情况⑵中的弹簧与情况⑴中的弹簧相同，为了使物块C在脱离后的速度仍为2v0，A的初速度v应为多大？

解析：（1）因B、C间的弹簧已无压缩余地，因而在受v外界冲击时，应看做为一个物体，根据动量守恒定律有 A B C mv0＝（m＋2m）v ①

弹簧伸展C与A、B分开，仍有动量守恒，设A、B速度为v1向右，C的速度为发 向右，则有（m＋2m）v＝2mv1＋mv2 ② 此过程弹簧释放的能量为△E，则有

△E＋(1/2)(m＋2m)v^2＝(1/2)(2m)v1^2＋(1/2)mv2^2 将v2＝v0代入①②联立解得v1＝0，v＝(1/3)v0 所以

△E＝(1/3)mv0^2

（2）依照（1）的解题过程有 mv＝（m＋2m）v' ④ （m＋2m）v'＝2mv1'＋m*2v0 ⑤

△E'＋(1/2)(m＋2m)v'^2＝(1/2)(2m)v1'^2＋(1/2)m(2v0)^2 ⑥ ④、⑤、⑥联立解得 △E'＝(1/12)m(v－6v0)^2

（3）根据题意有 △E''＝△E'＝△E 即 (1/3)mv0^2＝(1/12)m(v－6v0)^2 解得 v＝4v0， v＝8v0（舍去），原因是由④⑤解得v'＝(1/2)v－v0，将v＝8v0 代入得 v1'＝3v0不合题意．

10．如图甲，在光滑水平长直轨道上放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各连接一个小球构成，两小球质量相左 右 等.现突然给左端小球一个向右的速度v0，求弹簧第一次恢复到甲 自然长度时，每个小球的速度；

⑵如图乙，将N个这样的振子放在该轨道上.最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E0，其余各振子间都有一定的距离.现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰.求所有可能的碰撞都

左 …… 右 1

2

3

4

N

乙

发生后，每个振子弹性势能的最大值.已知本题中两球发生碰撞时速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度.

解析：此题是以弹簧振子为纽带，以碰撞时交换速度为特征的压轴题，若以物理模型解答，较简捷，即：两球发生弹性碰撞后时，若两球质量相等，则碰撞后交换速度． （１）从左端小球以ｖ０向右运动到第一次恢复自然长度过程中，两小球在这一段时间内的碰撞可看作弹性碰撞，且质量相等，碰后交换速度即：ｕ左＝０，ｕ右＝ｕ０． 上面为弹簧振子第一次恢复自然长度时，左右两小球的速度．

（２）令ｖ１左、ｖ１右分别表示振子１解除锁定后弹簧恢复至自然长度时左右两小球的速度，由动量守恒得：ｍｖ１左＋ｍｖ１右＝０，?ｖ１左＝－ｖ１右

说明两小球速度大小相等、方向相反，因而小球质量相等，所以它们的动能也相等，

E011E0且各占2，即：2ｍｖ１左２＝2ｍｖ１右２＝2

振子１与振子２碰撞后，因交换速度，振子１右端小球速度变为ｖ＝０，左端小球速度仍以ｖ１左，此后两小球都向左运动，当两小球具有共同速度ｖ１共时，弹簧被拉伸最长，此时弹性势能具有最大值为Ｅ１，由动量守恒有：ｍｖ１左＝（ｍ＋ｍ）ｖ１共，

1?ｖ１共＝2ｖ１左．

?系统减少的动能转化为弹性势能，即：

1111E0Ｅ１＝2ｍｖ１左２－2（ｍ＋ｍ）ｖ１共２＝2?2ｍｖ１左２＝4．

振子２被碰撞后，仍因交换速度，左端小球的速度ｖ２左＝ｖ１右，此时右端的小球静止，由第（１）问的结果可知，当振子２第一次恢复自然长度时，可以认为左端小球的速度ｖ２恰好传递给右端小球，依此类推，这个速度被一直传递到第Ｎ个振子，当所有可能的碰撞都发生后，第二个振子至第（Ｎ－１）个振子各小球均处于静止，且各弹簧先后恢复了自然长度，弹性势能为０。即：Ｅ２＝Ｅ３＝Ｅ４＝…=ＥＮ－１＝０．

当第Ｎ个振子左端小球获的速度ｖ１时，右端小球静止，且弹簧处于自然长度，此后两小球向右运动，弹簧被压缩，当两小球有共同速度ｖＮ共时，弹簧被压缩至最短，弹性势能最大，最大值为ＥＮ，由动量守恒得：ｍｖＮ左＝（ｍ＋ｍ）ｖＮ共，?ｖ

11Ｎ共＝2ｖＮ左＝2ｖ１右．

系统减少的动能转化为弹性势能，即：

11ＥＮ＝2ｍｖＮ左２－2（ｍ＋ｍ）ｖＮ共２

E011111 ＝2ｍｖ１右２－2（ｍ＋ｍ）（2ｖ１右）２＝2?2ｍ１ｖ１右２＝4．

注：从解题过程看，虽然很长，但贯穿整个过程的是：速度传递和动能传递贯穿整个过程的始终，这一条主线快速抓住，解题方向也确定了，同时此题的第２问充分应用第１问的结论，问题也就简单多了。

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