十字相乘法(2)教案

十字相乘法（2）

教学目标：

1.知识目标：使学生掌握通过代换方法，进行可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式因式分解，领会整体代换、字母表示式和化归等数学方法。理解运用十字相乘法分解因式的关键。

2.能力目标：通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；训练学生思维的灵活性、层次性，逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。

3.情感目标：通过问题解决，培养合作意识，激发成功体验，鼓励创新思维。

教学设计思想：

本课是简单介绍十字相乘法后的第二节课，结合学生基础较好的特点，我改变教参中的处理方式，尝试以二期课改的理念为指导，帮助学生进行探索性地学习，更好地实现有效学习。

在设计上，希望使学生体会字母表示式的想法和数学题的演变，学会透过现象看本质，灵活运用十字相乘法分解因式，进一步理解运用十字相乘法分解因式的关键。感悟，从整体上观察、思考和处理问题是一种重要的数学方法，也是解决数学问题、发展数学内容时常用技能和技巧。化归思想是数学中解决问题的主要思想方法。

教学过程：

一、复习引入

1．回忆课本上十字相乘法分解因式的一般步骤

例１：把多项式x2－3x + 2分解因式。

解：

x2－

)

像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。 提问：是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式？ 答：不是，（反例：x2 +３x－2）。

提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式？ 请同学总结：（板书）x2＋px＋q

当q＝ab，p ＝a＋b时， x2＋px＋q = (x＋a) (x＋b) （*）

再提问：在将首项系数为1的二次三项式因式分解时，你认为要注意什么？

答：试分解后要及时检验，纵向相乘得首项，末项；交叉相乘得中间项。应该注意的是一次项的系数和末项的系数都是包含了符号的。

如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数的积，它们的符号与一次项系数p的符号相同。

如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。（根据情况，可选择数学符号语言表述）

2．计算：（口答） ⑴ 99

11

100； 22

⑵ (x＋1) 2 －２(x－1) (x＋1)＋(x－1) 2；

体会公式中的字母可以表示数，也可以表示代数式。

二、 引导问题设计，把可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式分解因式，渗透分类讨论、整体代换和化归思想方法。

1.复习中已经知道，公式里的字母不仅可以表示数，也可以表示式，我们把这个想法用

到十字相乘法的因式分解中去，想一想，怎样分解下面的因式：

例１. ⑴ y－3y+2；

2

⑵ (a+b)－3(a+b)+2；

3

⑴中设“y ”为 “x”, ⑵中设“(a+b)”为 “x”;这两道题可化归为例１进行分解。 请同学体会，引入辅助元“x”，培养整体代换和化归思想方法。可以帮助我们利用十字相乘法，灵活进行较复杂多项式的分解因式）

引导同学对问题中 ⑵ (a+b) －3 (a+b)+2；进行变式设计 （分解因式：⑴(a+b -3) (a+b)+2；） 理解：（*）式中“x”只能是单独的字母吗？

答：单项式，多项式，整式(单项，多项式的统称)，

代数式（如不是整式，虽不是因式分解，但仍可以进行代数式的恒等变形）

[试一试，仿例题，将“x”可能的情况分类，然后设计题目，训练整体代换和化归思想方法的运用。

*表扬有创意的设计，请同学解题，分析，进一步理解运用十字相乘法分解因式的注意点。]

2

6

3

2.提问：（*）式中“末项”只能是常数吗？

答：单项式，多项式，

例2．把下列两式分解因式。

⑴ x＋6xy＋8y；

22

⑵(a+1) －3 (a+1)b + 2b；

222

分析：⑴把x＋6xy＋8y看成是x的二次三项式，这里常数项是8y， 一次项系数是6y，把8y2分解成2y与4y的积，2y＋4y＝6y， 正好等于一次项系数。

2

2

⑴解：

x2＋6xy＋8y2＝(x＋2y)(x＋4y)

22

⑵解：(a+1) －3 (a+1)b + 2b；

=(a-b+1) (a-2b+1)

例3：把(x-3x＋2) (x-3x-4)－72分解因式；

2

解法1：设“(x-3x＋2)”为 “y”,

2

解法2：设“(x-3x-4)”为 “y”,

2

解法3：“(x-3x)”为 “y”。

22

略

变式：⑴(x-1 )(x+1) (x－2) (x－4)-72；

22

⑵(x-5x＋4) (x-x-2)－72

3.课堂练习：练习题(题目分组，小组互批)

(分析时，引导同学总结多项式分解因式的注意点，如有公因式先提公因式，一般二次项系数为负数时，化负为正；一定要分解到每个因式都不能再分解为止，等等）

4.请你设计一道形式如例1的因式分解题。进行变式设计，体会字母可以代替任意的数

和式。(使学生掌握通过代换方法，把可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式分解因式。) （同学合作，交流）

。。。。。。

5.课堂小结：（1.知识；2.数学思想方法；3.其他）略

6.作业：（1.P 294：1;P 310:24，25。2. 5中的作业)

2

（7.问：“首项系数不是1的二次三项式ax＋bx＋c

能利用十字相乘法进行因式分解

吗？

分析依据：因式分解是与整式乘法相反方向的恒等变形

2

请同学们思考，探求形如ax＋bx＋c的二次三项式进行因式分解的一般步骤，并设计

2

一组可以转化为ax＋bx＋c型的多项式的分解因式题目（给出解答），巩固分类讨论、整体代换和化归思想方法。（回家作业）

8．因式分解有广泛的应用，请尝试改变题型设计，

1.求值题

例：⑴已知x＋2x=3，求代数式x＋6x的值；

22 22 22

⑵已知（x＋y）（x＋y-1）-6=0，求代数式x＋y的值；

⑶已知3x＋xy-2y=0，求代数式x- 2.其他

引导同学问题设计。（回家作业） ）

2

2

2

2

2

422

y +x-y2的值； 93

由整式乘法得到

(a2x＋c1)(a2x＋c2)

＝a1a2x2＋a1c2x＋a2c1x＋c1c2

＝a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2

反过来就得到

a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2

＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)

我们发现二次项系数a分解成a1、a2，常数项c分解成c1、c2，

并且把a1、a2、c1、c2排成如下：

成

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正 好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解

(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1、c1位于图的上一列，a2、c2位于 下一列。 `必须注意，分解因数及十字相乘法都有多种可能情况，所以

往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘

法分解。

例如：把 6x2－7x－5分解因式。

6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)

例3．把多项式 6y2－13y＋6 分解因式

仿照课本p292,例8，请你设计一组题，体会字母可以代替任意的数和式。掌握通过代换方法，把可以转化为a1a2x＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2型的多项式分解因式。

小结：

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/va34.html