云南省昆明一中教育集团2021届高二升高三诊断性考试文科数学试题含解析

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昆明一中教育集团2021届高二升高三诊断性考试

文科数学

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答；用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合{|03}A x x =<<，若{}1A

B =，则集合B 可以是（ ） A. {}0,1

B. {}1,2

C. {0,1,2}

D. {}1,2,3 【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用交集运算即得解. 【详解】集合{}03A x x =<<，{}0,1B =满足条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

2. 若复数z 满足i 1i z ?=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ）

A. 1i --

B. 1i +

C. 1i -+

D. 1i - 【答案】B

【解析】

【分析】

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把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【详解】解：由1z i i =+，得2

1(1)()1i i i z i i i ++-===--， ∴1z i =+，

故选：B ．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题．

3. 设3535a ??= ???353()5a =，353log 2b =，3

532c ??= ???，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. a c b << C. b a c << D. b c a <<

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数对数函数的单调性，确定a ，b ，c 的范围，进而比较大小即可.

【详解】由题可得305331550a ????=<= ? ?????<，33553log log 102b =<=，3

0533122c ????=>= ? ?????.所以b a c <<.

故选：C

【点睛】本题主要考查利用指对数函数的单调性比较大小，属于基础题.

4. cos 300°

=（ ） A. 12 B. 1-2

D. 【答案】A

【解析】

由题意结合诱导公式有：()1cos300cos 36060

cos602=-==. 本题选择A 选项.

5. 已知正项等比数列{}n a 中，432a a a =

，若1237a a a ++=，则8a =（ ） A. 32 B. 48 C. 64 D. 128

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【答案】D

【解析】 【分析】

设公比为q ，根据等比数列通项公式由条件列方程求解即可

. 【详解】由432

a a a =得221a q q =，所以11a =， 又因为1237a a a ++=，得217q q ++=，所以2q

，782128a ==. 故选：D

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查学生的运算求解能力.

6. 函数2

ln 2()||

x f x x x =的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B

【解析】

【分析】

由定义可判断函数()f x 是奇函数，且11()2ln

024

f =<，故可采用排除法选出正确答案. 【详解】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠， 又()()()22

22ln ()||ln x x x f x f x x x x

---===---， 所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，C ；

又因为1

1()2ln 024

f =<，故排除D .

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故选：B

【点睛】本题考查函数图象的判断与应用，考查函数的特殊值的计算，是中档题.已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质.

7. 已知双曲线2

2

21(0)y x b b -=>

b =（ ）

A.

B. C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】

由双曲线中离心率公式和222c a b =+，即可求解. 【详解】由双曲线2

2

21(0)y x b b -=>可知1a =，

因为c e a ===

b =故选：A

【点睛】本题主要考查双曲线离心率问题，解题的关键是熟练掌握离心率公式，属于基础题. 8. 已知非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 的夹角为（ ）

A. 30

B. 45?

C. 60?

D. 90?

【答案】D

【解析】

分析】 a b +与a b -分别为平行四边形的两条对角线，对角线相等，则a b ⊥.

【详解】因为a b +与a b -分别为平行四边形的两条对角线，

||||a b a b +=-，对角线相等，所以a b ⊥

故选：D.

【点睛】本题考查向量和差运算的平行四边形法则，属于基础题.

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9. 如图所示的程序框图，

是为计1111112344950

S =-

+-++-，则在空白判断框中应填入的是（ ）

A. 50i <

B. 51i ≤？

C. 50i >？

D. 51i ≥？

【答案】A

【解析】

【分析】 根据程序框图，确定,N T ，由框图的作用，即可得出结果. 【详解】由程序框图可得，S N T =-中的11113549N =++++，111124650

T =++++， 则空白判断框应填50?i <， 故选：A .

【点睛】本题主要考查补全循环程序框图，属于基础题型. 10. 函数2()sin (0,

)2cos x f x x x π??=+∈????的最大值为（ ） A. 1

B. 54

C. 32

D. 2 【答案】B

【解析】

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【分析】 根据题意，将原式整理，得到215()cos 24f x x ??=--+ ??

?，进而可求出结果. 【详解】因2

2215()sin cos cos cos 1cos 24f x x x x x x ??=+=-++=--+ ???， 由0,2x π??∈????

得cos [0,1]x ∈，所以当1cos 2x =时，max 5()4f x =， 故选：B .

【点睛】本题主要考查求含三角函数的二次式的最值，属于基础题型.

11. 已知抛物线2:2(0)C x px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 是抛物线C 上一点，MH l ⊥于H .若4MH =，60HFM ?∠=，则抛物线C 的方程为（ ）

A. 216y x =

B. 28y x =

C. 24y x =

D. 22y x = 【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，得到4MF MH ==，推出MHF △为正三角形，求出4HF =，记准线l 与x 轴交于点Q ，根据sin p QF HF QHF ==∠即可求出结果.

【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以4MF MH ==，又60HFM ?∠=，

所以MHF △为正三角形，所以4HF =，

记准线l 与x 轴交于点Q ，则30QHF ∠=?， 所以o

sin 4sin302p QF HF QHF ==∠==，

所以该抛物线方程为：24y x =.

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故选：C.

【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，熟记抛物线的定义，以及抛物线方程的标准形式即可，属于基础题.

12. 已知函数()ln 1x f x xe x x =---，若对任意(0,)x ∈+∞，使()f x a ≥，则a 的最大值为（ ）

A. 0

B. 2e -

C. 1

D. 1e -

【答案】A

【解析】

【分析】

将函数()f x 的解析式化为ln ()(ln )1x x f x e x x +=-+-，再构造函数1x y e x =--，利用导数可知，当0x =时，函数1x y e x =--取得最小值0，所以当ln 0x x +=时，()f x 的最小值

为0，所以0a ≤，所以a 的最大值为0.

【详解】ln ()ln 1ln 1x x x f x xe x x e e x x =---=---ln (ln )1x x e

x x +=-+-， 令1x y e x =--，则1x y e '=-，

由0y '<，得10x e -<，得0x <，由0y '>，得10x e ->，得0x >，

所以1x

y e x =--在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，

所以当0x =时，0min 010y e =--=，即10x y e x =--≥， 所以ln (=(ln )10x x f x e x x +-+-≥），

当ln 0x x +=时取“=”，所以()f x 的最小值为0，所以0a ≤，

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所以a 的最大值为0.

故选：A .

【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了利用导数求函数的最值，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，解题关键是将ln x x +看做一个整体构造函数，再利用导数处理.属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 曲线2ln 1y x x =++在点()1,2处的切线方程为______．

【答案】3-1y x =

【解析】

【分析】

先对原函数求导，再令x=1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程．

【详解】解：令()()()2''1ln 1,2,1213f x x x f x x f x

=++=+=+= ，3k ∴= ， 切线方程()231,31y x y x -=?-=- ．

故填：3-1y x = ．

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程．

14. 若变量x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤??-≤??≥?

，则2z x y =+的最小值是__________.

【答案】6-

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】满足约束条件2239

0x y x y x +≤??-≤??≥?

可行域如图所示， 目标函数2z x y =+对应直线22x z y =-

+， 当z 最小时，纵截距

2z 最小，

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所以平移直线

2

x

y=-过点()

0,3

B-时，纵截距最小，此时

min

6

z=-.

故答案为：6

-

【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

15. 棱长为1的正方体1111

ABCD A B C D

-中，若E、F、G分别是AB、AD、

11

B C的中点，则该正方体的过E、F、G的截面面积为__________.

33

【解析】

【分析】

先根据题意找出截面为正六边形，进而求得正六边形的面积即可.

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【详解】

由图可知，截面为一个的正六边形，正六边形的边长为

22

112

+=

222

????

? ?

????

，

所以截面的面积为

12233

6(sin)

22234

π

????=.

故答案为：

33

4

【点睛】本题主要考查空间几何体截面问题，解题时要准确找出截面形状.

16. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线()3

2222

:4

C x y x y

+=被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）.给出下列四个结论：

①曲线C关于直线y x

=-对称；

②存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；

③存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；

④曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积等于1.

其中，正确结论的序号是___________.

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【答案】①③

【解析】

【分析】

根据曲线的方程进行分析、求解、判断．

【详解】在曲线C 上任取一点P （x ，y ），关于y x =-对称的点为Q (,)x y --，

显然也满足方程()322224x y x y +=，故①正确；

显然曲线关于y ＝x 对称，令y ＝x ，代入曲线C

的方程，解得22x y ?=±????=±??

，

显然点?

??

不在一个以原点为中心，边长为1的正方形内， 所以存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界），②错误； 由22

22

222244()()2x y x y x y +≤=+， 所以223222()()x y x y +≤+，即：221x y +≤， 当2212x y ==

取等号，此时，点22

P ，在曲线上， 而1PO =，所以③正确， 因为22122

x y x y +?≤≤，所以④错误， 故答案为：①③

【点睛】本题主要考查曲线与方程的应用，不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 某地六月份30天的日最高气温的统计表如下：

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由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y 和Z 数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8.

（1）求Y ，Z 的值；

（2）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有2天“旺销”，“非高温天气”有6天“不旺销”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？说明理由.

附：2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++

【答案】（1）6Z =，6Y =；（2）填表见解析；没有；答案见解析.

【解析】

【分析】

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（1）根据六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8，得到日最高气温高于o 32C 的频率为10.8=0.2-，由300.2=?Z 求解.

（2）根据列联表，利用2

2

()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++求得2k ，对照临界表下结论. 【详解】（1）由已知得：日最高气温高于o 32C 的频率为10.8=0.2-，

所以300.26Z =?=，30(7116)6Y =-++=.

（2）

2

2

()(

)()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 2

30(26418)6242010

??

-?=??

? 3.75=

因为3.75 3.841<，所以没有95％的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关.

【点睛】本题主要考查统计表的应用以及独立性检验，属于基础题.

18. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，2b =，2242c a c +-=-. （1）求A 的值；

（2）从①a B =，②4B π

=两个条件中选一个作为已知条件，求sin C 的值.

【答案】（1）23A π=；（2）选择见解析；sin 4

C =.

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【解析】

【分析】

（1）由余弦定理结合已知即得解；

（2

）选择①a B =，利用正弦定理求出π4B =

，再利用sin sin()C A B =+即得解；选择②4B π

=，利用sin sin()C A B =+即得解.

【详解】（1）由2242c a c +-=-得：

22222421cos 22242

b c a c a c A bc c c +-+--====-?， 又因为0A π<<，所以23A π=

. （2）选择①作为已知条件.

在△ABC

中，由a B =，以及正弦定理sin sin a b A B =，

2sin sin 3

B =，解得21sin 2B =， 由2π3A =，得B 为锐角，所以π4

B =， 因为在△AB

C 中，πA B C ++=，所以

sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+

2ππ2ππsin cos cos sin 3434

=+，

所以sin C =

选择②作为已知条件，

因为在△ABC 中，πA B C ++=，

所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+

2ππ2ππsin cos cos sin 3434

=+，

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所以sin C =【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19. 设数列{}n a 满足11a =，*12()n n n

a n a +=∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，求数列23100b b b +++的值. 【答案】（1）(1)22n n n

a -=；（2）166650. 【解析】

【分析】

（1）利用累乘法即可求数列{}n a 的通项公式；

（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用分组求和法求出23100b b b +++. 【详解】（1）因为121121

()n n n n n a a a a a a a a ---=?????（2n ≥）， 所以(1)

122(222)12n n n n n a ---=??????=（2n ≥），

当1n =时，11a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)

22n n n a -=；

（2）因为222(1)11log 2222

n n n n n n b a n n --====-（2n ≥）， 所以2222310011(23100)(23100)22b b b ++???+=+++-+++ ()()2222210099111231001222

+?=?++++--? 1100101201100981166650264????=?--= ???

【点睛】本题考查数列的通项公式和数列的前n 项和的计算，考查了累乘法和分组求和法，考查学生的运算求解能力.

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20. 如图，直三棱柱111

ABC A B C

-中，

1

2

AB AC AA

===，22

BC=，D，E分别是BC，1

CC的中点.

（1）证明：1B D⊥平面ADE；

（2）求三棱锥1

D AB E

-的高.

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【解析】

【分析】

（1）由题意，根据线面垂直的判定定理，直接证明即可得出结论成立；

（2）设三棱锥1

D AB E

-的高为h ，根据

11

D AB

E B ADE

V V

--

=，由题中数据，结合棱锥的体积公式，即可求出结果.

【详解】（1）由已知得：12

BB BD

DC CE

==

所以1

Rt B BD Rt DCE，

所以1

BB D CDE

∠=∠，所以o

1

90

B DE

∠=，

所以1B D DE

⊥，

又因为AB AC

=，D是BC的中点，

所以AD BC

⊥，

因为直三棱柱111

ABC A B C

-中，侧棱和底面垂直，所以

1

BB⊥平面ABC；

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因此1BB AD ⊥，

又1BB BC B =，1,BB BC ?平面11BCC B ；

所以AD ⊥平面11BCC B ，所以1AD B D ⊥，

而AD DE D ?=，,AD DE ?平面ADE ，所以1B D ⊥平面ADE ；

（2）设三棱锥1D AB E -的高为h ，

因为12AB AC AA ===

，BC =

由题意可得12

AD BC ==

DE ==

，1B D ==，

因此1122ADE S AD DE =?== 所以11113

B ADE ADE V S B D -=?

=，

由1AB =AE

=，13B E

=，得：

1cos

B AE ∠==，

所以1

sin B AE ∠=

，

所以1132AB E S =?=， 由11D AB E B ADE V V --=，得：1113AB E S

h ?=，

所以1h =. 【点睛】本题主要考查证明线面垂直，考查等体积法求三棱锥的高，属于常考题型. 21. 已知函数()ln 1f x x x =-+.

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）证明：当1a ≥时，23ln 0ax x x +-≥.

【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）证明见解析.

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【解析】

【分析】

（1）求得函数的导数1()x f x x

-'=，根据导函数的符号，即可求得函数的单调区间； （2）由（1）中函数的单调性，证得ln (1)x x -≥--，再由223ln 3(1)ax x x ax x x +-≥+--，

令2()3(1)g x ax x x =+--，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数()ln 1f x x x =-+的定义域为(0,)+∞，且11()1x f x x x -='-=

， 所以1x >时，()0f x '<；01x <<时，()0f x '>，

所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.

（2）由（1）得：()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，

所以()(1)0f x f ≤=，即：ln 1≤-x x ，所以ln (1)x x -≥--.

由于223ln 3(1)ax x x ax x x +-≥+--，

令22()3(1)21g x ax x x ax x =+--=++211()1a x a a

=++-， 因为1a ≥，所以110a

-≥，所以()0g x ≥， 即：23ln 0ax x x +-≥.

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，作出证明；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

22. 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E

过点P

. （1）求椭圆E 的方程；

（2）设直线():1l y k

x =+与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB 的面积为23

，求直线l 的方程.

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【答案】（1）2

212

x y +=；（2）10x y -+=或10x y ++=. 【解析】

【分析】

（1

）由题干条件可知：a =

c a =，结合222a b c =+即可求出b 的值，从而求出椭圆方程；（2）直线与椭圆联立可求出12x x +，12x x ，又1212OAB S y y ?=-，可求出1243

y y -=，根据直线方程可知12y y

-=k 的值.

【详解】解：（1）设椭圆E 的方程为：22

221x y a b

+=(0)a b >>，

由已知：2222a c a

a b c ?=??=??=+??

得：22a =，21b =， 所以，椭圆E 的方程为：2

212

x y +=. （2）设11()A x y ，，22()B x y ，，(1,0)N - 由22(1)12

y k x x y =+???+=??，得2222(12)4220k x k x k +++-= 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k

-=+， 而12121122

OAB S ON y y y y ?=?-=-， 由已知23OAB S ?=得1243y y -=，

12y y -=

=

云南省昆明一中教育集团2021届高二升高三诊断性考试文科数学试题含解析

= 所以222224416(12)129

k k k k +=++， 化简得：4220k k +-=，所以1k =±，

所以直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=.

【点睛】本题考查根据椭圆的性质去椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积，考查韦达定理的应用，同时考查了学生的转化能力与计算能力，属于中档题.

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