高一数学+必修4学案

高一数学必修四 学案

华中师大海南附属中学高一数学备课组

高一数学必修4导学案

第一章 三角函数 1.1.1 任意角

【学习目标】

1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念

2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】

用集合与符号语言正确表示终边相同的角

第一课时

【自主学习】 一、复习引入

问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？

______________________________________________________。 所学的角的范围是什么？

______________________________________________________。 问题2：在体操、跳水中，有“转体720”这样的动作名词，这里的“720”，怎么刻画？

______________________________________________________。 二、建构数学 1．角的概念

角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类

按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 【典型例题】

1、度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小对于α＝210°，β＝－150°，γ＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？

例1 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？

（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

（3）如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度 才能将时间校准？

2、任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？

3. 终边相同的角

思考: （1）下列角分别是第几象限角？

300 ， 150 ， 60 ，-660 ，60 ，210，300，420，780，

这当中一些角有什么共同特征？

（2）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与60角终边相同的角的集合吗？

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。 4．象限角、轴线角的概念

我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与__________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。

如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。 象限角的集合

（1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________

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轴线角的集合

（1）终边在x轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （2）终边在x轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （3）终边在y轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （4）终边在y轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （5）终边在x轴上的角的集合：_______________________________________ （6）终边在y轴上的角的集合：_______________________________________ （7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________ 三、课前练习

在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。

300,1500, 600,3900, 3900, 1200

【典型例题】

例2 在00

到3600

的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。

（1）6500 （2） 1500 （3） 2400 （4） 990015'

例3 已知 与2400

角的终边相同，判断

2

是第几象限角。

例4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。

例5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）

（1） （2） （3）

【拓展延伸】

已知角 是第二象限角，试判断

2

为第几象限角？

【巩固练习】

1、设 600

，则与角 终边相同的角的集合可以表示为___________________.

2、把下列各角化成 k 3600

(00

3600

,k Z)的形式，并指出它们是第几象限的角。 （1）12000

（2） 550

（3）15630

（4） 15900

3、终边在y轴上的角的集合_______________;终边在直线y x上的角的集合________________;终边在四个象限角平分线上的角的集合_________________________.

4、 终边在300角终边的反向延长线上的角的集合___________________________.

5、 若角 的终边与450

角的终边关于原点对称，则 ___________；若角 , 的终边关于直线

x y 0对称，且 600，则 ____________。

6、 集合A { | k 900 360

,k Z}，

B { | 1800 1800}，则A B _________.

7、若

2

是第一象限角，则 的终边在__________________________ 【课后训练】

1、 分针走10分钟所转过的角度为___________;时针转过的角度为____________. 2、若900

1350

，则 的范围是_________， 的范围是________. 3、（1）与 350

30'终边相同的最小正角是________; （2）与7150终边相同的最大负角是_______________;

（3）与10000

终边相同且绝对值最小的角是__________;

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（4）与 1778终边相同且绝对值最小的角是___________.

4、与 15终边相同的在 1080 360之间的角 为_______________________. 5、已知角 , 的终边相同，则 的终边在___________________________. 6、若 是第四象限角，则180 是第_____象限角；180 是第____象限角。 7、若集合A { |k 180 30 k 180 90,k Z}， 集合B { |k 360 45 k 360 45,k Z}， 则A B _____________.

8、已知集合M {锐角（1）P N，（2）}，N {小于90的角}，P {第一象限的角}，下列说法：（3）M P，（4）(M N) P其中正确的是____________. N P M，

9、角 小于180而大于 180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角 。 10、已知 与60角的终边相同，分别判断

000

【自主学习】 一、复习引入

请同学们回忆一下初中所学的10的角是如何定义的？

二、建构数学 1．弧度制

角还可以用__________为单位进行度量，

___________________________________叫做1弧度的角，用符号_____表示，读作________。 2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____如果半径为r的圆心角所对的弧的长为1，那么，角α的弧度数的绝对值是_________。 这里，α的正负由____________________________________决定。 3．角度制与弧度制相互换算

360°＝_________rad 180°＝_________rad 1°＝_________rad 1 rad＝_________°≈ _________°

4．角的概念推广后,在弧度制下, ________________与______________之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即_______________)与它对应;反过来,每一个实数也都有

00

2

,2 是第几象限角。

【课堂小结】

________________(即_______________)与它对应。 1. 角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，

都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义. 5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式： 2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，

角 的弧度数的绝对值| | ______________ （l为弧长，r为半径）

若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.

弧长公式：____________________________

扇形面积公式：____________________________

1.1.2 弧度制 【典型例题】

【学习目标】 例1．把下列各角从弧度化为度。

3 5 3． 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数

（1） （2） （3） （4）2 （5）3.5

4． 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题 5126

5． 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系

【学习重点、难点】

弧度的概念，弧度与角度换算

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例2．把下列各角从度化为弧度。

（1） 7500

（2） 14400

（3）670

30'

（4）2520 （5）110

15'

例3．（1）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积。

（2）已知扇形周长为4cm，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。

例4．已知一扇形周长为C（C 0），当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大面积。

【巩固练习】

2、若角，则角的终边在第____象限；若，则角的终边在第___象限。 3、将下列各角化成 2k ,(0 2 )，k Z的形式，并指出第几象限角。 （1）

19 3 （2） 3150

（3） 22 23 3 （4） 2

4、圆的半径为10，则2的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________。

5、用弧度制表示下列角终边的集合。

（1）轴线角 （2）角平分线上的角 （3）直线y

x上的角

6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____。 【课堂小结】

1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 2.度与弧度的换算关系，由180°＝πrad进行转化，以后我们一般用弧度为单位度量角. 3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制优点.

2.2.2任意角的三角函数（1）

【学习目标】

6． 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 7． 会用三角函数线表示任意角三角函数的值

8． 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】

任意角的正弦、余弦、正切的定义 【自主学习】

一、复习旧知，导入新课

在初中，我们已经学过锐角三角函数：

角的范围已经推广，那么对任意角 是否也能定义其三角函数呢？

二、建构数学

1．在平面直角坐标系中，设点P是角 终边上任意一点，坐标为P(x,y), 它与原点的距离|OP|

r，一般地，我们规定：

⑴比值___________叫做 的正弦,记作___________,即___________=___________；

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⑵比值___________叫做 的余弦,记作___________,即___________=___________； 【典型例题】

⑶比值___________叫做 的正切,记作___________,即___________=___________.

例1．已知角 的终边经过点P 4, 3 ，求 的正弦、余弦、正切的值。 2.当 =___________________时, 的终边在y轴上,这时点P的横坐标等于____________,所以

_____________无意义.除此之外,对于确定的角 ,上面三个值都是______________.所以, 正弦、余弦、

正切都是以_________为自变量,以__________为函数值的函数,我们将它们统称为 ___________________.

3.由于________________________与________________________之间可以建立一一对应关系,三角函数变题1 已知角 的终边经过点P 4a, 3a a 0 ，求 的正弦、余弦、正切的值。可以看成是自变量为_________________的函数.

4.其中，y sinx和y cosx的定义域分别是________________； 而y tanx的定义域是__________________.

变题2 已知角 的终边经过点P x, 6 ，且cos 5

，求x的值

5．根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。

13

y sin y cos

例2．已知角 的终边在直线y 3x上，求 的正弦、余弦、正切的值 y tan

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例3．确定下列三角函数值的符号：

（1）cos712 （2）sin 465

（3）tan113

（4）sin3 cos4 tan5

例4．若 ABC两内角A、B满足sinA cosB 0，判断三角的形状。

【巩固练习】

1、已知角α的终边过点P（－1,2）,cos 的值为

2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 A．sin B．cos C．tan D． 1

tan

3、填表：

4、已知角 的终边过点P（4a,－3a）（a<0）,则2sin ＋cos 的值是

5、若点P(－3，ｙ)是角 终边上一点，且sin 2

3

，则ｙ的值是

6、 是第二象限角，P（x, 5 ） 为其终边上一点，且cos =2

4

x，则sin 的值为_______

【课堂小结】

【布置作业】

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1．2．1任意角的三角函数（2）

【学习目标】

1、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值

3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】

会用三角函数线表示任意角三角函数的值 【自主学习】 一、复习回顾

1．单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以________为圆心，以_______为半径的圆。 2．有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为___________________；

规定了___________（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。 3．有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l_____________，根据有向线段AB与有向直线l的方向_____________或_____________，分别把它的长度添上______或_______，这样所得的__________叫做有向线段的数量。 4．三角函数线的定义：

设任意角 的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)，

过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与 的终边（当 为第

_______象限角时）或其反向延长线（当 为第______象限角时）相交于点T。根据三角函数

的定义：sin y ________；cos x _______；tan 【典型例题】

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

y

__________。 x

1

3

2 3

562 4 36

例2．利用三角函数线比较大小

1 sin30 ______sin150 : 2 sin25 ______sin150 :

3 cos2 ______cos4 ; 4 tan2 ______tan2

3

5

3

3

例3．解下列三角方程

1 sinx

1

x 1 2 cosx 3 tan

22

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变题1．解下列三角不等式 1 sinx 32 2 cosx 1

2

3 tanx 1

变题2．求函数y lg 2sinx 1 2cosx的定义域.

【巩固练习】

1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线

1 116

2 23

2．利用余弦线比较cos64

,cos285

的大小；

3．若

4

2

，则比较sin 、cos 、tan 的大小；

4．分别根据下列条件，写出角 的取值范围： （1

）cos ； （2）tan 1 ； （3

）sin

5．当角 ， 满足什么条件时，有sin sin

6

．若cos

sin ，写出角 的取值范围。

【课堂小结】

【布置作业】

1.2.2同角三角函数的关系（1）

【学习目标】

1、 掌握同角三角函数的两个基本关系式

2、 能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值 3、 对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角”，学会运用整体观点看待角4、 结合三角函数值的符号问题，求三角函数值

【重点难点】同角三角函数的两个基本关系式和应用

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同角三角函数的两个基本关系式：_______________________________________; _______________________________________.

二、课前预习： （3）tan 1sin2

1（ 是第二象限角） （4） sin 1 sin 1 sin

1、cos

4

1 sin 5

, (0, )，则tan 的值等于

2、化简：cos tan

【典型例题】 例1、 已知sin 1

2

，并且 是第二象限角，求cos ,tan 的值

【课堂练习】

变：已知sin 1

，求cos 1、已知cos

4

2

,tan 的值 5

，求sin 和tan 的值

2、化简sin2 ＋sin2β－sin2 sin2β＋cos2 cos2β．

例2、已知tan 12

5

，求sin ,cos 的值．

3、若 为二象限角，且cos

2

sin

2sin cos ，那么

2222

是第几象限角。 解题回顾与反思：通过以上两个例题，你能简单归纳一下对于sin ,cos 和tan 的“知一求二”问题 的解题方法吗？

例2、化简

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【课堂小结】

1.2.2同角三角函数的关系（2）

【学习目标】

1、 能用同角三角函数关系解决简单的计算、化简与证明 2、 掌握“知一求二”的问题 【重点难点】

奇次式的处理方法和“知一求二”的问题 【自主学习】

一、 复习回顾：

1、 同角三角函数的两个基本关系式：

2、 sin cos ,sin cos ,sin cos 有何关系？（用等式表示）

二、

课前练习

1、已知sin cos

1

3

,则sin cos _________________________ 2、若tan ，则cos sin ．

【典型例题】

例1、 已知tan 3,求下列各式的值

（1）2sin 3cos 2sin2 3cos2 4sin 9cos （2）4sin2 9cos2

（3）2sin2 3cos2

例2、求证：（1）sin 1 cos 1 cos sin （2）tan sin tan sin

tan sin

tan sin

例3、已知0 ,sin cos

1

5

,求tan 的值

例4、若sin k 1k 3,cos k 1

k 3

(k 3), （1）求k的值； （2）求tan 1

tan 1

的值

【课堂练习】

1、已知0 ,sinαcosα = 12

25

,则cosα－sinα的值等于

2、已知 是第三象限角，且sin4

cos4

5

9

，则sin cos

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2、 诱导公式

由三角函数定义可以知道：

3、如果角 满足sin cos 2,那么tan

1

tan

的值是 （1） 终边相同的角的同一三角函数值相等。

公式一（ 2k ）：__________________________________________; __________________________________________; 4、若sin ,cos 是方程4x2 2mx m 0的两根，则m的值为 ___________________________________________.

5、 求证：

1 2sin cos (2)当角 的终边与角 的终边关于x轴对称时， 与 的关系为：__________________ sin2 cos2

tan 1

tan 1

公式二（ ）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

(3)当角 的终边与角 的终边关于y轴对称时， 与 的关系为：__________________ 公式三（ ）：__________________________________________;

__________________________________________; 【课堂小结】 ___________________________________________.

1.2.3三角函数的诱导公式（1）

(4)当角 的终边与角 的终边关于原点对称时， 与 的关系为：_________________ 【学习目标】

公式四（ ）：__________________________________________; 1、 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式 __________________________________________; 2、 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值

___________________________________________. 3、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程

4、 准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值 思考：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？ 口诀：函数名不变，符号看象限

【典型例题】

【重点难点】诱导公式的推导与运用 例1、求下列三角函数值：

【自主学习】

（1）sin

240

； （2）cos 114

； （3）tan 1560 ． 1、 利用单位圆表示任意角 的正弦值和余弦值：P(x,y)为角 的终边与单位圆的交点，则

sin ___________,cos ___________

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2、化简：cos

180 sin 360

例

sin 180 cos 180

例3、判断下列函数的奇偶性：

（1）f x 1 cosx； （2）g x x sinx． （3）f(x) sinx tanx

x

(4)f(x) cosx cosx 1

例4、求证

2sin cos 1tan 5 1

1 2sin2

tan 1．

【课堂练习】

1、 求下列各式的的值

（1）sin(

31 ) （2）cos( 31

) （3）tan( 945046

)

2、 判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x) sinx （2）)f(x) sinxcosx

3、化简：sin(2n 2 3) cos(n 4 3

)

【课堂小结】

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1.2.3三角函数的诱导公式（2）

【学习目标】

1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值

2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程 3、 进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。 口诀：奇变偶不变，符号看象限

【重点难点】诱导公式的推导和应用

【自主学习】

1、复习四组诱导公式：函数名不变，符号看象限

2、已知：tan 3,求2cos( ) 3sin( )

4cos( ) sin(2 )

的值

3、 若角 的终边与角 的终边关于直线y=x对称（如图），

（1） 角 与角 的正弦函数与余弦函数值之间有何关系？ （2） 角 与角 有何关系？

（3） 由（1），（2）你能发现什么结论？

角当角 的终边与角 的终边关于y=x对称时， 与 的关系为：_________________ 公式五（ ）：__________________________________________;

__________________________________________; ___________________________________________. 思考：若角 的终边与角 的终边关于直线y x对称，你能得到什么结论？ 当角 的终边与角 的终边关于y x对称时， 与 的关系为：_________________ 公式六（ ）：__________________________________________;

__________________________________________; ___________________________________________.

思考：这六组公式可以用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？

【典型例题】

例1、 求证：sin 3 cos ，cos 3 2 2

sin ．

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例2、 化简：（1） 2sin2800cos4400

sin2600 cos8000

sin(2 )cos(

7 （2）tan(3 ))

sin( )3

2 )32

)cos(2 )

例3、已知cos

75

13

，且 180 90

，求cos 15 ．

【课堂练习】

1、 求证：cos 3 3 2 sin ，sin 2

cos ．

2、 化简：

1

(1) 2sin200cos160cos700 sin2200

（2）1sin( )cos( )

tan2

( ) tan( )

3、已知cos(750 ) 1

3

， 是第三象限角，求cos(1050 ) sin( 1050)的值

f(x) sin4x cos44、判断函数x 1

33的奇偶性

2 x)2

x)

5、求值：sin2

1

sin2

2

sin2

3

sin2

89

sin2

90

．

【课堂小结】

1.2.3三角函数的诱导公式（3）

【学习目标】

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1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值

2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程 3、 进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。 【重点难点】诱导公式的综合应用

【自主学习】

1、sin2

( ) cos(

)cos( ) 1 ____________

2、若sin(5400 ) 4

5

,则cos(

2700) ____________

3、化简：cos( 4 )cos2( )sin2( 3 )sin( 4 )sin(5 )cos2

( )

＝______ ___．

4、化简：

2sin610 cos430

sin250 cos790

．

【典型例题】 例1、 已知sin x

6 1 5 2

4，求sin 6 x sin 3 x

的值．

例2、 已知A，B，C为 ABC的三个内角，求证：sinB C2 cosA

2

.

例3、 若f(cosx) cos3x,求满足f(sinx) 1时的x的值

例4、已知sin( ) 1，求证：tan(2 ) tan 0.

【课堂练习】

1、若sin( ) 2cos(2 ),求

sin( ) 5cos(2 )

3cos( ) sin( )

的值

2、在 ABC中，若sin(A B C) sin(A B C).试判断 ABC的形状。

3、已知tan ,co t是关于x的方程x2

kx k2

3 0的两实根，cos(3 ) sin( )的值

4、已知 是第三象限角，且f( )

sin( )cos(2 )tan( )

tan( ) sin( )

（1） 化简f( ) （2）若cos(

3 2) 1

5

,求f( )的值 且3

7

2

,求

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（2） 若 1860,求f( )的值

【课堂小结】

3、y Asin( x ) b及y Acos( x ) b（A 0, 0）型的三角函数的周期公式为_______________________。

二、典型例题

例1、若摆钟的高度h（mm）与时间t (s) 之间的函数关示。

（1）求该函数的周期；

（2）求t =10s时摆钟的高度。

例2、求下列函数的周期：

（1）y cos2x （2）y sin

例3、若函数f(x) 2sin( x )，x R（其中 0,| | 求 , 的值。

例4、已知函数y f(x),x R，满足f(x 2) f(x)对一切x R都成立，求证：4是f(x

)的一个

系如图所

1.3.1 三角函数的周期性

【学习目标】

1、 理解三角函数的周期性的概念；

2、 理解三角函数的周期性与函数的奇偶性之间的关系； 3、 会求三角函数的最小正周期，提高观察、抽象的能力。 【重点难点】

函数周期性的概念；三角函数的周期公式 一、预习指导

1、 对于函数f(x)，如果存在一个___________T，使得定义域内___________x的值，都满足_______________，那么函数f(x)叫做___________，T叫做这个函数的_________。 思考：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？

2、 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做（注：今后研究函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期） f(x)的_____________。

思考：是否所有的周期函数都有最小正周期？

11 x （3）y 2sin(x ) 236

2

）的最小正周期是

，且f(0)

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周期。

三、课堂练习

1、 求下列函数的周期：

（1）y 2cos3x （2）y sinx3

2、 若函数f(x) sin(kx

5

)的最小正周期为

2

3

，求正数k的值。

3、若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时函数关系如图所示： (1)求该函数的周期；

(2)求t＝10.5s时弹簧振子对平衡位置的位

四、拓展延伸

1、 已知函数f(x) sin(

kx10

3

)，其中k 0，当自变量x在任何两整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，则最小的正整数k为_______________。

2、已知函数f(x),x N*

，f(1) 1,f(2) 6,f(n 2) f(n 1) f(n)，求f(100)。

【课堂小结】

间t(s)之间的

移。

1.3.2三角函数的图象与性质（1）

【学习目标】

1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象； 2、会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图； 3、借助图象理解并运用正、余弦函数的定义域和值域。 【重点难点】

五点法作正、余弦函数的图象；正、余弦函数的定义域和值域。 一、预习指导

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,

632,…,

11

6

的角及对应的正弦线； 2、 作出y sinx在[0,2 ]区间上的图象：（1）平移正弦线到相应的位置；（2）连线 3、 作出y sinx在R上的图象

（二） 用五点法画出正弦函数在[0,2 ]区间上的简图

（三） 平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象： 思考：1、y sinx,y cosx的图象有什么关系？为什么？

2、由y sinx的图象怎样作出y cosx的图象？请在下图中画出y cosx的图象。

（四）用五点法画出余弦函数在[0,2 ]区间上的简图

（四） 仔细观察正弦曲线和余弦曲线，总结正弦函数与余弦函数的性质： （1）定义域： （2）值域：

对于y sinx：当且仅当x 时， ymax ；

当且仅当x 时，ymin ；

对于y cosx；当且仅当x 时，ymax ；

当且仅当x 时，ymin 。

二、典型例题

例1、 画出下列两组函数的简图：

（1）y cosx,x R ； y 2cosxx, R （2）y sinx,x R ； y sin2xx, R

例2、 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量x的集合： （1）y cosx

3

（2）y 2 sin2x

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例3、

求函数y 的定义域。

例4、 求函数y sin2x 4sinx

7

4

的值域。

三、课堂练习

1、 下列等式有可能成立吗？为什么？

（1）2cosx 3 （2）sin2

x

12

2、 画出下列函数的简图，并比较这些函数与正弦曲线的区别与联系： （1）y sinx 1 （2）y 2sinx

3、 求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量x的集合：

（1）y 2sinx （2）y 2 cosx

3

4、 求下列函数的定义域： （1

）y

（2）已知y f(x)的定义域为[0,1]，求f(sin2

4

x)的定义域。

四、拓展延伸

试作出函数y 【课堂小结】

1.3.2三角函数的图象与性质（2）

【学习目标】

1、 借助正、余弦函数的图像，说出正、余弦函数的图像性质；

2、掌握正、余弦函数的图像性质，并会运用性质解决有关问题；

【重点难点】

正、余弦函数的图像与性质 一、预习指导

正弦函数与余弦函数的性质： （1）定义域： （2）值域：

对于y sinx：当且仅当x 时， ymax ；

当且仅当x 时，ymin ；

对于y cosx；当且仅当x 时，ymax ；

当且仅当x 时，ymin 。

（3）周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，并且周期都是 。（4）奇偶性：

①y sinx(x R) 是 ，其图像关于 对称，

它的对称中心坐标

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是 ，对称轴方程是 ；

例3、 求函数y sin(2x

3

)的单调增区间。

②y cosx(x R) 是 ，其图像关于 对称，它的对称中心坐标

是 ，对称轴方程是 。 （5）单调性：

①y sinx(x R)

在每一个闭区间 上，是单调增函数. 在每一个闭区间 上，是单调减函数.

②y cosx(x R)

在每一个闭区间 上，是单调增函数. 在每一个闭区间 上，是单调减函数. 思考：正、余弦函数的图像的这些性质可以从单位圆中的三角函数线得出吗？

二、典型例题

例5、 判断下列函数的奇偶性： （1）f(x) sin(33

4x

2

)

(2)f(x) lg(sinx

(3)f(x) 1 sinx cosx

1 sinx

,x R.

例6、 比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）sin250

、sin260

（2）cos15 148、cos

9

思考：f(x)y sin( 2x

3

)的单调增区间怎样求呢？

例4、求下列函数的对称轴、对称中心：

（1）y 2sin(x 1

3 3) （2）y 2cos(3x 6

) 1

三、课堂练习

1、判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x) sinx cosx （2

）f(x) sinx)（3）f(x)

1 cos2x sinx

1 sinx

2、下列函数的单调区间： （1）y sin(x

4) （2）y 3cosx

2

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3、函数y sinx(

6

x

2

)的值域为3

1.3.2三角函数的图象与性质（3）

【学习目标】

1、能正确作出正切函数图像； 2、借助图像理解正切函数的性质； 4、比较下列各组中两个三角函数值的大小：

（1）sin14 、sin155 （2）sin194 、cos160

四、拓展延伸

求下列函数的值域：

（1）y sinx sinx （3

）y

【课堂小结】

2）y cos2

x 2sinx 2

【重点难点】

正切函数的图像与性质 三、预习指导

1、利用正切线来画出y tanx(x (

2,

2

))的图像. 2、正切函数的图像：

3、定义域：

；

4、值域：； 5、周期性：；

6、奇偶性：y tanx 是，其图像关于对称，它的对称中心为__________ 7、单调性：正切函数在每一个开区间上是单调增函数。 思考：正切函数在整个定义域内是单调增函数吗？

答：

四、典型例题

例1、求函数y tan(2x

4

)的定义域、周期和单调区间.

（

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