一道初二数学难题

A B E

D C

方法一：

A B E F

D C

题目：

已知：四边形ABCD是正方形 ∠BAE=∠ABE=15° 求证：△EDC是正三角形

做辅助线：

找点F，使得∠FBC=∠FCB=15°连接EF

∵BF=CE，∠EBF=60° ∴△BEF是正三角形 ∴EF=BF

∴△BFC ∽ △EFC ∴∠BCF=∠ECF=15°

∴∠ECD=60° ∴△EDC是正三角形 方法二：

M

A N B E

D C

做辅助线：

以AB为一边做∠MAB， 使∠MAB=60°

过E点做AB垂线，交点是M、N ∵∠MAB=60° ∴AN=1/2AM=1/2AD ∵∠AEN=75°

∠MAE=∠MAE+∠BAE=75° ∴AM=ME=AD ∵ME // AD

∴四边形ADEM是菱形

AD=ED AD=ED=EC=DC EDC是正三角形 ∴ ∴ ∴△方法三：

做辅助线： A M G N B E

D H C

过E点做AB垂线 交点分别是G、H 找到M、N两点

使得∠MEA=∠NEB=15° 假设：GE=a ∵∠GME=30° ∴MG=3a，ME=2a

AB=2AG=2(AM+GM)=2(2+3)a EH=GH-GE=(3+23)a 3DH=3*(2+3)a=(3+23)a EH=3DH EDC是正三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴△

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