二次函数压轴题解题思路

二次函数压轴题解题思路

一、基本知识 1会求解析式

2.会利用函数性质和图像

3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。 二、典型例题： （一）、求解析式

1.（2014莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式； 2.（2012莱芜）顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；

练习：（2014兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）Ay=﹣2（x+1）2+2By=﹣2（x+1）2﹣2Cy=﹣2（x﹣1）2+2Dy=﹣2（x﹣1）2﹣2 （二）、二次函数的相关应用 第一类：面积问题

例题.（2012莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y

轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．） （2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

练习：1.（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.（1）求此抛物线的解析式；（抛物线的解析式为：.）（3）P为此抛物

线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

2.（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点． （1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．）

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

3.（2014兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． k|B|1.c|O|m

第二类：.构造问题 （1）构造线段

（2013莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

（2）构造相似三角形

（2013莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y=．）（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）构造平行四边形

（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式； （2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由； （4）构造等腰三角形

（2013泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

练习：（2014遵义）如图，二次函数的图象与交于（3,0）、(-1,0),与轴交于点.若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随即停止运动.（1）求该二次函数的解析式及点的坐标. （2）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.（3）当，运动到秒时，△沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状,并求出点坐标.

（5）构造直角三角形

22．（2014四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式； （2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？

如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

（6）构造角相等

（2014娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

（7）构造梯形

（2011莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；

(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

练习：（2010临沂）如图：二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

（8）构造菱形

（2013枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明

理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

（9）构造对称点

（2011莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；

(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（10）构造平行线

（2013威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

练习：（2014山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由； （3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由． （11）构造垂直

（2014宜宾市）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0，–1)，与x轴交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状，并说明理由；(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试

判断MC、MD是否垂直，并说明理由． （12）构造圆

(2014年淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB=30°的点P有 无数 个； （2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由． （13）轴对称

（2012浙江丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC． (1)如图1，当点A的横坐标为 时，矩形AOBC是正方形； (2)如图2，当点A的横坐标为时，①求点B的坐标；

②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由． （14）规律

（2014江西抚州，第23题，10分）如图，抛物线()位于轴上方的图象记为1，它与轴交于1、两点，图象2与1关于原点对称，2与轴的另一个交点为2，将1与2同时沿轴向右平移12的长度即可得3与4；再将3与4同时沿轴向右平移12的长度即可得5与6；??按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象1,2,??，n,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.⑴当时，①求图象1的顶点坐标；

②点(2014,－3)不在(填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象n的顶点n的横坐标为201，则图象n对应的解析式为，其自变量的取值范围为.⑵设图象m、m+1的顶点分别为m、m+1(m为正整数),轴上一点Q的坐标为(12,0).试探究：当为何值时，以、m、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.

解析：(1)当时，①，∴F1的顶点是（-1,1)；

②由①知：“波浪抛物线”的值的取值范围是-1≤≤1，∴点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上；

由平移知：F2：F3：，?，∵Fn的顶点横坐标是201，∴Fn的解析式是：，此时图象与轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0),∴200≤≤202.

(2)如下图，取OQ的中点O′,连接TmTm+1,∵四边形OTmQTm+1是矩形，∴TmTm+1=OQ=12,且TmTm+1经过O′,∴OTm+1=6,∵F1：∴Tm+1的纵坐标为，∴()2+12=62,∴=±,已知＜0，∴.∴当时，以以O、Tm、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形.此时m=4.

解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．

∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S

四边形

CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDOC+EFCM+EFBN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．

（2014莱芜）解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．

∴，解得，∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x． （2）存在．

设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入求得k=，∴直线OD解析式为y=x． 设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，﹣x2+x），∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（﹣x2+x）|=|x2﹣4x|．由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．∴|x2﹣4x|=3．若x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x=． ∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或．

（3）∵C（1，3），D（3，1）∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x．

如解答图所示，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．设直线O′C′的解析式为y=3x+b，将C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．∴E（t，0）．联立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，∴P（t，t）．过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t．∴S=S△OFQ﹣S△OEP=OFFQ﹣OEPG=（1+t）（+t）﹣tt=﹣（t﹣1）2+当t=1时，S有最大值为．∴S的最大值为．

（2013莱芜）解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=．

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．

当时，DF的最大值为．此时，即点D的坐标为（）．

（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）． 在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．

②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴，即

m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）． ③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．

若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．

（2012莱芜）解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，代入C（O，3）后，得：a（0﹣2）2﹣1=3，a=1 ∴抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3． （2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；

设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：3k+3=0，k=﹣1 ∴直线BC：y=﹣x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则D（2，1）；∴AD2=2，AC2=10，CD2=8

即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；∴S△ACD=ADCD=××2=2． （3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有： ①∠DFE=90°，即DF∥x轴；将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：x2﹣4x+3=1，解得x=2±；

当x=2+时，y=﹣x+3=1﹣；当x=2﹣时，y=﹣x+3=1+；∴E1（2+，1﹣）、E2（2﹣，1+）．②∠EDF=90°；易知，直线AD：y=x﹣1，联立抛物线的解析式有：x2﹣4x+3=x﹣1，解得x1=1、x2=4；当x=1时，y=﹣x+3=2；当x=4时，y=﹣x+3=﹣1；∴E3（1，2）、E4（4，﹣1）；

综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．

（2011莱芜）解得：∴抛物线的函数表达式为。

（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线，且对称轴是线段OB的垂直平分线，连结AB交直线于点M，即为所求。∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值为。（3）①若OB∥AP，此时点

A与点P关于直线对称，=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为． （3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．

抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴xH=xG=xM=．∴yG=×+=．∴GH=．

∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，

∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG= ==．同理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°， ∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．

∴点M的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．

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