2.5等比数列前n项和 - 图文

回顾旧知1.等比数列{an}的通项公式：an?a1qn?1注意：当q=1时，等比数列{an}为常数列.

2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、迭加和迭乘法、构造法、公式法.

3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法.

新课导入国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？

经过计算，我们得到麦粒总数是

631+2+4+8+…+2= 18446744073709551615（粒）

已知麦子每千粒约为40克，则折合约为

737869762948382064克≈7378.7亿吨.

那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是求等比数列前n项和的问题.

2.5等比数列前n项和

教学目标知识与能力

（1）掌握等比数列前n项和公式.

（2）掌握等比数列前n项和公式的推导过程.（3）会简单运用等比数列的前n项和公式.

过程与方法

（1）通过对等比数列前n项和公式的推导过程,渗透错位相减求和的数学方法.

（2）通过公式的运用体会方程的思想.（3）培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力.

情感态度与价值观

（1）学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强.

（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验.（3）感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美.

教学重难点重点：

难点：等比数列前n项和的公式，有关等比数列问题求解的基本方法.n项和公式的其他形式.

获得递推公式的思路，等比数列

前探讨问题发明者要求的麦粒总数是：S64

2363=1+2+2+2+…+2

①

上式有何特点？

如果①式两端同时乘以2得:2S64=2+22+23+…+263+264

②

比较①、②两式，有什么关系呢？

S64=1+2+22+23+…+2632S64= 2+22+23+…+263+264

①②

两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得：

S64=264-1= 18446744073709551615

设问：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？

例11等比数列{an}的公比q = ，a8=1，求它的

2前8项和S8.解法1：因为a8=a1因此

q7，所以a71a87?7?2q182[1?()]8a1(1?q)82s8???2?1?25511?q1?2解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项

8项，

即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}，其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和

b88s1(1?q)1?28?1?q?1?2?255当作第例2求和

9?99?999???999??????99n 9个9，99，999，??，不是等比数列，不但将它转化为

10－1，100－1，1000－1，??，就可以解决了。

分析：数列能直接用公式求和，

解：

原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+?+(10n－1)

=(10+100+1000+??+10n)－n10(10?1)??n10?1n10n?(10?1)?n9例3已知数列{an}的前五项是

111111,2,3,4,5.392781243（1）写出该数列的一个通项公式；（2）求该数列的前n项和sn分析：此数列的特征是{an?bn}两部分构成，其中

{an}是整数部分，又是等差数列，{bn}是分数部分，

又是等比数列.所以此数列可以转化为等差数列

和等比数列，所以此方法称为“分组法求和”

1解：（1）an?n?n，

（2）

3s13(2?111n?(1?)?32)?(3?33)?...(n?3n)?(1?2?3?...?n)?(13?11132?33?...3n)n(n?1)1?(1?3n?)2?1?3?n(n?1)3n?12?2?n(n?1)?3n?12例4某工厂去年1月份的产值为a元，月平均

增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和。

解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，

3月，4月，??，的产值分别为a(1+p)2

元，a(1+p)3元，??，

所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，

a[1?(1?p)]S12?12答：该工厂去年全年的总产值为

1?(1?p)a[(1?p)12??1]pa[(1?p)12?1]元。

p例51234nSn???????n.求和：

248162分析：

n11??a??n???n设n2n，其中为等差数列，n?n?2?2?1为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.

21两端同乘以，得

211111解：Sn?1??2?2?3?3?4?4???n?n22222，

1111111Sn?1?2?2?3?3?4?4?5???(n?1)?n?n?n?12222222两式相减得于是Sn?2?111111nSn??2?3?4???n?n?1,222222212n?1n?n2.

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