精锐考典 - 第2章 代数与方程(2.1-2.4)

第二章 代数与方程

考情分析

五年考情分析 考查内容 2010年 题号 —— 分值 2011年 题号 —— —— 分值 2012年 题号 1 24(2) 分值 2013年 题号 —— 分值 2014年 题号 17 分值 代数式的有关概念 列代数式和求代数式的值 整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则 —— —— 8 —— —— —— 7 乘法公式及其简单运用 因式分解的意义 因式分解的基本方法 分式的有关概念及基本性质 分式的加、减、乘、除运算法则 整数指数幂的概念和运算 分数指数幂的概念和运算 19 —— 9 47分 —— —— —— —— 8 42分 —— —— 7 —— 8 49分 —— —— 7 44分 9 44分 7 19 —— 19 19 19 19 19 二次根式的有关概念 —— 3 19 —— 4 19 1 19 1 19 二次根式的性质及运算 一元一次方程的解法 二元一次方程和它的解以及一次方程组和它的解的概念 二元一次方程组的解法、三元一次方程组的解法 不等式及其基本性质，一元一次不等式（组）及其解的概念 19 —— —— —— —— —— 2 3 9 www.1smart.org 中小学个性化辅导

1

一元一次不等式（组）的解法，数轴表示不等式（组）的解集 一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 一元二次方程的求根公式 一元二次方程根的判别式 整式方程的概念 含有一个字母系数的一元一次方程与一元二次方程的解法 分式方程、无理方程的概念 分式方程、无理方程的解法 二元二次方程组的解法 列一次方程（组）、一元二次方程、分式方程等解应用题 22(3) 14 22(2) 25(2) 25(3) 10 11 20 —— —— 20 —— 10 20 20 20 —— —— 3 —— 9 —— 11 2 11 —— —— 10 —— —— —— —— —— 8 本表格按照中考试题评分标准将解答题的分值进行拆分，只要解题过程中涉及本模块的说明 内容，表格中均有体现。

考点解读

模块 代数式的有关概念 列代数式和求代数式的值 考点 水平层级 Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅲ Ⅱ Ⅲ Ⅱ Ⅲ 整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则 乘法公式【平方差、两数和（差）的平方公式】及其简单运用 因式分解的意义 方程与代数 因式分解的基本方法【提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法】 分式的有关概念及基本性质 分式的加、减、乘、除运算法则 www.1smart.org 中小学个性化辅导

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整数指数幂的概念和运算 分数指数幂的概念和运算 二次根式的有关概念 二次根式的性质及运算 一元一次方程的解法 二元一次方程和它的解以及一次方程组和它的解的概念 二元一次方程组的解法、三元一次方程组的解法 不等式及其基本性质，一元一次不等式（组）及其解的概念 一元一次不等式（组）的解法，数轴表示不等式（组）的解集 一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 一元二次方程的求根公式 一元二次方程根的判别式 整式方程的概念 含有一个字母系数的一元一次方程与一元二次方程的解法 分式方程、无理方程的概念 分式方程、无理方程的解法 二元二次方程组的解法 列一次方程（组）、一元二次方程、分式方程等解应用题 理解性理解水平（记为Ⅱ） 探究性理解水平(记为Ⅲ) Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅲ Ⅱ Ⅲ Ⅱ Ⅲ Ⅱ Ⅲ Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅲ Ⅲ 备注

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2.1 代数式的有关概念，

列代数式和求代数式的值，整式的加、减、乘、除及乘法的运算法则，

乘法公式及其简单运用

知识梳理

1．用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．

2．用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．

3．由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

4．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

5．由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式，在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．次数最高的项的次数就是这个多项式的次数．

2a与﹣1三项的和，代数式中次数最高的项是a2，所以这个多项式例如：多项式a2?2a?1是单项式a2、的次数是2．

6．单项式、多项式统称为整式．

7．所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．

8．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式．

9．合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．

10．a?），其中a表示底数，正整数a表示指数，a的n次乘方a?a???a可以写成an（读作“a的n次方”的结果叫做a的n次幂．

11．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．am?an?am?n（m、n都是正整数）．同底数幂相除，底数不变，指数相减am?an?am?n（m、n是正整数且m＞n，a≠0）．任何不等于零的数的零次幂为1，即a0?1（a≠0）． 12．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n?amn．（m、n都是正整数）

13．积的乘方等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)n?anbn．（n为正整数） 14．单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．

15．单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．

16．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 17．两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

18．多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加． 【总结】理解代数式中字母表示数以及单项式多项式的相关概念； 注意单项式与多项式乘法的基本步骤． 4 www.1smart.org 中小学个性化辅导

例题精讲

【题型一·代数式的概念】

2a【例1】（杨浦2014一模2）下列式子：①a?b?c ②52 ③a?0 ④a，其中属于代数式的是

（ ）

B．②④；

C．①③④；

D．①②③④．

A．①③；

【参考答案】B．

【例2】（浦东2014二模1）下列代数式中，属于单项式的是（ ）

A．a?1；

B．2a； C．

2； a D．

a． 2【参考答案】D．

【例3】（闵行2014二模1）如果单项式?xa?1y3与

A．a?1，b?3； C．a?2，b?3； 【参考答案】A．

2【参考答案】(?a?)；

12bxy是同类项，那么a、b的值分别为（ ） 2B．a?1，b?2； D．a?2，b?2．

【例4】（杨浦2011二模7）用代数式表示“a的相反数与b的倒数的和的平方”： ．

1b【例5】（徐汇2012二模3）如果a?2b?3，那么6?2a?4b的值是( ) ．

A． 3；

B． 2； C． 1； D． 0．

【参考答案】D 【例 6】（浦东2014二模4）某粮食公司2013年生产大米总量为a万吨，比2012年大米生产总量增加了10%，

那么2012

年大米生产总量为（ ）

a 万吨； A．a?1?10%?万吨； B．

?1?10%?C．a?1?10%?万吨；

【参考答案】B．

D．

a万吨．

?1?10%?【题型二·整式的乘法】

【例1】（宝山2014一模1）下列各式中，正确的是（ ）

A．a4?a2?a8; B．a4?a2?a6; C．a4?a2?a16; D．a4?a2?a2． 【参考答案】B．

【例2】（徐汇2014二模1）下列运算正确的是（ ）

623A．a2?a3?a6； B．a?a?a；

C．a2??3?a6； D．a6?a2?a4．

【参考答案】C；

2（?x3）【例3】（长宁2014二模2）化简的结果是（ ）

A．x5； B．x6； C．?x5； D．?x6．

【参考答案】B．

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5

过关演练

2（?x3）1．（长宁2014二模2）化简的结果是（ ）

A．x5；

B．x6； C．?x5； D．?x6．

2．（宝山2014一模7）计算(a?1)(a?1)的结果是 ． 3．（徐汇2012二模3）如果a?2b?3，那么6?2a?4b的值是( ) ．

A． 3； B． 2；

C． 1； 4．（闸北2014二模8）计算：x4n?xn? ．

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6

D． 0．

2.2 因式分解的意义，因式分解的基本方法

知识梳理

1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即(a?b)(a?b)?a2?b2． 2．完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即：

(a?b)2?a2?2ab?b2，(a?b)2?a2?2ab?b2．

3．平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式．

4．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 5．一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．

6．如果一个多项式各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式．这种分解因式的方法叫做提取公因式法．

7．提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．

8．逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法，由平方差公式反过来可得

a2?b2=(a?b)(a?b)．这个公式叫做因式分解的平方差公式．同理由乘法公式中的完全平方公式反过来

可得a2?2ab?b2=(a?b)2，a2?2ab?b2=(a?b)2．这两个公式叫做因式分解的完全平方公式． 9．由多项式与多项式相乘的法则，可知(x?a)(x?b)?x2?(a?b)x?ab．反过来可得如果二次三项式x2?px?q中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)．

而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2?px?q就可以进行如下的因式分解，即

x2?px?q?x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)．

10．利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．

11．利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法． 【总结】注意理解因式分解的意义； 注意因式分解四种方法的灵活运用，特别是十字相乘法的基本步骤需要理解．

例题精讲

【题型三·因式分解的概念】

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7

【例1】（静安2013二模1）下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（ ）

A．x2?2?(x?2)(x?2)； B．(x?2)(x?2)?x2?2；

C．x?4?(x?2)(x?2)； D．(x?2)(x?2)?x?4．

【参考答案】A．

【题型四·因式分解】

【例1】普陀2014二模8）分解因式：2a?8a? ． 【参考答案】2?a?2??a?2? .

【例2】（虹口2014二模8）分解因式：x2?4(x?1)? ． 【参考答案】(x?2)2 ．

【例3】（长宁2014二模8）分解因式：x2y2?9? ． 【参考答案】?xy?3??xy?3?．

【例4】（静安、青浦、崇明2014二模8）分解因式：x2?2x?1? ． 【参考答案】(x?1?2)(x?1?2)．

3过关演练

1．（黄浦2013二模8）分解因式：x?x?x?1? ． 2．（普陀2013二模9）分解因式：27x?18x?3? ．

232

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2.3分式的有关概念及其基本性质，分式的加、减、乘、除法则，

整数指数幂，分数指数幂

知识梳理 1．两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为的分子，B叫做分式的分母．

2．分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，即

AA．如果B中含有字母，那么叫做分式，A叫做分式BBAA?MA?N，其=?BB?MB?N中M、N为整式，且B≠0，M≠0，N≠0．

3.把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分．如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式．

4．化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数、相同因式的最低次幂．如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分．化简分式时要将分式化成最简分式或整式． 5．两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母．分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用式子表示为：

ACACACADAD,????． ??BDBDBDBCBC6．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．

7．异分母分式相加减，先将它们化为相同分母的分式，然后进行加减．将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分．

mmm8．整数指数幂：aman=am?n（m、n为整数，a≠0）；(ab)=abm（m、n为整数，a≠0，b≠0）；(amn)=na（m、n为整数，a≠0）．

9．分数指数幂：a=a（a≥0），nmmn1nam=a?mn（a＞0），其中m、n为正整数，n＞1．整数指数幂和分数

ap?aq=ap?q，指数幂统称为有理数指数幂．有理数指数幂的运算性质：设a＞0，b＞0，p、q为有理数，那么（1） a?a=apqp?qapap，（2）(a)=a，（3）(ab)=ab，()=p．

bbpqpqppp 【总结】理解分式的运算与分数运算的异同，注意分式运算中分式基本性质的运用； 有理数指数幂的运算公式要加强熟练运用，特别是同底数幂的运算．

例题精讲

【题型五·分式的概念与计算】

【例1】（杨浦2013二模1）下列式子属于分式的是（ ）

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A．x2； B．2x； C．2x； D．． x211?2? ． x?1x?x【参考答案】 A 【例2】计算：【参考答案】

1． x【例3】（宝山2014一模19）化简并求值：(【参考答案】解：原式?112，其中x?2cos45??tan45?． ?)?2x?2xx?4x??x?2?x?x?2???x?2??x?2?

2 ?x?2． x 将x?2cos45??tan45??2?1代入， 原式?2?1?3?22． 2?1【例4】（徐汇2014二模20）（本题满分10分） 先化简，再求值：?1?【参考答案】

??1??x??x????，其中x?3.

x?1?x2?1??x2?1?1x?x?1??x?原式＝2 2分

x?1x?1

x2x?1 ＝2 2分 ?x?1x2x2x?1?2 ＝

(x?1)(x?1)x ＝

1 3分 x?1113?11??， 3分 x?12x?13?1将x?3代入【例5】（普陀2014二模20）（本题满分10分）

?x?3?x?2??2x?x??3x??先化简分式：?，再从不等式组的解集中取一个合适的整数代入，求原??24x?2?5x?1?x?1x?1?x??分式的值.

【参考答案】

解：(3xxx ?)?2x?1x?1x?13xx(x?1)(x?1) 1分 =(?)?x?1x?1x10

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=3(x?1)?(x?1) 2分 =2x?4. 1分 ?x?3(x?2)…2,(1) ?

4x?2?5x?1， (2)?由(1)得 x?2， 2分 由(2)得 x??3， 2分 ∴不等式的解集是 ?3?x?2，

符合不等式解集的整数是,-2，-1，0，1，2.

当x?2时，原式=8. 2分 （备注：代正确都得分）

过关演练 1．计算：

11?2? ． x?1x?x2．（徐汇2014二模1）下列运算正确的是（ ）

623A．a2?a3?a6； B．a?a?a；

C．a2

??3?a6； D．a6?a2?a4．

123x?2?)?2，其中x?2?3． x?2x?2x?2x3．（闵行2013二模19）先化简，再求值：(

4．（静安2013二模19）化简：(1?

1?11)?(?x)?1，并求当x?3?2时的值． 2xxwww.1smart.org 中小学个性化辅导

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2.4二次根式的有关概念，二次根式的性质及运算

知识梳理 1．代数式a（a≥0）叫做二次根式．读作“根号a”，其中a是被开方数．

2．性质1

．性质2 (a)2=a （a≥0）；(a)=2a2=a （a≥0）

,0)?a(a??a0(??,0)a???a(a?.0)?性质3 ab=a?b（a≥0，b≥0）．性质4

aa=（a≥0，b＞0）． bb3．被开方数中个因式的指数都为1，且不含分母的二次根式叫做最简二次根式．

4．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 5．两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变． 6．把分母中的根号化去，叫做分母有理化．两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式． 【总结】注意二次根式存在的意义，一般作为隐含条件； 二次根式的化简及除法与分母有理化的过程要注意区分； 二次根式的运算的结果需要化为最简二次根式．

例题精讲

【题型六·二次根式定义】

【例1】（浦东2013二模2）如果?1?2a?2?2a?1，那么（ ）

C．a?1； 2【参考答案】D．

A．a? B．a?1； 21； 2

D．a?1． 2【例2】（静安、青浦、崇明2014二模9）如果二次根式3?2x有意义，那么x的取值范围是 ． 【参考答案】x?

3． 2【题型七·同类二次根式】

【例1】（黄浦2013二模2）下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ） A．4；

B．6；

C．8；

D．10．

【参考答案】C．

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【例2】（闸北2014二模3）在下列二次根式中，与a是同类二次根式的是（ ） A．2a； B．3a2； C．a3； D．a4． 【参考答案】C．

【题型八·化简二次根式】

【例1】（奉贤2013二模2）下列二次根式中最简二次根式是（ ） A．a2?1； B．

a2 ； C．ab； D．9a． b【参考答案】A．

【例2】（长宁2014二模3）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）

A．x2?3； B．【参考答案】A．

x?y； C．3a2b； D．9x x【题型九·二次根式计算】

【例1】（闵行2013二模2）下列运算一定正确的是（ ）

A．2?3?5； B．42?32?1；

C．(?a)2?a； D．?4a3??2a?a．

【参考答案】D．

【例2】（杨浦区2011二模19）（本题满分10分） （1）计算：9a?4b?a?b； 4（2）若a?2?12?1，求（1）中代数式的值． ,b?2?12?11a?b 3分 2【参考答案】（1）原式=3a?2b? =5a?3b 2分 2（2）∵a?2?12?1?(2?1)2，b??(2?1)2 1分，1分 2?12?12 ∴a?(2?1)? ∴原式=

2?1，b?(2?1)2?2?1 1分，1分

555(2?1)?3(2?1)?2??32?3 2221112? 1分 =22

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过关演练

1．（静安、青浦、崇明2014二模1）当a??2时，(a?2)2等于 ( )

A．a?2； B．a?2； C．2?a； D．?a?2．

2．（奉贤2014二模2）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）

A．28； B．a2?b2； C．

a； D．0.4． b3．（金山2013二模1）下列各数中，与2是同类二次根式的是( )

A．6； B．2a(a＞0) ； C．

13； D．． 22

4．（长宁2013二模3）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）

A．4； B．6； C．8； D．12．

5．（杨浦2014三模7）计算：12?27= ．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v9k6.html