数一真题(2003-2011)

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分.)

1、 曲线y?x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的拐点是（ ） A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0） 2、设数列?an?单调减少，且liman?0。Sn?n??234?ai?1ni无界，则幂级数

?an?1?n的收敛域为(x?1)n（ ）

A （?11] B [?11) C [02) D (02]

3、 设函数f(x)具有二阶连续的导数，且f(x)?0.f?(0)?0。则函数z?lnf(x)f(y)在点

(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）

A f(0)?1C f(0)?1?f??(0)?0 B f(0)?1f??(0)?0 D f(0)?1?0f??(0)?0 f??(0)?0

JK的大小关系

?04、设I??40lnsinxdx J??4lncotxdx K??4lncosxdx，则 I是（ ）

A I?J?K B I?K?J C J?I?K D K?J?I

5、设A为3阶矩阵，把A的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B的第二行与第3行得到单

?100??100?????位阵E，记P1??110?，P2??001?，则A=（ ）

?001??010?????A P1P2 B P2P1 D P1P2 C P2P1 6、设A?(?1?2?1?1?3?4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)T是Ax?0的一个基础

*解系，则Ax?0的基础解系可为（ ）

1

A

?1?3 B ?1?2 C ?1?2?3 D ?2?3?4

F2(x)为两个分布函数，且连续函数f1(x)7、设F1(x)f2(x)为相应的概率密度，则必为概

率密度的是（ ）

A f1(x)f2(x) B 2f2(x)F1(x) C f1(x)F2(x) D f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) 8、设随机变量X,Y相互独立，且EX,EY都存在，记U?max?X,Y?V?min?X,Y?，则

EUV?（ ）

A EU?EV B EX?EY C EU?EY D EX?EV

二、填空题：9—14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上。 9、曲线y??x0tantdt(0?x?x?4)的弧长为_____________

10、微分方程y??y?ecosx满足条件y(0)?0的解为________________ 11、设函数F(x,y)??2xy0?2Fsintdt，则2|x?0?______________ 1?t2?xy?2212、设L是柱面方程x?y?1与平面z?x?y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针

方向，则曲线积分

?Ly2xzdx?xdy?dz?_________

22222213、若二次曲面的方程x?3y?z?2axy?2xz?2yz?4，经正交变换化为y1?y2?4，则a?_______

__ 14、设二维随机变量(X,Y)~N(?,?,?,?,0)，则E(XY)?__________

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

222ln(1?x)ex?1) 15、（本题满分10分） 求极限lim(x?0x

2

1

16、（本题满分9分）

设函数z?f(xy,yg(x))，其中f具有二阶连续的偏导数，函数g(x)可导且在x?1处取得极值

?2z|x?1 g(1)?1.求

?x?yy?117、（本题满分10分）

求方程karctanx?x?0的不同实根的个数，其中k为参数。 18、（本题满分10分） ①证明：对任意的正整数n，都有②设an?1?111?ln(1?)?成立； n?1nn11?............??lnn(n?1,2......)，证明数列?an?收敛. 2n

19、（本题满分11分）

已知函数f(x,y)具有二阶连续的偏导数，且f(1,y)?f(x,1)?0,??f(x,y)dxdy?a，其中

D??(x,y)dxdy D??(x,y)|0?x?1,0?y?1?计算二重积分??xyfxyD 20、（本题满分11分）

?2?(0,1,1)，设向量组?1?(1,0,1)，?3?(1,3,5)T不能由向量组?1?(1,1,1)，?2?(1,2,3)，?3?(3,4,a)T线性表示；

（1） 求a的值；

（2） 将?1,?2,?3用?1,?2,?3线性表示；

3

TTTT

21、（本题满分11分）

?11???11?????A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A?00???00?

?-11??11?????求（1）A的特征值与特征向量 （2） 矩阵A

22、（本题满分11分）

设随机变量X与Y的概率分布分别为 X 0 1 P Y -1 13 23 0 1 P 且PX13 13 13 ?2?Y2?1

?求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布； （2）Z?XY的概率分布

（3） X与Y的相关系数?XY

23、（本题满分11分）

?设X1,X2?Xn是来自正态总体N(?0,?2)的简单随机样本，其中?0已知，

为样本均值和样本方差.

求（1）求参数?的最大似然估计?22?0未知.X,S2?2

(2) 计算E?

?2和D??2

4

2010年全国硕士研究生入学统一考试数一试题

一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）

??x2（1）极限lim???（ ） x??(x?a)(x?b)??x（A）1 （B）e （C） ea?b （D）eb?a

yz??0。（2）设函数z?z(x,y)由方程F(,)?0确定，其中F为可微函数，且F2xx则x?z?z?y?（ ） ?x?y（A）x （B）z （C）?x （D）?z （3）设m、n为正整数，则反常积分?1m0ln2(1?x)nxdx的收敛性（ ）

（A）仅与m有关 （B）仅与n有关 （C）与 m、n都有关 （D）与 m、n都无关

（4）lim??n??i?1nn?（ ） 22(n?i)(n?j)j?1x01111 （B）dydx?0?0(1?x)(1?y)dy (1?x)(1?y2)1111dy （D）?dx?dy 200(1?x)(1?y)(1?x)(1?y)n（A）?dx?01（C）?dx?01x0（5）设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，且AB?E，其中E为m阶单位矩阵，

则（ ）

（A）R(A)?R(B)?m （B）R(A)?m，R(B)?n （C）R(A)?n，R(B)?m （D）R(A)?R(B)?n

)?3，（6）设A是4阶实对称矩阵，且A2?A?O，若R(A则A相似于（ ）

5

?1??1??1???????1?11? （C）?? （D）? （B）?（A）????????1?11??????000????????1????1?????1??0????0,x?0?1?1（7）设随机变量X的分布函数为F(x)??,0?x?，则

2?21??x1?e,x???2P{X?1}?（ ）

（A）0 （B）

11 （C）?e?1 （D）1?e?1 22（8）设f1(x)为标准正态分布的概率密度函数，f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率

??af1(x),x?0密度函数，若f(x)??（a?0，b?0），则a，b满足（ ）

??bf2(x),x?0（A）2a?3b?4 （B）3a?2b?4 （C）a?b?1 （D）a?b?2

二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）

?x?e?td2y?（9）设?，则2t2dxy??ln(1?u)du?0??

t?0（10）??20xcosxdx?

（11）已知曲线L的方程为y?1?x（?1?x?1），起点为(?1,0)，终点为(1,0)，则?xydx?x2dy? L（12）设??{(x,y,z)x2?y2?z?1}，则?的形心坐标z? 6

?1??2??1???????112（13）若?1???，?2???，?3???，若由?1,?2,?3形成的向量组的秩为2，

?0??1???1???????2???a??0?则

a? （14）设随机变量X的分布为P{X?k}?C（k?0,1,2,...），则EX2? k!三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

（15）（本题满分10分）

求微分方程y???3y??2y?2xex的通解。 （16）（本题满分10分） 求f(x)??x21(x2?t)e?tdt的单调区间与极值。

n12（17）（本题满分10分）

（I）比较?lnt?ln(1?t)?dt与?tnlntdt（n?1,2,3,...）；

001（II）记un??lnt?ln(1?t)?dt（n?1,2,3,...），求limun。

0n??1n（18）（本题满分10分）

(?1)n?12n求幂级数?x的收敛域与和函数。

2n?1n?1?（19）（本题满分10分）

设P为椭球面?1:x2?y2?z2?yz?1上的动点，若?1在点P处的切平面与xoy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分I????(x?3)y?2z4?y?z?4yz22dS，其中?是椭

球面?1位于曲线C上方的部分。 （20）（本题满分11分）

7

11????a??，??，已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解。 设A??0??10b????1??1?1?1??????（I）求?，a； （II）求Ax?b的通解。 （21）（本题满分11分） 设二次型f(x1,x2,x3)?XTAX在正交变换X?QY下的标准型为y12?y22，且

Q的第三列为(22T,0,)。 22（I）求A； （II）证明A?E为正定矩阵。

（22）（本题满分11分） 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

f(x,y)?Ae?2x求A及fYX(yx)。

2?2xy?y2，???x???，???y???。

（23）（本题满分11分）

23??1设总体的分布律为X~?，其中??(0,1)为未知参数，以Ni表22??1???????示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i（i?1,2,3）的个数，求常数a1,a2,a3，使T??aiNi为?的无偏估计量。

i?13

8

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?等价无穷小，则（ ）

11a?1,b??a?1,b?. . AB????6611?C?a??1,b??6. ?D?a??1,b?6.

（2）如图，正方形

??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为

??ycosxdxdy，

Dk y 1 四个区域Dk?k?1,2,3,4?，Ik?则max?Ik??（ ）

1?k?4D1 ?A?I1.

?B?I2. ?C?I3.

-1 ?D?I4. D2 D3 -1 D4 1 x

（3）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：

f(x)O 0 -1 x-2 1 2 3 x

则函数F?x???f?t?dt的图形为（ ）

0 9

f(x)1 0 -1 f(x)1 -2 1 2 3 x

?B?.

-2 -1 0 1 2 3 x

?A?.

f(x)1 0 f(x)1 -1 1 2 3 x

-2 0 -1 1 2 3 x

?C?.

n???D?.

（4）设有两个数列?an?,?bn?，若liman?0，则（ ）

?A?当?bn收敛时，?anbn收敛.

n?1n?1???

?B?当?bn发散时，?anbn发散.

n?1n?1??? ?C?当

?bn?1?n收敛时，

?abn?122nn收敛.

?D?当?bnn?1发散时，

?abn?1?22nn发散.

（5）设?1,?2,?3是3维向量空间R的一组基，则由基?1,?2,?3到基

3

1213?1??2,?2??3,?3??1的过渡矩阵为（ ）

?101?

?

220?A????. ?033???

?120?

??

?B??023?.

?103???

10

?1?2?1??C???2?1???214141?41???6?1?. 6??1??6?

?1?2?1?D???4?1????6?1214161?2??1??. 4??1??6?（6）设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A?2,B?3，则分块矩阵

?OA???的伴随矩阵为（ ） BO???O3B*??A??*?.

O??2A?O3A*??C??*?.

O??2B

?OB???*?3A?O?D??*?3B2B*??. O?2A*??. O??x?1??，其中??x?为标准正态分?2?

（7）设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7??布函数，则EX?（ ） ?A?0.

?B?0.3. ?C?0.7.

?D?1.

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N?0,1?，Y的概率分布为

P?Y?0??P?Y?1??间断点个数为（ ）

1，记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数，则函数FZ?z?的2

?A?0.

?B?1. ?C?2. ?D?3.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

?2z（9）设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数，z?f?x,xy?，则? 。

?x?y（10）若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e，则非齐次

x方程y???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为 。

11

（11）已知曲线L:y?x（12）设??22??x,y,z?x?0?x?2?，则?xds? 。

?y?z?1，则???z2dxdydz? 。

?T22?L（13）若3维列向量?,?满足?T??2，其中?为?的转置，则矩阵??T的非零特征值

为 。

(14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本，X和S分别为样本均值

222和样本方差。若X?kS为np的无偏估计量，则k? 。

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22（15）（本题满分9分）求二元函数f(x,y)?x2?y?ylny的极值。

??（16）（本题满分9分）设an为曲线y?xn与y?x??n?1n?1n?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积，记

S1??an,S2??a2n?1，求S1与S2的值。

x2y2??1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点?4,0?（17）（本题满分11分）椭球面S1是椭圆43x2y2??1相切的直线绕x轴旋转而成。 且与椭圆43（Ⅰ）求S1及S2的方程

（Ⅱ）求S1与S2之间的立体体积。 （18）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在(a,b)可导，则存在???a,b?，

使得f?b??f?a??f?????b?a?

f??x??A，（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且lim则f???0??x?0存在，且f???0??A。

（19）（本题满分10分）计算曲面积分I?????xdydz?ydzdx?zdxdy?x12

2?y2?z322，其中

??是曲面

2x2?2y2?z2?4的外侧。

（20）（本题满分11分）

?1?1?1???1?????1? ?1??1? 设A???11?0?4?2???2?????①求满足A?2??1的?2. A2?3??1的所有向量?2,?3. ②对①中的任意向量?2,?3证明?1,?2,?3无关。

222（21）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3

（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；

22（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1?y2，求a的值。

（22）（本题满分11分）

袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 （Ⅰ）求pX?1Z?0；

（Ⅱ）求二维随机变量?X,Y?概率分布。 （23）（本题满分11 分）

????2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??，其中参数?(??0)未知，X1，X2,?Xn是

?0,其他来自总体X的简单随机样本

(Ⅰ)求参数?的矩估计量； （Ⅱ）求参数?的最大似然估计量

13

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数f(x)??x20ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数（ ）

?A?0.

?B?1. ?C?2.

?D?3.

（2）函数f(x,y)?arctanx在点(0,1)处的梯度等于（ ） y

?A?i.

?B? ?i. ?C? j. ?D? ?j.

（3）在下列微分方程中，从y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解

的是（ ）

?A?y????y???4y??4y?0.

?B?y????y???4y??4y?0. ?D?y????y???4y??4y?0.

?C?y????y???4y??4y?0.

（4）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）

?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛.

?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.

3

?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.

（5）设A为n阶非零矩阵E为n阶单位矩阵若A?0，则（ ）

?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.

?B?E?A不可逆，E?A可逆.

?D?E?A可逆，E?A不可逆.

?x???（6）设A为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(x,y,z)A?y??1在正交变换下的标准方程的图

?z???形如图，则A的正特征值个数（ ）

14

?A?0.

?B?1. ?D?3.

?C?2.

（7）随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?X?，则Z?m ax?X,Y?分布函数为（ ）

?A? F2?X?.

2

?B? F?X?F?Y?.

?C? 1???1?F?X???. ?D? ??1?F?X?????1?F?Y???.

（8）随机变量X?N?0,1?，Y?N?1,4?且相关系数?XY?1，则（ ）

?A? P?Y??2X?1??1.

?B?P?Y?2X?1??1. ?D?P?Y?2X?1??1.

?C?P?Y??2X?1??1.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????. （10）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. （11）已知幂级数

?an?x?2?在x?0处收敛，在x??4处发散，则幂级数?an?x?3?的

n?0n?0?n?n收敛域为?????????????????. （12）设曲面?是z?4?x2?y2的上侧，则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.

?（13）设A为2阶矩阵，a1,a2为线性无关的2维列向量，Aa1?0,Aa2?2a1?a2，则A的非零特征值为?????????????????.

2（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX?EX??????????????????.

??三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分）

sinx?sin?sinx??sinx???求极限lim. 4x?0x

15

(16)（本题满分12分） 计算曲线积分的一段.

(17)（本题满分12分）

?sin2xdx?2?xL2?1?ydy，其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点??,0??x2?y2?2z2?0已知曲线C:?，求C点距离XOY面最远点和最近的点.

?x?y?3z?5(18)（本题满分12分） 函数连续，(19)（本题满分12分）

f?x?F?x???f?t?dt0x，证明

F?x?可导，且

F??x??f?x?.

f?x??1?x2，用余弦级数展开，并求

?n?1???1?n2n?1的和

(20)（本题满分9分）

A???T???T，?T为?的转置，?T为?的转置

（1）证r(A)?2；（2）若?,?线性相关，则r(A)?2. （21）（本题满分9分）

?2a1??2?a2a??A?????1???T2X?x,?,xa2a????n?n，现矩阵A满足方程AX?B，其中1n设矩阵，

B??1,0,?,0?（1）求证

，

A??n?1?an（2）a为何值，方程组有唯一解，求

x1

（3）a为何值，方程组有无穷多解，求通解 （22）（本题满分9分）

设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?，概率密度为3?10?y?1，记Z?X?Y fY?y????0其它

16

（1）求P?Z???1?X?0? 2?（2）求Z的概率密度． （23）（本题满分9分）

1nx1,x2,?,xn是总体为N(?,?)的简单随机样本.记x??xi，

2S2?1nn?1?(xi?x)2，T?x2?1S2i?1n（1）证 T是?2的无偏估计量. （2）当??0,??1时 ，求DT.

ni?117

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0时，与x等价的无穷小量是 （A）1?ex? （B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ] 1?x（2）曲线y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （3）如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)?论正确的是：

?x0f(t)dt，则下列结

（A）F(3)??

35F(?2) (B) F(3)?F(2) 4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ]

44（4）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：

f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 .

x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) （C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0.

x?0x?0xx （A）若lim [ ]

18

（5）设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：

(A) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散

(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. [ ] （6）设曲线L:f(x,y)?1（f(x,y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限

内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 （A）（C）

??Tf(x,y)dx. （B）?f(x,y)dy

TTf(x,y)ds. （D）?fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. [ ]

T（7）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是

(A) ?1??2,?2??3,?3??1

(B) ?1??2,?2??3,?3??1

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ]

?2?1?1??100?????（8）设矩阵A???12?1?,B??010?，则A与B

??1?12??000?????(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.

(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0?p?1)，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为

（A）3p(1?p). （B）6p(1?p).

（C）3p(1?p). （D）6p(1?p) [ ] （10）设随机变量?X,Y?服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y?y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y)为 (A) fX(x). (B) fY(y).

222222 19

(C) fX(x)fY(y). (D)

fX(x)

. [ ] fY(y)

二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）

?2111exdx? =__________. 2x?z? __________. ?x（12） 设f(u,v)是二元可微函数，z?f(xy,yx)，则

2x（13） 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e的通解为y?________. （14） 设曲面?:|x|?|y|?|z|?1，则

????x?|y|?dS?

??0?0（15）设矩阵A???0??0100??010?3

，则A的秩为 . 001??000?1的概率为 . 2（16）在区间?0,1?中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于

三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分11分)

求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?小值. （18）（本题满分10分） 计算曲面积分 I???x,y?|x2?y2?4,y?0?上的最大值和最

??xzdydz?2yzdzdx?3xydxdy，

?y2(0?z?1) 的上侧. 其中?为曲面z?1?x?42（19） (本题满分11分)

设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，

f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).

（20） (本题满分10分)

20

设幂级数

?axnn?0?n在(??,??)内收敛，其和函数y(x)满足

y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.

（Ⅰ）证明：an?2?2an,n?1,2?； n?1（II）求y(x)的表达式.

（21） (本题满分11分)

?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有

?2?x1?4x2?ax3?0公共解.

（22） (本题满分11分)

设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量，记B?A?4A?E，其中E为3阶单位矩阵. （I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.

（23） (本题满分11分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

53 f(x,y)??（I）求P?X?2Y?；

?2?x?y,0?x?1,0?y?1.

其他?0,(II) 求Z?X?Y的概率密度.

21

（24） (本题满分11分)

设总体X的概率密度为

?10?x???2?,??1f(x)??,??x?1

?2(1??)?0,其他??(X1,X2,?,Xn) 为来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.

??（I）求参数的矩估计量?；

（II）判断4X是否为?的无偏估计量，并说明理由.

22

22

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

xln(1?x)?

x?01?cosxy(1?x)（2）微分方程y??的通解是 x（1）lim（3）设?是锥面z?x2?y2(0?z?1)的下侧，则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?

?（4）点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离d?

（5）设矩阵A???21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则 B?

??12?（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则Pmax?X,Y??1? -------

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，

???y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则

(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.

(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .

?（8）设f(x,y)为连续函数，则

221?x2?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于

01（Ａ）

?0dx?22xf(x,y)dy. （B）?220dx?1?x20f(x,y)dy.

(C)

?0dy?1?y2yf(x,y)dx. (D) ?220dy?1?y20f(x,y)dx .

（9）若级数

?an?1?n收敛，则级数

23

(A)

?an?1?n收敛 . （B）

?(?1)n?1??nan收敛.

(C)

?anan?1收敛. (D) ?n?1?an?an?1收敛. 2n?1（10）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （11）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是

(A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.

(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. （12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得

?110???C，记P??010?，则

?001???（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP. （Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. （13）设A,B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1，则必有

TT?1?1 24

(A) P(A?B)?P(A) (B) P(A?B)?P(B)

(C) P(A?B)?P(A) (D) P(A?B)?P(B)

2（14）设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，Y服从正态分布N(?2,?2)，且

PX??1?1?PY??2?1 则必有

(A) ?1??2 (B) ?1??2

(C) ?1??2 (D) ?1??2 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

设区域D?(x,y)x?y?1,x?0， 计算二重积分I=（16）（本题满分12分）

设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?) （Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n???????22?1?xydxdy. 22??1?x?yD1?xn?1?xn2（Ⅱ）计算lim??. n???xn?（17）（本题满分12分） 将函数f(x)?x展成x的幂级数. 22?x?x（18）（本题满分12分）

设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?x2?y2满足等式

??2z?2z??0. ?x2?y2（I）验证f??(u)?f?(u)?0； u（II）若f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式.

25

（19）（本题满分12分）

设在上半平面D??(x,y)|y?0?内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t?0都有

f(tx,ty)?t?2f(x,y). 证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

??yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.

L（20）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组

?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1 ?ax?x?3x?bx?134?12有3个线性无关的解.

（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2； （Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解. （21）（本题满分9分）

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.

(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QAQ??. （22）（本题满分9分）

设随机变量X的概率密度为

TTT?1?2,?1?x?0??1fX?x???,0?x?2，

?4?0,　其他??令Y?X,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数.

2(Ⅰ) 求Y的概率密度fY?y?

26

(Ⅱ) F???1?,4?. ?2?（23）（本题满分9分）

设总体X的概率密度为

0?x?1,??,?f?x;????1??,1?x?2,

?0,其他,?其中?是未知参数?0???1?，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值

x1,x2...,xn中小于1的个数，求?的最大似然估计.

27

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

x2（1）曲线y? 的斜渐近线方程为

2x?1（2）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??1的解为 9(1,2,3)??ux2y2z21??{1,1,1}，则（3）设函数u(x,y,z)?1?，单位向量n??n612183（4）设?是由锥面z?个边界的外侧，则

= .

x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?的整

??xdydz?ydzdx?zdxdy?

?（5）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵

A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B?

（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则

P{Y?2}=

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有

(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数.

28

（9）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?一阶导数，则必有

?x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，? 具有

?2u?2u?2u?2u (A) 2??2. （B） 2?.

?x?y?x?y2?2u?2u?2u?2u(C) ?2. (D) ?2.

?x?y?x?x?y?y（10）设有三元方程xy?zlny?exz?1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，

在此邻域内该方程

(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).

(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y). 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).

（11）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是

(A) ?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0.

**（12）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,B

的伴随矩阵，则

(C) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B.

*****(C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. （13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为

X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则

(B) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1

(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4

（14）设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S为样本方差，则

29

2

***

(B) nX~N(0,1) (B) nS2~?2(n).

(n?1)X12(n?1)X~t(n?1) (D) n~F(1,n?1). (C)

S?Xi2i?2三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分）

设D?{(x,y)x?y?数. 计算二重积分

222,x?0,y?0}，[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整

22xy[1?x?y]dxdy. ??D（16）（本题满分12分）

求幂级数

?(?1)n?1(1?n?1?1)x2n的收敛区间与和函数f(x).

n(2n?1)（17）（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

?(x032?x)f???(x)dx.

（18）（本题满分12分）

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：

（I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；

（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （19）（本题满分12分）

设函数?(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分

??(y)dx?2xydy2x?y24L的值恒为同一常数.

（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有

??(y)dx?2xydy2x2?y4C?0；

（II）求函数?(y)的表达式.

30

（20）（本题满分9分）

222已知二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2.

（I） 求a的值；

（II） 求正交变换x?Qy，把f(x1,x2,x3)化成标准形； （III） 求方程f(x1,x2,x3)=0的解.

?123???（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246????36k??（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.

（22）（本题满分9分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?1,0?x?1,0?y?2x, f(x,y)??

0,其他.?求：（I） (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II）Z?2X?Y的概率密度fZ(z).

（23）（本题满分9分）

设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记

Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.

求：（I）Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

31

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线y=lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . （2）已知f?(ex)?xe?x，且f(1)=0, 则f(x)=__________ .

（3）设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分，则曲线积分__________.

?Lxdy?2ydx的值为

d2ydy?4x?2y?0(x?0)的通解为. __________ . （4）欧拉方程x2dxdx2?210???***（5）设矩阵A?120，矩阵B满足ABA?2BA?E，其中A为A的伴随矩阵，

????001??E是单位矩阵，则B? __________ .

（6）设随机变量X服从参数为?的指数分布，则P{X?DX}= __________ .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）把x?0时的无穷小量????x0costdt,???tantdt,???sint3dt，使排在

002x2x后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A) ?,?,?. (B) ?,?,?. (C) ?,?,?. (D) ?,?,?. [ ] （8）设函数f(x)连续，且f?(0)?0,则存在??0，使得

(A) f(x)在（0，?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减少. (C) 对任意的x?(0,?)有f(x)>f(0) .

(D) 对任意的x?(??,0)有f(x)>f(0) . [ ]

（9）设

?an?1?n为正项级数，下列结论中正确的是

32

(A) 若limnan=0，则级数

n???an?1?n收敛.

（B） 若存在非零常数?，使得limnan??，则级数

n???an?1?n发散.

(C) 若级数

?an?1??n收敛，则limnan?0.

n??2(D) 若级数

?an?1n发散, 则存在非零常数?，使得limnan??. [ ]

n??（10）设f(x)为连续函数，F(t)??dy?1ttyf(x)dx，则F?(2)等于

(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ ] （11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为

?010???(A) 100. (B) ????101???010??101?. (C) ????001???010??100?. (D) ????011???011??100?. ????001?? [ ]

（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. [ ] （13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0???1)，数u?满足

P{X?u?}??，若P{X?x}??，则x等于

(A) u?. (B) u21??2. (C) u1?? . (D) u1?? . [ ]

221n（14）设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，且其方差为??0. 令Y??Xi，

ni?1则

(A) Cov(X1,Y)?

?2n. (B) Cov(X1,Y)??2.

33

(C) D(X1?Y)?n?22n?12?. (D) D(X1?Y)??. [ ] nn22（15）（本题满分12分）

2设e?a?b?e, 证明lnb?lna?4(b?a). e2（16）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k?6.0?10). 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

注kg表示千克，km/h表示千米/小时. （17）（本题满分12分） 计算曲面积分

I?3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy, ???6其中?是曲面z?1?x?y(z?0)的上侧.

（18）（本题满分11分）

设有方程x?nx?1?0，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根xn，并证明当

???1时，级数?xn收敛.

n?1?n22（19）（本题满分12分）

222设z=z(x,y)是由x?6xy?10y?2yz?z?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的极值点和

极值.

（20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组

?(1?a)x1?x2???xn?0,?2x?(2?a)x???2x?0,?12n??????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,(n?2)

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. （21）（本题满分9分）

34

?12?3??? 设矩阵A??14?3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对????1a5??角化.

(22)（本题满分9分）

设A,B为随机事件，且P(A)?111,P(BA)?,P(AB)?，令 432 X???1,A发生,?1,B发生, Y??

0,0,A不发生;B不发生.??求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相关系数?XY.

（23）（本题满分9分）

设总体X的分布函数为

1??1??,x?1, F(x,?)?? xx?1,??0,其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，求：

（I） ?的矩估计量； （II） ?的最大似然估计量.

35

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

1（1） lim(cosx)ln(1?x) = .

x?02（2） 曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 . （3） 设x?2?an?0?ncosnx(???x??)，则a2= .

?1??1??1??1?2R（4）从的基?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩阵为 .

????????（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???6x,0?x?y?1,则

其他，?0,P{X?Y?1}? .

（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N(?,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则?的置信度为0.95的置信区间是 .

,?(1.645)?0.95.) (注：标准正态分布函数值?(1.96)?0.975二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有

(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ] y

O x

（2）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有

n??n??n?? 36

(A) an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.

(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ ]

n??n??（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx?0,y?0f(x,y)?xy?1，则 222(x?y)(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.

(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关. (C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关.

[ ]

（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为m?n矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)?秩(B)； ② 若秩(A)?秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是

(A) ① ②. (B) ① ③.

(C) ② ④. (D) ③ ④. [ ] （6）设随机变量X~t(n)(n?1),Y? (A) Y~1，则 X2?2(n). (B) Y~?2(n?1).

(C) Y~F(n,1). (D) Y~F(1,n). [ ] 三、（本题满分10分）

过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D. (1) 求D的面积A;

(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V. 四、（本题满分12分）

?1?2x(?1)n将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和.

1?2xn?02n?1五 、（本题满分10分）

37

已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??}，L为D的正向边界. 试证： (1) (2)

?xeLLsinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx;

Lsiny?sinx2xedy?yedx?2?. ?六 、（本题满分10分）

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0

(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？

(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m表示长度单位米.） 七 、（本题满分12分）

设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.

d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微分方

dydy2程；

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?八 、（本题满分12分）

设函数f(x)连续且恒大于零，

3的解. 2??? F(t)??(t)f(x2?y2?z2)dv2D(t)??f(x?y)d?2，G(t)?D(t)??f(x2?y2)d??t，

?1f(x)dx22222222其中?(t)?{(x,y,z)x?y?z?t}，D(t)?{(x,y)x?y?t}.

(1) 讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2) 证明当t>0时，F(t)?九 、（本题满分10分）

2?G(t).

?322??010??????1*设矩阵A?232，P?101，B?PAP，求B+2E的特征值与特征向量，

???????223???001??

38

其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.

十 、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1: ax?2by?3c?0， l2: bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.

十一 、（本题满分10分）

已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：

(1) 乙箱中次品件数的数学期望；

(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、（本题满分8分） 设总体X的概率密度为

*?2e?2(x??),x??, f(x)??

x??,?0,其中??0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn，记

??min(X,X,?,X). ?12n(1) 求总体X的分布函数F(x); (2) 求统计量??的分布函数F??(x)；

(3) 如果用??作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性.

39

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v9d3.html