重庆一中2015届高三上学期一诊模拟考试 数学（文）试题 - 图文

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2015年重庆一中高2015级高三上期一诊模拟考试 数 学 试 题 卷 （文科）2015.1

一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

2M?{x|x?2x?15?0}，N?{xx?1或x??7}，则M1．设集合

N?（ ）

A．[1,3) B．(?5,3) C．(?5,1] D．[?7,3) 2、对于非零向量a，b，“a∥b”是“a＋b＝0”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

?4x2?2,?2?x?0,f(x)???x,0?x?1.3．设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，，

5f()则2＝（ ）

1A．0 B． 1 C．2 D．?1

4.下列结论正确的是（ ）

x?1?A．

a1?1x

x?B.

1?2x

x?y?C.

11?xy

22x?y?x?yD.

log318?（ ）

5.若2?3，则

3?A.

1a

3?

B.

1a

2?

C.

1a

2?

D.

1a

6.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）

A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤

1?，若点M?x,y?为平面区域7. 已知O是坐标原点，点A??1，OA?OM的取值范围是（ ）

?x?y?2??x?1?y?2?上的一个动点，则

0? B．?0，1? C．?0，2? D．??1，2? A．??1，8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A．?2 9. 抛物线

B．?1

C．1

D．2

的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与

的值为（ ）

D．8

抛物线C的准线相切，且该圆的面积为 A．2

B．4

C．6

?x2?2x,x?0,??2x?2?1,x?0,?1??,x?0.x?2,x?0,f(x)?g(x)??10. 已知函数 ?x则函数f[g(x)]的所有零

点之和是（ ）

?A.

1133?3?3?1?1?22 D. 2 B. 2 C.

二．填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）

2aaS?nnn11. 设数列{}的前n项和为,中5= .

m?ni?m(1?i)?7?nimnim?ni12. 已知是虚数单位，和都是实数，且，则

13.已知

a?1,b?2,?a,b??60，则

a?2b=

?2??cos(??)????63，且62，则cos2?= . 14.已知

??an???a?q?N,a?Nn15. 设等比数列满足公比，且n中的任意两项之积也是该数列中的

一项，若

a1?281，则q的所有可能取值的集合为

三．解答题（本大题共6个小题，共75分） 16.（13分）已知等差数列(1)求数列

{an}的前n项和为Sn，S3?0,S5??5.

{an}的通项公式；

1}aa(2)求数列2n?12n?1的前n项和.

{

17.（13分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．

（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；

（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．

18.（13分） 已知?ABC的三边分别是a,b,c，且满足b?c?bc?a

222（1）求角A；

（2）若a?2，求?ABC的面积的最大值.

f(x)?2x?19.（12分）（原创）已知

1?1x

（1）求函数f(x)在x?4处的切线方程（用一般式作答）；

（2）令F(x)?2xx?(1?m)x?1，若关于x的不等式F(x)?0有实数解.求实数m的取值范围.

20.（12分）如图，几何体EF?ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB//CD，AD?DC，AD?2，AB?4，?ADF?90． EF DACB

（1）求证:AC?FB

（2）求几何体EF?ABCD的体积．

2F,F21.（12分）（原创）已知椭圆C的中心为原点，焦点12在坐标轴上，其离心率为2，

且与x轴的一个交点为(1,0). (1)求椭圆C的标准方程；

(0,(2)已知椭圆C过点到l的距离分别为

222)2，P是椭圆C上任意一点，在点P处作椭圆C的切线l，F1,F2d1,d2.探究：d1?d2是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：

(x,y)mxx?ny0y?1)；

椭圆mx?ny?1在其上一点00处的切线方程是0（3）求（2）中

d1?d2的取值范围.

命题人：周波涛 审题人：张志华

2015年重庆一中高2015级高三上期一诊模拟考试 数 学 答 案 解 析 （文科）2015.1

2M?{x|x?2x?15?0}，N?{xx?1或x??7}，则M1．设集合

N?

A．[1,3) B．(?5,3) C．(?5,1] D．[?7,3) 答案：A

2、对于非零向量a，b，“a∥b”是“a＋b＝0”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 答案：B

?4x2?2,?2?x?0,f(x)???x,0?x?1.3．设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，，

5f()则2＝

1 A．0 B． 1 C．2 D．?1

答案：D

4.下列结论正确的是（ ）

1x?1??1xA．

答案：A

1x??2xB.

x?y?C.

11?xy

22x?y?x?yD.

log318?（ ）

5.若2?3，则

a3?A.

11113?2?2?aB. aCa.D. a

答案：C

6.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助

作用），则四面体ABCD的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）

A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤ 答案：B

1?，若点M?x,y?为平面区域7. 已知O是坐标原点，点A??1，OA?OM的取值范围是

?x?y?2??x?1?y?2?上的一个动点，则

0? B．?0，1? C．?0，2? D．??1，2? A．??1，答案：C

8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A．?2 答案：C 9. 抛物线

的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与

的值为 D．8

B．?1

C．1

D．2

抛物线C的准线相切，且该圆的面积为 A．2 答案：D

B．4

C．6

?x2?2x,x?0,??2x?2?1,x?0,?1??,x?0.x?2,x?0,f(x)?g(x)??10. 已知函数 ?x则函数f[g(x)]的所有零

点之和是（ ）

?A.

1133?3?3?1?1?22 D. 2 B. 2 C.

anSn?n2答案：B 11. 设数列{答案：9

}的前n项和为,中

a5= .

m?ni?m(1?i)?7?nimni12. 已知是虚数单位，和都是实数，且，则m?ni

答案：i 13.已知

a?1,b?2,?a,b??60，则

a?2b=

答案：13

?2??cos(??)????63，且62，则cos2?= . 14.已知

1?41518 答案：

???an???a?q?N,a?Nn15. 设等比数列满足公比，且n中的任意两项之积也是该数列中的81a?21一项，若，则q的所有可能取值的集合为

392781{2,2,2,2,2} 【答案】

**n,n?N12解析：根据题意得对任意有n?N,使

an?an1an2?2q81n?1?2q81n1?1?2q81n2?1，即q?281n?n1?n2?1*q?N，因为，所以

81n?n1?n2?1是正整数1、3、9、27、81，q的所有可能取值的集合为{2,23,29,227,281}.

16.已知等差数列(1)求数列

{an}的前n项和为Sn，S3?0,S5??5.

{an}的通项公式；

{1}aa(2)求数列2n?12n?1的前n项和.

解答： 设

{an}的公差为d，则由题得

?3a1?3d?0?a1?1,d??1?5a?10d??5?1则

an?2?n

11111??(?)aa(3?2n)(1?2n)22n?32n?1

（2）由（1）得2n?12n?1n则所求和为1?2n

17.随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．

（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；

（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率． 解答： (1)

x?158?162?163?168?168?170?171?179?a?18210

?170

解得a=179 所以污损处是9

(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，

从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，

42

而事件A含有4个基本事件，∴P(A)＝＝ 105

18. 已知?ABC的三边分别是a,b,c，且满足b?c?bc?a

222（1）求角A；

（2）若a?2，求?ABC的面积的最大值. 解答：

b2?c2?a21?cosA??A?2bc2，则3； （1）由余弦定理得

（2）由题得

b2?c2?bc?4?2bc?bc?4，则

1S?ABC?bcsinA?3(b?c2时取等号）

故?ABC的面积的最大值为3.

f(x)?2x?19.（原创）已知

1?1x

（1）求函数f(x)在x?4处的切线方程（用一般式作答）；

（2）令F(x)?2xx?(1?m)x?1，若关于x的不等式F(x)?0有实数解.求实数m的取

值范围. 解答：

f?(x)?（1）由题

11721?2f?(4)?,f(4)?xx，则164，

y?则所求切线为

217??x?4?416

即7x?16y+56?0

（2）F(x)?0?mx?2xx?x?1，显然x?0时不是不等式的解，故x?0，

F(x)?0?mx?2xx?x?1?m?2x?故

由（1）可知

1?1?f(x)x

f(x)min?f(1)?4，则m?4.

20. 如图，几何体EF?ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，

AB//CD，AD?DC，AD?2，AB?4，?ADF?90．

（1）求证:AC?FB

（2）求几何体EF?ABCD的体积． 解答：

（1）证明：由题意得，AD?DC，AD?DF，且DCEFDACBDF?D，

∴AD?平面CDEF， ∴AD?FC， ??????2分 ∵四边形CDEF为正方形. ∴DC?FC 由DCAD?D ∴FC?平面ABCD ∴FC?AC ??????4分

又∵四边形ABCD为直角梯形，ABCD，AD?DC，AD?2，AB?4

222∴AC?22，BC?22 则有AC?BC?AB ∴AC?BC

由BCFC?C ∴AC?平面FCB ∴AC?FB ?????6分

EF（２）连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N， 易见BN?平面CDEF，且BN?2.????8分

DCBNV?VE?ABCD?VB?ECF ?????9分 ∵EF?ABCD1116?S△ABCD?DE?S△EFC?BN?333 ?????11分 16 ∴ 几何体EF?ABCD的体积为3 ????12分

A2F,F21.（原创）已知椭圆C的中心为原点，焦点12在坐标轴上，其离心率为2，且与x轴

的一个交点为(1,0). (1)求椭圆C的标准方程；

(0,(2)已知椭圆C过点到l的距离分别为

2)2，P是椭圆C上任意一点，在点P处作椭圆C的切线l，F1,F2d1,d2.探究：d1?d2是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：

22mx?ny?1在其上一点(x0,y0)处的切线方程是mx0x?ny0y?1)； 椭圆

（3）求（2）中解答：

d1?d2的取值范围.

cb2b1?1?()2??()2?a2a2，因为椭圆C与x轴的一个交点为(1,0)，则 由题，a若a?1，则

b2?1222，则椭圆C方程为x?2y?1；

2y2x??122若b?1，则a?2，则椭圆C方程为.

y2x??1y212x??122故所求为者或

2(0,因为椭圆C过点

222)F(?,0),F(,0）22122，故椭圆C方程为x?2y?1，且22

设P(m,n)，则l的方程是mx?2ny?1，

?d1?d2?则

2m?12m2?4n211?m2212?21?m?0222m?4nm?4n2，因为?1?m?1，故，

2m?1211?m211d1?d2?222dd?12m?4n，又因为m2?2n2?1，代入可得2，故d1?d2为定值2； 故

由

题

?d1?d2?2m?12m?4n22?2m?12m?4n221??22m?1?m2222??m2?4n2m2?4n21?2n2

0?n2?因为

12，故d1?d2?[2,2].

y2x??1y212x??122故所求为者或

2(0,因为椭圆C过点

222)F(?,0),F(,0）22122，故椭圆C方程为x?2y?1，且22

设P(m,n)，则l的方程是mx?2ny?1，

?d1?d2?则

2m?12m2?4n211?m2212?21?m?0222m?4nm?4n2，因为?1?m?1，故，

2m?1211?m211d1?d2?222dd?12m?4n，又因为m2?2n2?1，代入可得2，故d1?d2为定值2； 故

由

题

?d1?d2?2m?12m?4n22?2m?12m?4n221??22m?1?m2222??m2?4n2m2?4n21?2n2

0?n2?因为

12，故d1?d2?[2,2].

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