《高等数学(A)》课程教学大纲

《高等数学（A）》课程教学大纲

Advanced Mathematics (A)

学 时 数：180

学 分 数：18 适用专业：理工科各本科专业

执 笔 者：吴赣昌 编写日期：2000年8月

课程的性质、目的和任务

高等数学课程是高等学校工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得： 1．一元函数微积分学， 2．向量代数和空间解析几何， 3．多元函数微积分学， 4．无穷级数（包括傅里叶级数），

5．常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，并注意培养学生的数学建模能力和用所学理论解决简单应用问题的能力，培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

课程教学的基本要求

一、 函数、极限与连续

1. 理解函数的概念. 2. 了解函数的单调性、周期性和奇、偶性. 3. 了解反函数和复合函数的概念. 4. 熟悉基本初等函数的性质及其图形. 5. 能列出简单实际问题中的函数关系.

6. 了解极限的??N、???定义(对于给出?求N或?不作过高耍求),并能在学习

过程中逐步加深对极限概念的理解. 7. 掌握极限四则运算法则.

8. 了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)会用两个重要极限求极限.

9. 了解无穷大、无穷小的概念. 掌握无穷小的比较. 10.理解函数在一点连续的概念, 会判断间断点的类型.

11.了解初等函数的连续性. 知道在闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大值最小值定理).

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二、导数于微分

1. 理解导数和微分的概念.了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系,能用导数描述一些物理量.

2. 熟悉导数和微分的运算法则(包括微分形式不变性)和导数的基本公式. 了解高阶导数概念. 能熟练地求一阶二阶导数.

3. 掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。

三、中值定理与导数的应用 1. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理. 了解柯西(Cauchy)定理和泰勒

(Taylor)定理. 会应用拉格朗日定理. 2. 理解函数的极值概念 . 掌握求函数的极值, 判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点等方法. 能描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线). 会解较简单的最大值和最小值的应用问题.

3. 掌握罗必塔{L’Hospital)法则. 4. 知道曲率和曲率半径的慨念,并会计算曲率和曲率半径. 5. 知道求方程近似解的二分法和切线法.

四、不定积分 1. 理解不定积分的概念和性质.

2. 熟悉不定积分的基本公式.熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.掌握较简单的有理函数的不定积分.

五、定积分 1. 理解定积分的概念和性质.

2. 熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法.

3. 理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理. 熟悉牛顿-莱布尼兹公式. 4. 了解广义积分的概念.

5. 知道定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法)

六、定积分的应用

熟练掌握用定积分来表示一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长和功等)的方法.

七、空间解析几何与向量代数 1. 理解向量的概念.

2. 掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法)掌握两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件.

3. 熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式. 熟练掌握用坐标表达式进行向量的运算.

4. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法.

5. 理解曲面方程的概念. 掌握常用的曲面方程及其图形. 掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 6. 知道空间曲线的参数方程和一般方程.

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八、多元函数微分法及其应用 1. 理解多元函数的概念.

2. 知道多元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质. 3. 理解偏导数、全微分等概念.了解全微分存在的必要条件和充分条件. 4. 了解方向导数与梯度的概念，并掌握它们的计算方法. 5. 熟练掌握复合函数的求导法. 会求二阶偏导数. 6 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数.

7. 了解空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线, 并掌握其方程的求法.

8. 理解多元函数极值的概念, 会求函数的极值. 了解条件极值的概念, 会用拉格朗日乘数法求条件极值. 会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题.

九、重积分

1. 理解二重积分、三重积分的概念，知道积分的性质。

2. 熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，掌握三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

3. 能用重积分表达一些几何量与物理量(如体积、质量、重心等等)

十、曲线积分与曲面积分

1. 理解两类曲线积分的慨念. 知道两类曲线积分的性质. 2. 掌握两类曲线积分的计算方法.

3. 熟悉格林(Green)公式, 会用平面曲线积分与路径无关的条件.

4. 知道两类曲面积分的概念及高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式,并会计算两类曲面积分.

5. 知道散度、旋度的概念.

6. 能用曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量(如体积、质量`重心等等)

十一、无穷级数

1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念. 了解无穷级数收敛的必要条件. 知道无穷级数的基本性质.

2. 熟悉几何级数和p－级数的收敛性.

3. 掌握正项级数的比较审敛法. 熟练掌握正项级数的比值审敛法. 4. 掌握交错级数的莱布尼兹定理, 并能估计交错级数的截断误差.

5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念, 以及绝对收敛与收敛的关系. 6. 知道函数项级数的收敛域及和函数的概念. 7. 熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法. 8. 知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质. 9. 知道函数展开为泰勒级数的充要条件.

mx 1O. 掌握e、sinx、cosx、ln(1?x)和(1?x)的麦克劳林(Maclaurin) 展开式, 并能利用这些展开式将一些简单的函数展开成幂级数. 11. 会用幂级数进行一些近似计算.

12. 知道函数展开为傅立叶(Fourier)级数的充分条件, 并能将定义在[??,?]和[?l,l]上的函数展开为傅立叶级数, 能将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数或余弦级数.

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十二、微分方程

1. 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念.

2. 会识别下列几种一阶徽分方程: 变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程和全微分方程.

3. 熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法.

4. 会解齐次方程和伯努利方程, 从中领会用变量代换求解方程的思想. 5. 会解较简单的全微分方程. 6. 知道下列几种特殊的高阶方程

y?f(x),y???f(x,y?),y???f(y,y?) 的降阶法.

7. 了解二阶线性微分方程解的结构.

8. 熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并知道高阶常系数齐次线性徽分方程的解法.

9. 掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法. 1O. 知道微分方程的幂级数解法.

11. 会用微分方程解一些简单的几何和物理问题.

(n)课程的教学内容、重点和难点

一、 函数与极限

1．内容 理解函数的概念，了解函数的几种常用表示法，了解函数的基本性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性）。理解复合函数、反函数的概念。掌握基本初等函数的性质及其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。理解极限的概念，理解极限的基本性质，掌握极限四则运算法则及两个极限存在法则（夹逼准则和单调有界准则），了解数列极限的柯西准则，掌握用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小和无穷大的概念，理解无穷小的阶的概念及无穷小与函数极限的关系，了解无穷小与无穷大的关系，会用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。了解函数的一致连续性的概念，掌握初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理、最大最小值定理和一致连续性定理），会利用介值定理证明根的存在性等问题。

2．重点和难点

极限四则运算法则、两个极限存在法则（夹逼准则和单调有界准则）、闭区间上连续函数的性质（介值定理、最大最小值定理和一致连续性定理）

二、导数与微分

１．内容 理解导数的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。理解微分的概念，理解导数与微分的关系。了解微分的四则运算法则，理解一阶微分的形式不变性，会用微分进行简单的近似计算。了解高阶导数的概念．掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。了解隐函数的概念，掌握隐函数和参数方程所确定的函数的求导法。会求反函数的导数。

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２．重点和难点 导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、隐函数和参数方程所确定的函数的求导法

三、 中值定理与导数的应用

１．内容

理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日(Lagrange)定理，掌握这两个定理的简单应用。了解柯西(Cauchy)定理，理解泰勒(Taylor)定理并会用。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平、铅直和斜渐近线）。掌握较简单的最大值和最小值的应用问题的求解方法。

掌握用洛必达法则（L'Hospital）求不定式的极限的方法。了解曲率和曲率半径的概念及其求法。了解求方程近似解的二分法和切线法。

２．重点和难点

应用中值定理证明问题、求不定式的极限的方法

四、 不定积分

１．内容

理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元法和分部积分法。会求有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分。

２．重点和难点

换元法、分部积分法、有理函数和三角函数的有理式及简单的无理函数的积分

五、 定积分

１．内容 理解定积分的概念及性质。掌握定积分的换元法和分部积分法。理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）椑巢寄嶙龋↙eibniz）公式。理解广义积分的概念。掌握广义积分的基本收敛准则，会计算简单广义积分。了解定积分的近似计算法（矩形法、梯形法和抛物线法）。

２．重点和难点 定积分的性质及应用、广义积分的计算

六、定积分的应用

１．内容 掌握定积分元素法，掌握用元素法求平面图形的面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积的方法。掌握利用元素法计算功、压力、引力等物理量的方法。

２．重点和难点 元素法、求平面图形的面积

七、空间解析几何及向量代数

１．内容

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