2020年全国中考数学试卷分类汇编(一)专题21 全等三角形(含解析)

全等三角形

一.选择题

1. （2020?湖南省怀化市?3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，

DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）

A．3 B．C．2 D．6

【分析】根据角平分线的性质即可求得．

【解答】解：∵∠B＝90°，

∴DB⊥AB，

又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，

∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，

故选：A．

【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键

2.（2020?贵州省铜仁市?4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，

∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接E C.EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；

②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（）

A．①②③B．①③C．①②D．②③

【分析】先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE （SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，即可得出①正确；

先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PH＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出△FPG∽△FQC，得出，求出PG＝，再根据勾股定理求得EG＝，即△AEG 的周长为8，判断出②正确；

先求出DG＝，进而求出DG2+BE2＝，在求出EG2≠，判断出③错误，即可得出结论．

【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，∴∠HAD＝90°，

∵HF∥AD，

∴∠H＝90°，

∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，

∴∠AFH＝∠HAF．

∵AF＝，

∴AH＝HF＝1＝BE．

∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，

∴△EHF≌△CBE（SAS），

∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，

∵∠BCE+∠BEC＝90°，

∴HEF+∠BEC＝90°，

∴∠FEC＝90°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，

∴EC2＝BE2+BC2＝17，

∴S△ECF＝EF?EC＝EC2＝，故①正确；

过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，

∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，

∴四边形APFH是矩形，

∵AH＝HF，

∴矩形AHFP是正方形，

∴AP＝PH＝AH＝1，

同理：四边形ABQP是矩形，

∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，∵AD∥BC，

∴△FPG∽△FQC，

∴，

∴，

∴PG＝，

∴AG＝AP+PG＝，

在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝＝，

∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝++3＝8，故②正确；

∵AD＝4，

∴DG＝AD﹣AG＝，

∴DG2+BE2＝+1＝，

∵EG2＝（）2＝≠，

∴EG2≠DG2+BE2，故③错误，

∴正确的有①②，

故选：C．

二.填空题

1 （2020?湖南省怀化市?3分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，

则∠D＝130°．

【分析】根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠B，代入求出即可．

【解答】证明：∵在△ADC和△ABC中

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠D＝∠B，

∵∠B＝130°，

∴∠D＝130°，

故答案为：130．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．

2.（2020?河南省?3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC

的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为1．

【分析】设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，FD的中点，根据射影定理即可得到结论．

【解答】解：设DF，CE交于O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，

∵点E，F分别是边AB，BC的中点，

∴BE＝CF，

∴△CBE≌△DCF（SAS），

∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，

∵∠CDF+∠CFD＝90°，

∴∠BCE+∠CFD＝90°，

∴∠COF＝90°，

∴DF⊥CE，

∴CE＝DF＝＝，

∵点G，H分别是EC，FD的中点，

∴CG＝FH＝，

∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，

∴CF2＝OF?DF，

∴OF＝＝＝，

∴OH＝，OD＝，

∵OC2＝OF?OD，

∴OC＝＝，

∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，

∴HG＝＝＝1，

故答案为：1．

【点评】本题考查了射影定理，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

3.（2020?贵州省贵阳市?4分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，

E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是120度．

【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解答】解：连接OA，OB，

∵△ABC是⊙O的内接正三角形，

∴∠AOB＝120°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠OAD＝30°，

∴∠OAD＝∠OBE，

∵AD＝BE，

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