保险精算学分析

第一章练习（利率部分）

1、某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求i1,i2,i3,i4分别等于多少？

2、某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？

3、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。

4、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。

5、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。

6、确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值 （1）δ=5% （2）δt=0.05(1+t)-2

7、如果δt=1/(1+t)，试确定1在n年末的积累值。

8、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累值。

9、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应该为多少？

10、某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？（求本金）

11、（求利率）（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？

12、某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？

13、按某一利率以以下两种付款形式的现值相等。（1）第五年末付200元加上第十年末500元；（2）第五年末付400.94元。现以同样的利率投资300元，并在8年末取出200元，余下在第十年末积累金额为X，求X

14、投资1000元在第15年末的积累值为3000元，试确定每月计息一次的年名义利率。

15、某人签了一张1年期的1000元借据并从银行收到950元，在第六个月末，他付款300元，假设为单贴现，问他在年末还应付款给银行多少钱？

(1000-x)*(1-d)/(1-0.5d)=300

-2

16、某基金以利息强度δt=0.2(K·t)计息，在t＝10时的100元存款将积累到250元，求K。

第一章练习（年金部分）

1、一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。

2、某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？

3、假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若i(2)=0.06, 求这些付款的现时值。

4、某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设恒定为3％。（1）求退休时个人帐户的积累值。（2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。

5、有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？

6、A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？

7、有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：（1）在最后一次正规付款的日期支付。（2）在最后一次正规付款以后一年支付（3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）

8、某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.

9、某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.

10、某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.

11、一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为10元，问年度实质利率应为多少？

12、有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。

13、某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.

14、某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用 5 万元 如果它们前十年每年底存款 1000元 后十年每年底存款 1000+ X 元 年利率 7％ ，计算 X。(651.7238)

15、价值 10,000 元的新车 购买者计划分期付款方式 每月底还 250 元 期限 4 年月结算名利率 18%， 计算首次付款金额。(1489.36159 )

16、已知 半年结算名利率 6％ 计算下面年金的现值 ，从现在开始每半年付款 200 元 共计 4 年 然后 减为每次 100 元 共计 10 年。 (2389.72)

17、某人现年 40 岁 现在开始每年初在退休金帐号上存入 1000 元 共计 25 年 然后 从65 岁开始每年初领取一定的退休金 共计 15 年 设前 25 年的年利率为 8 后 15 年的年利率7 ％，计算每年的退休金。(8102)

18、现有价值相等的两种期末年金 A和 B 年金， A在第1－10年和第21- 30年中每年1元在第 11 －20 年中每年 2 元； 年金 B在第 1－ 10 年和第 21 －30 年中每年Y 元， 在第 11－20 年中没有。 已知 V10 =1/2 ，计算Y 。(1.8)

19、已知年金满足 2 元的 2n期期末年金与 3 元的n期期末年金的现值之和为 36 ，另外递延n年的 2 元n期期末年金的现值为 6 计算i (7%)。

第一章（偿债基金部分）

1、已知某住房贷款100，000元，分10年还清，每月末还款一次，每年计息12次的年名义利率为6％。计算还款50次后的贷款余额，分别利用过去法和未来法。

2、若借款人每年末还款1000元，共20次。在第5次还款时，他决定把手头多余的2 000元也作为偿还款，然后将剩余贷款期调整为12年，若利率为9％，试计算调整后每年的还款额。

3、某年轻借款人预计10年后工资会大幅上涨，他决定在前10年每年末还款8 000元，而后5年每年末还款20 000元，年利率为8％，计算B5.5

4、某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分15年还清贷款。每年计息12次的年名义利率为5.04%。计算（1）第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？（2）若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次共偿还了多少利息？

5、A曾借款1万元,实质利率为10%.A积累一笔实质利率为8%的偿债基金一偿还这笔贷款.在第10年末偿债基金余额为5000元,在第11年末A支付总额为1500元,问

（1）1500中有多少是当前支付给贷款的利息?（2）1500中有多少进入偿债基金? （3）1500中有多少应被认为是利息?（4）1500中有多少应被视为本金? （5）第11年末的偿债基金余额为多少?

6、某贷款为1000元，10年期，年利率为5％，采取偿债基金法偿还，每年末借款人支付相等利息，同时在偿债基金中存入偿债本金，每年额度相同，偿债基金年利率为4％，在第10年末，偿债基金积累值恰好为1000元，计算第5年借款人支付的利息额与偿债基金所得利息额的差。

7、一位借款人向贷款人借L元贷款,在10年内以每年年末付款来偿还这一实质利率为5%的贷款,其付款方式为:第一年付款200元,第二年付190元,如此递减至第10年末付110元.求贷款金额L.

8、假如该借款人贷款年限与付款方式与(1)相同,但采用偿债基金形式还清贷款.在还款期内该借款人向贷款人每年支付实质利率为6%的利息,并以实质利率为5%的偿债基金以偿还贷款金额,求贷款金额L.

9、甲借款100 000元，贷款期限为30年，且已知：（1）首次在偿债基金中存款X，存款时间为第1年末； （2）以后每年末在偿债基金中的存款比上一年增加100元，直至第20年末，然后保持不变至第30年末； （3）贷款利息每年末支付；（4）贷款年利率为5％，偿债基金存款利率为4％。计算X及甲支出款的总额。

10、某甲签了一张1年期的1千元借据，并从银行收到920元，在第6个月末，甲付款288元，假设为单贴现，问甲在年末还应还银行多少钱？

11、已知某4年期的贷款以以下方式计息：第1年以实质贴现率6％；第2年以每二年计息一次的年名义贴现率5％；第3年以每半年计息一次的年名义利率5％；第4年以利息强度5％； 求这4年的年实质利率。

12、某人10年前在银行存入1000元，每年计息两次的年名义利率为4％，每半年他从银行将新增利息的一半提出，计算现在的存款本利和。

13、某借款人分10年偿还贷款，贷款年利率为5％，每年还款1000元，贷款额的一半用分期偿还法偿还，另一半按偿债基金法偿还，偿债基金的存款利率为4％，计算贷款额。

14、从1988年起，直到1998年底，某人每年1月1日和7月1日在银行存入一笔款项，7月1日的存款要比1月1日的存款增加10.25%，而与其后（下一年）的1月1日的存款相等，每年计息两次的年名义利率为10％，在1998年12月31日时，存款本利和为11000元，计算第一次存款额。

15、某甲在2025年1月1日需要50 000元资金以及一个期初付、每半年领取一次的为期15年的年金，每次领取款为K。这些款项需要从2000年1月1日起，每年初存入银行K元，共25年，存入款项时每年计息两次的名义利率为4％，领取年金时，每年计息两次的名义利率为3％，计算K。

16、某贷款为期5年，每季末偿还一次，每年计息4次的年名义利率为10％，若第3次还款本金部分为100元，计算最后5次还款中的本金部分。

17、某贷款为35年，分期均衡偿还，每年末还款一次，第8次还款中的利息部分为135元，第22次还款中的利息部分为108元，计算第29次还款中的利息部分。

生命表函数

已知

计算下面各值：亡的概率。（3）该人群平均寿命。

1）

；2）20岁的人在50~55岁死

（（已知

分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：

人寿保险趸交保费的厘定

3.1某人在40岁时投保了3年期1 0 000元定期寿险，保险金在死亡年年末赔付。以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年，男女混合表）和利率5％，计算趸缴保费。

3.2设年龄为35岁的人投保离散型的保额为5000元的25年定期保险。求该保单的趸缴保费。（年利率i=6％）

3.5设年龄25岁的人购买离散型保额为5 000元的30年两全保险，试求该保单的趸缴保费（利率＝6％）

3.6设年龄为30岁的人，购买离散型递增30年定期保险，保险利益是，被保险人在第一个保单年度内死亡，给付1000元；在第二个保单年度内死亡，给付1100元，依次下去，直到第30个保单年度内死亡，在给付3900元。试求该保单的趸缴保费（预定年利率为6％）。

3.7设年龄30岁的人投保离散型递减的20年定期保险，保险利益是，被保险人在第一个保单年度内死亡，给付保险金5 000元；第二个保单年度内死亡，给付保险金 4 900元，依次下去，直到在第20个保单年度内死亡，给付3 100元。试求该保单的趸缴保费。（预定年利率为6％）

3.8设 求：

3.9设(x)投保终身寿险，保险金额为1元保险金在死亡即刻赔付利息力为签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为 计算：

3.10假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知

，求：

生存年金

4.3在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求（1） ；（2） 的标准差

4.4在De Moivre假定下， 计算：终身连续生存年金精算现值及方差

在De Moivre假定下， 计算：30年定期生存年金精算现值及方差 ；

4.7试根据附录I（c）的生命表和年利率i＝6％，并在死亡均匀分布假设下，计算自60岁起退休者每月领取1 000元的期初付终身生存年金的精算现值。

净均衡保费与毛保费

5.1已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求

5.2设一个0岁生命的整值剩余寿命服从概率函数为 在其死亡年末赔付1单位的保单，每年年初缴付保费P。当保费按平衡原理决定时，计算保险人亏损现值的期望值与方差（i=6%）。

5.3根据附录示例生命表及利率6%计算，

5.4对于（50）的人死亡年末给付1万元的20年期两全保险。计算按半年分期缴费的净均衡年保费，年利率6%。决定相应的死亡即刻给付的净均衡年保费。

5.5（30）购买了保险金额为2万元的半连续型终身寿险保单，按下表所列各项费用，根据精算等价原理计算年缴纯保费和年缴毛保费。（i=6%）

5.6对（25）购买的保险金额为10万元的40年两全保险保单，该保单的第一年费用为100元加上毛保费的25%，续年的费用为25元加上毛保费的10%。发生死亡给付时的理赔费用为100元，生存给付时不发生理赔费用。求净均衡年缴保费和毛保费。 已知:

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