专题六：带电粒子在电磁场中的运动

专题六：带电粒子在电磁场中的运动

一、典例精析：

例1．如图所示，一带电微粒质量为m=2.0×10-11kg、电荷量q=+1.0×10-5C，从静止开始经电压为U1=100V的电场加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中，微粒射出电场时的偏转角θ=30º，并接着进入一个方向垂直纸面向里、宽度为D=34.6cm的匀强磁场区域。已知偏转电场中金属板长L=20cm，两板间距d=17.3cm，重力忽略不计。求： 带电微粒进入偏转电场时的速率v1；

偏转电场中两金属板间的电压U2； 为使带电微粒不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B至少多大？

解析：

带电微粒经加速电场加速后速度为v，根据动能定理

U1q

12

mv1

2

=1.0×104m/s

v1

2U1qm

带电微粒在偏转电场中只受电场力作用，做类平抛运动。在水平方向微粒做匀速直线运动 水平方向：v1

Lt

带电微粒在竖直方向做匀加速直线运动，加速度为a，出电场时竖直方向速度为v2 竖直方向：a

Eqm

qUdm

qUdm

2

2

Lv1

v2 at 由几何关系

v2v2

U2L2dU

1

tan

qU2Ldmv

21

U

2

2dUL

1

tan

得U2 =100V

带电微粒进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设微粒轨道半径为R，由几何关系知

R

R2 D

R 2D

3

设微粒进入磁场时的速度为v/

v

v1cos30

由牛顿运动定律及运动学规律

qv B

mv R

2

得 B mv

qR

mq

23D

v1cos30

，

B=0.1T

若带电粒子不射出磁场，磁感应强度B至少为0.1T。

例2．如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域的ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为300、大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m，电量为q,ad边长为L，重力影响忽略不计，试求： 粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围。 粒子在磁场中运动的最长时间？ 解析：（1）若粒子速度为v0，则qv0B =m

v0R

2

b

c

， 所以有R =

mv0qB

，

L2

设圆心在O1处对应圆弧与ab边相切，相应速度为v01，则R1＋R1sinθ =

mv01qB

，

将R1 =代入上式可得，v01 =

qBL3m

L2

类似地，设圆心在O2处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v02，则R2－R2sinθ =

mv02qB

，

将R2 =代入上式可得，v02 =

qBLm

qBL3m

qBLm

所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足（2）由t =

2

T及T =

＜v0≤

2 mqB

可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越长，在磁场

中运动的时间也越长。由图可知，在磁场中运动的半径r≤R1时，运动时间最长，弧所对圆心角为（2π－2θ），

所以最长时间为t =

(2 2 )m

qB

=

5 mqB

例3.如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．P为屏上的一个小孔．PC与MN垂直．一群质量为m、带电量为－q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域．粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为 （ C ） A．

2mvqB

B．

2mvcos

qB

Ｃ．

2mv(1 cos )

qB

Ｄ．

2mv(1

sin )

qB

例4．在如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向里，大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角θ为45°且斜向上方。现有一质量为m电量为q的正离子，以速度v0由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点进入电场区域，该离子经C点时的速度方向与x轴夹角为45°。不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大。求： C点的坐标； 离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间； 离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角。

分析：带电粒子从A点出发，至第一次到x轴为第一过程，在这个过程中，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由“画轨迹、找圆心、求半径”的思路求解第 问，同时还可以求出这一过程的时间。（要尽力把图做准确）

带电粒子逆着电场力方向进入电场，在电场中做类似竖直上抛运动，这是第二过程。同牛顿第二定律和运动学公式，可以求这个过程的时间。

带电粒子没与x轴负向夹角为45°的方向进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，此为第三过程。再一次由由“画轨迹、找圆心、求半径”的思路过求得这一过程的时间。

带电粒子垂直电场方向进入电场做类平抛运动（斜面上的平抛运动），这是第四过程。由平抛运动相关知识可求解 问。

解： 磁场中带电粒子在洛仑兹力作用下做圆周运动，故有：qvB=m同时有T=

2πrv

=2πmqB

v

2

r

①

② 粒子运动轨迹如图所示，由几何知识知，

xC＝－（r＋rcos450）＝

(2+

2)mv2qB

③ 故，C点坐标为（－

(2+2)mv

2qB

，0） ④ ⑤

设粒子从A到C的时间为t1，设粒子从A到C的时间为t1，由题意知t1=

58

T=

5πm4qB

设粒子从进入电场到返回C的时间为t2，其在电场中做匀变速运动，由牛顿第二定律和运动学知识，有

qE=ma ⑥ 及2v0=at2 ⑦ 联立⑥⑦解得 t2=

2mv0qE

⑧

设粒子再次进入磁场后在磁场中运动的时间为t3，由题意知t3=

14T=

πm2qB

⑨

故而，设粒子从A点到第三次穿越x轴的时间为：t=t1+t2+t3=

7πm4qB

+

2mv0qE

⑩

粒子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程是在电场中做类似平抛的运动，即沿着v0的方向（设为x′ 轴）做匀速运动，即

x′=v0t ① vx′=v0 ②

沿着qE的方向（设为y′轴）做初速为0的匀变速运动，即 y′=

vy′=

qEm

t ④

1qE2m

t ③

2

设离子第四次穿越x轴时速度的大小为v，速度方向与电场方向的夹角为α． 由图中几何关系知 ⑦

综合上述①②③④⑤⑥⑦得

v=

5v0 ⑧

α=arctan

12

y′0

=cos45 ⑤，v=x′

v0+vy′……⑥ tanα=

22

v0vy′

⑨

例5．在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图甲所示。磁场随时间变化情况如图乙所示．该区域中有一条水平直线MN，D是MN上的一点．在t=O时刻，有一个质量为m、电荷量为+q的小球(可看作质点)，从M点开始沿着水平直线以速度v0做匀速直线运动，t0时刻恰好到达N点．经观测发现，小球在t=2t0至t=3t0

时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线MN上的D点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过D点．求： (1)电场强度E的大小；

(2)小球从M点开始运动到第二次经过D点所用的时间； (3)小球运动的周期，并画出运动轨迹(只画一个周期)．

甲 乙

解：（1）小球从M到N有qE mg 解得E mg/q

（2）小球从M点到达N点所用时间t1 t0

小球从N点经过3/4个圆周，到达P点，所以t2

t0

小球从P点到D点的位移x R

mv0B0q

小球从P点到D点的时间为t3

Rv0

mB0q

所以：时间t t1 t2 t3 2t0

mB0q

（或t

mB0q

3

1

1 ,t 2t0 1 ）

3

（3）小球运动一个周期的轨迹如图所示 小球的运动周期为T 8t0 （或T

12 mqB0

）

例6．如图，与水平面成37°倾斜轨道AB，其沿长线在C点与半圆轨道CD（轨道半径R=1m）相切，全部轨道为绝缘材料制成且放在竖直面内。整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量为0.4kg的带电小球沿斜面AB下滑，至B点时速度为

vB=

1007

m/s，小球在BC段对轨道无压力，着沿直线BC，运动到达C处进入半圆轨道，小球

刚好能到达D点，已知进入时无动能损失，不计空气阻力，g＝10m/s2，cos37°＝0.8，求： （1）小球带何种电荷。（1）正

（2）小球离开D点后的运动轨迹与直线AC的交点距C点的距离． （3）小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功。（2）27.6J

解：（1）正电荷 （2）依题意可知小球在BC间做匀速直线运动． 在C点的速度为：vC vB

1007

m/s

在BC段其受力如图所示，设重力和电场力合力为F.

F＝qvCB 又 F＝mg/cos37°＝5N 解得：qB

FvC

720

在D处由牛顿第二定律可得：

BvDq F m

vDR

2

将qB

720

2

代入上式并化简得：8vD 7vD 100 0

解得:vD 4m/s vD

258

m/s(舍去)

小球离开D点后作类平抛运动，其加速度为：

a＝F/m

12由2R

t

2

at得：

s vDt 2.26m

（3）设

CD段摩擦力做功为W

f,由动能定理可得：

Wf 2FR

12mvD

2

12

2

mvC ）

克服摩擦力做功：W克 Wf

解得：W克 ＝27.6J

二、巩固练习：

1.如图所示，x轴上方有垂直于纸面的匀强磁场，一个质量为m，电量为q的α粒子以速度v竖直向上通过y轴上的N点最后从x轴上的M点射出磁场，已知M点到坐标原点O的距离为L，

α粒子射出磁场的速度方向与x轴负方向夹角θ=30 (不计α粒子的重力)，求：

(1)磁感强度的大小和方向； (2)适当时候，在x轴的上方再加一个匀强电场可以使α粒子最终沿x轴正方向做匀速直线运动。从α粒子经过N点开始计时，经多长时间加这个匀强电场?此电场的电场强度的大小、方向如何?

1.(1)B=3mv/2qL 方向：垂直于纸面向外（２）t= L/3v

2

E=3mv/2qL 沿y轴正方向

2.如图所示，在y>0的区域内有沿y轴正方向的匀强电场，在y<0

的区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场。一电子（质量为m、电量为e）从y轴上A点以沿x轴正方向的初速度v0开始运动。当电

子第一次穿越x轴时，恰好到达C点；当电子第二次穿越x轴时，

恰好到达坐标原点；当电子第三次穿越x轴时，恰好到达D点。C、D两点均未在图中标出。已知A、C点到坐标原点的距离分别为d、2d。不计电子的重力。求

（1）电场强度E的大小； （2）磁感应强度B的大小；

（3）电子从A运动到D经历的时间t．

(1)E=

mv02ed

2

(2)B=

mv0ed

(3)t=

6dv0

+

3 d2v0

3.两块板长L=1.4m，间距d=0.3m水平放置的平行板。板间加有垂直纸面向里，B=1.25T的匀

子在板间运动轨迹。

〔解〕粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的半径

运动．运动周期

它正好等于两板间有电压时的时间间隔，于是粒子射入后在两板间交替地做着匀速直线运动和匀速圆周运动，即加有电压的时间内做匀速直线运动；不加电压的时间内做匀速圆周运动．

粒子经过两板间做匀速直线运动的时间

它等于粒子绕行三周半所需时间，所以粒子正好可作三个整圆，其运动轨迹如图2所示．

4.早期电视机的显像管中要用变化的磁场来控制电子束的偏转。图甲为显像管工作原理示意图，阴极K发射的电子束（初速不计）经电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r，荧光屏MN到磁场区中心O的距离为L。当不加磁场时，电子束将通过O点垂直打到屏幕的中心P点，当磁场的磁感应强度随时间按图乙所示的规律变化时，在荧光屏上得到一条长为23L的亮线。由于电子通过磁场区的时间很短，可认为在每个电子通过磁场区的过程中磁场的磁感应强度不变。已知电子的电荷量为e，质量为m，不计电子之间的相互作用及所受的重力。求： （1）从进入磁场区开始计时，电子打到P经历的时间； （2

M

P

B-B答案：（1）t

L rvm2eU

(L r)

m2eU

（2）t=(2L r)+

mr

6meU

N

乙

5. 如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B。现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力。求：（1）微粒在磁场中运动的周期；（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间；（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值。

解：（1）由 Bqv0 m

T

2 rv0

v0

2

R

得T

2 mqB

（2）粒子的运动轨迹将磁场边界分成n等分（n=2，3，4 ）

由几何知识可得：

2n

；tan

v0r

2

rR

；

又 Bv0q m

得 v0

BqRm

tan

2n

（n=2，3，4 ）

当n为偶数时，由对称性可得 t

n2

T

nm

Bq

（n=2，4，6 ）

当n为奇数时，t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，即

n 12

T

t

nT

(n 1) m

（n=3，5，7 ）

2 2

2n

cos

2n

（3）由几何知识得r Rtan ； x (1分)

且不超出边界须有：

Rcos

2n

Rtan

2n

2R （1分）

得 2cos

2n

1 sin

2n

（1分）

当n=2时 不成立，如图 （1分） 比较当n=3、n=4时的运动半径，

知 当n=3时，运动半径最大，粒子的速度最大．

r Rtan

（2分）

2n

3

mv0Bq

得：v

0

3（1分）

a

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v8xi.html