作业解答

作业解答

1 某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时间服从负指数分布，平均需6分钟。

①判断排队系统模型，画出系统的状态转移速度图；

②理发店空闲的概率、店内有三个顾客的概率、店内至少有一个顾客的概率； ③在店内顾客平均数、在店内平均逗留时间； ④等待服务的顾客平均数、平均等待服务时间。

解: ① 依题意, 该问题是一个M/M/1等待制排队系统，系统容量和顾客源无限。顾客到达按泊松流输入，?e??＝4人／小时，理发时间服从负指数分布，?＝10人／小时。

? 0 1 ? 2 ….. K-2 ? K ? K+1 ? ….. ? ???4?1??0.6。 ?10 ? ? ② 理发店空闲的概率：p0?1? 店内有三个顾客的概率：p3?(434)?(1?)?0.0384。 1010 店内至少有一个顾客的概率：1?p0?0.4。 ③店内顾客平均数：Ls??????4?0.66667。

10?4 在店内的平均逗留时间：Ws?Ls?e?11??0.16667。 ???10?4?e?24?4④等待服务的顾客平均数：Lq?Ls????0.26667。

??(???)10?(10?4)平均等待服务时间：Wq?Lq?e???0.06667。

?(???)

2 某加油站有一台油泵。来加油的汽车按泊松流到达，平均每小时二十辆，但当加油站已有n辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿意等待而离去，离去概率为n／4（n=0,1,2,3,4）。油泵给一辆汽车加油所需要的时间为均值3分钟的负指数分布。 ①画出排队系统的状态转移速度图； ②导出其平衡方程式；

③求出系统的运行参数Ls,Lq,?e,Ws,Wq。

解：根据题意，顾客按泊松流到达，?＝20辆／小时，服务时间服从负指数分布， ?＝20辆／小时。一个服务台C?1，系统容量为N=4，离去的概率为n／4。

①状态转移速度图及状态转移速度矩阵： ?3?/4?/2?/4?????0 1 2 3 4 ????(??3?3?4)4? ? ? ? ?????(????2)2????(????4)???③稳态条件下的状态概率方程：PΛ=0

即：

???????????(??3?3?4)4??(pp?0,p1,2,p3,p4,p5)????(???2)??2??0

????(???????4)4???????????p?0??p1?0?p1??p0， ?p33?0?(??4?)p1??p2?0?p2?4(?)2p0，

3?p??1?)p??p3?341?(223?0?p3?8(?)p0， 1132?p(??4?)p?2?3??p4?0?p4?32(?)4p0。 4由于

?p?k?1，p0?[1?k???34(??)2?38(??)3?332(?4?132?0?)]?103?0.311(??1)。

③系统运行参数：

?????????4???????6?29?312?46912?()?()?()]1???4?4?8?32?4832?128?1.243。 Ls??kpk???3?3?3?333103k?0[1??()2?()3?()4]1?1????4?8?32?4832[Lq??(k?1)pk??kpk??pk?Ls?(1?p0)?k?1k?1k?1444?12871 (Lq?Ls?e) ??0.553。

?103103?e??(Ls?Lq)??(1?p0)?20?71?20?0.6893?13.786（辆/小时）， 或者 103?e??p0??p1?WS?Ls?34?13?3?3?辆p2??p3??p0[1?()?()2?()3]?13.786()。 244?8?32?小时?e128?0.09014(h)?5.408(min)。

71?201?2.408(min)。

Wq?Ws??3 有一台电话的公用电话亭打电话顾客服从??6个／小时的泊松分布，平均每人打电话为3分钟，服从负指数分布。试求

①到达者在开始打电话前需等待10分钟以上的概率；

②顾客从达到时算起到打完电话离开超过10分钟的概率；

③管理部门决定当打电话顾客平均等待时间超过3分钟时，将安装第二台电话，问当?值为多大时安装第二台？

解：依题意，该系统是M/M/1等待制排队系统，??1/10个／min，??1/3个／min。

p0?1????1?0.3?0.7 p1?()1p0?(0.3)1?0.7?0.21 ??p2?()2p0?(0.3)2?0.7?0.063 p3?()3p0?(0.3)3?0.7?0.0189

????p4?()4p0?(0.3)4?0.7?0.00567 p5?()5p0?(0.3)5?0.7?0.001701

①若排队等待时间超过10min, 则队长至少为4，系统中应至少有5个顾客。 出现这种情况的概率＝1?(p0?p1?p2?p3?p4)?1?0.99757?0.00243 ②若逗留时间超过10 min, 则队长至少为4，系统中起码有4个顾客。 出现这种情况的概率＝1?(p0?p1?p2?p3)?1?0.9919?0.0081 ③Wq??????3/）则??1/6时，需要安装第二台电话。 ?3，（??1?(???)4 某汽车修理部有4个修理工，每个修理工可以单独修理汽车，也可以和其他修理工合作共同修理汽车。前来修理部寻求修理的汽车按泊松流到达，平均每天到达2辆。当修理部内有4辆汽车时，后来的汽车将离去。修理一辆汽车所需时间服从负指数分布，若一个修理工修理一辆汽车，则平均需3天；若两个修理工修理1辆汽车，则平均需2天；若3或4个修理工修理一辆汽车，则平均需1.5天。试求： ①画出系统状态转移图； ②求系统状态概率； ③求系统损失率；

④求系统中平均的汽车数量；

⑤求每辆汽车在系统中逗留的时间。

解：依题意，因为修理工可以相互合作也可以单独工作，可以把他们看成最多有4个服务台的一个修理小组，所以该系统为M/M/4/4/∞/FCFS损失制排队系统。??2辆／天，修理部的修理速度?是一个变化的参数，具体如下：?1?1?(1/1.5)?2/3；?2?2?(1/2)?1；

?3?2?(1/3)?1?(1/2)?7/6；?4?4?(1/3)?4/3。??（1）状态转移速度图： ??

0 1 2

?1?2/3 ?2?1

（2）系统状态概率：

?15??0.75 c?2?10? 3 ? 4 ?3?7/6 ?4?4/3 ?p0??1p1?p1?3p0；

?p0??2p2?(?1??)p1?p2?8/3p1?2p0?6p0；

?p1??3p3?(?2??)p2?p3?(3p2?2p1)(7/6)?72/7p0；

?p2??4p4?(?3??)p3?p4?(19/6p3?2p2)(4/3)?108/7p0。

由

?pk?04k?1可得，p0?[1?3?6?72/7?108/7]?1?7/250?0.028；

p1?0.084;p2?0.168;p3?0.288;p4?0.432。

（3）系统损失率p损?p4?0.432。 （4）系统中平均的汽车数量

Ls??n?1npn?1?0.084?2?0.168?3?0.288?4?0.432?0.084?0.336?0.864?1.728?3.0124。

（5）每辆汽车在系统中逗留的时间 首先，?e??(1?p4)?2?(1?0.432)?。因此，每辆汽车在系统中的逗留时间1.136Ws?Ls/?e?3.012/1.136?2.651。

5 某厂医务室有2名同等医疗水平的大夫。已知患病者按泊松流来医务室求诊，平均每小时到达15人；诊病时间平均每人6min，且服从负指数分布；医务室最多能容纳6位病人，若已有6位病人，后来的病人会到别处就诊，问： （1）医务室空闲的概率；

（2）在医务室逗留的病人及排队等待就诊的病人各为多少？ （3）每位病人平均在医务室等待的时间是多少？

解：依题意，该系统为M/M/2/6/∞/FCFS混合制排队系统。??15人／小时，??10人／小时，系统容量为6个人，超过则到别处就诊。??（1）医务室空闲的概率：

?15??0.75 c?2?10?c(c?)ncc?(?c??N)?p0????n!c!(1??)??n?0??1?2(2?0.75)n22?0.75?(0.752?0.756)??????

n!2!?(1?0.75)?n?0??[3.625?2.30713]?1?0.16857（2）排队等待就诊的病人：

?1cc??c?1p0Lq?[1??N?c?N(?c?)N?c?(1?2c!(1??)

)](1 0.75)]22?0.72?51p06?262?[1?0.75??(62)?0.7?522!(?10.75)?13.?50.36?7p108?0.8356逗留的病人：

?cnn?p0??n!pn??c?c?np0??c!1?n?cc?n?Nccn22?p6??p0?0.756p0?0.06

c!2!1Ls?Lq????L?c(1?eq??PN)

?0.835?6?20.?7?5(1 0.06)?2.2456

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