人教a版必修1学案1.2.1函数的概念(含答案)

§1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念

自主学习

1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．

2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域． 3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2．函数的三要素是定义域、值域和对应关系．

3．由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同．

4．(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]． (2)满足不等式a

(4)实数集R用区间表示为(－∞，＋∞)．

(5)把满足x≥a.，x>a，x≤b，x

对点讲练

判断对应是否为函数

【例1】 判断下列对应是否为函数：

2

（1）x?，x≠0，x∈R；（2）x?y，这里y2＝x，x∈N，y∈R；

x

(3)集合A＝R，B＝{－1,1}，对应关系f：当x为有理数时，f(x)＝－1；当x为无理数时，f(x)＝1，该对应是不是从A到B的函数？

分析 函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：

(1)定义域和对应关系是否给出；

(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应．

2

解 (1)对于任意一个非零实数x，被x唯一确定，

x2

所以当x≠0时，→是函数，

x

2

这个函数也可以表示为f(x)＝(x≠0)．（2） 当x=4时，y2 =4，得y=-2,不是有唯一值

x和x对应，所以，x→y(y2＝x)不是函数．

(3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应． 规律方法 判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)．

变式迁移1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数： （1）A=R，B=R，对任意的x∈A，x→x；

（2）A={（x，y）|x，y∈R}，B=R，对任意的（x，y）∈A，（x，y）→x+y； （3）A=B=N*，对任意的x∈A，x→|x-3|. 解 (1)是．

(2)不是，因为集合A不是数集．

(3)不是，因为当x＝3时，在集合B中不存在数值与之对应．

已知解析式求函数的定义域

【例2】 求下列函数的定义域：

－x311(1)y＝； (2)y＝2； (3)y＝2x＋3－＋. 2x－3x－21－1－x2－xx

分析 求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围．

??1－x≥0，?x≤1

解 (1)要使函数有意义，需????x≤1且x≠0，所以函数y＝

?x≠0??1－1－x≠0

2

3

的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．

1－1－x

??－x≥0，

(2)要使函数有意义，需?2

?2x－3x－2≠0?

x≤0，??1

??1?x≤0且x≠－2. ??x≠2且x≠－2－x故函数y＝2的定义域为

2x－3x－2

?－∞，－1?∪?－1，0?.

2??2??

2x＋3≥0，??

(3)要使函数有意义，需?2－x>0，

??x≠0.3

解得－≤x<2且x≠0，

2所以函数y＝2x＋3－

11

＋的定义域为 2－xx

?－3，0?∪(0,2)． ?2?

规律方法 求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等． 变式迁移2 求下列函数的定义域：

?x＋1?6(1)f(x)＝2； (2)f(x)＝3x－1＋1－2x＋4； (3)f(x)＝. x－3x＋2|x|－x解 (1)由x2－3x＋2≠0，得x≠1，x≠2.

6

∴f(x)＝2的定义域是{x∈R|x≠1且x≠2}．

x－3x＋2

??3x－1≥011(2)由?，得≤x≤. 32?1－2x≥0?

0

11?∴f(x)＝3x－1＋1－2x＋4的定义域是??3，2?.

?x＋1≠0?x≠－1??(3)由?，得?

??|x|－x≠0|x|≠x，??

∴x<0且x≠－1，

∴原函数的定义域为{x|x<0且x≠－1}．

两函数相同的判定

【例3】 下列各题中两个函数是否表示同一函数： (1)f(x)＝x，g(x)＝(x)2； (2)f(x)＝x，g(x)＝x2； x2－4

(3)f(t)＝t，g(x)＝x； (4)f(x)＝，g(x)＝x＋2.

x－2

33分析 要判断两个函数是否为同一函数，关键在于看函数的两要素：定义域和对应关系是否相同，两者只要有一个不同，两个函数就不是同一函数．

解 (1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同， 故不是同一函数．

(2)g(x)＝x2＝|x|，两个函数对应关系不同，故不是同一函数． (3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数．

(4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数． 规律方法 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：

(1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应关系不同，两个函数也是不同的；

(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系； (4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关． 变式迁移3 试判断下列函数是否为同一函数：

(1)f(x)＝x·x＋1与g(x)＝x?x＋1?； (2)f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t； (3)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)． 解 (2)是，(1)、(3)不是．

对于(1)，f(x)的定义域为[0，＋∞)， 而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)． (3)也是定义域不同．

求函数的值域

【例4】 (1)已知函数f(x)＝x2－2x，定义域A＝{0,1,2,3}，求这个函数的值域； 1

(2)求函数f(x)＝2，x∈R，在x＝0,1,2处的函数值及该函数的值域．

x＋1

解 (1)函数的定义域为A＝{0,1,2,3}，分别令x＝0,1,2,3得相应的函数值分别为0，－

1,0,3，于是知，函数的值域为{－1,0,3}． 11

(2)f(0)＝1，f(1)＝，f(2)＝.

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容易看出，这个函数当x＝0时，取得最大值，当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并无限接近于0，但永远不会等于0. 从而可知，这个函数的值域为(0,1]．

规律方法 (1)求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数，其值域是指集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域和对应关系．对应关系相同，而定义域不同，其值域肯定不同，如f(x)＝x2－2x，x∈[0,2]与f(x)＝x2－2x，x∈R.

(2)求函数的值域没有固定的方法和模式，就目前阶段主要用观察法求值域，但函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．

变式迁移4 (1)函数f(x)＝x－1(x≥1)的值域为________(用区间表示)； 2

(2)函数y＝(1≤x≤2)的值域为______(用区间表示)．

x答案 (1)[0，＋∞) (2)[1,2]

1．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．

2．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．

3．区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具．

一、选择题

1．下列集合A，B及对应关系不能构成函数的是( )

1A．A＝B＝R，f(x)＝|x| B．A＝B＝R，f(x)＝ x

C．A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3 D．A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0 答案 B

课时作业

解析 在B项中f(0)无意义，即A中的数0在B中找不到和它对应的数． x2－1f?2?

2．设f(x)＝2，则等于( )

1?x＋1?f?2?

33

A．1 B．－1 C. D．－ 55答案 B

?1?2－1

2－131??2?3

解析 ∵f(2)＝2＝，f?＝＝－

52＋15?2??1?2

?2?＋1

2

∴

f?2?

＝－1. 1?f??2??x－1?0|x|＋x

的定义域是( )

3．函数y＝A．(0，＋∞) B．(－∞，0)

C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞) 答案 C

??x－1≠0解析 由?，得x>0且x≠1.

?|x|＋x>0?

4．下列各组函数表示同一函数的是( )

x2－9

A．y＝与y＝x＋3 B．y＝x2－1与y＝x－1

x－3

C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0) D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z 答案 C

解析 A中的两函数定义域不同，B中的两函数值域不同，D中的两函数对应关系不同，C正确．

5．给出四个命题：

①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；③因f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了． 以上命题正确的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案 D 二、填空题

6．将集合{x|2≤x≤8}表示成区间为____________． 答案 [2,8]

7．若f(x)＝

5x

，且f(a)＝2，则a＝________. x＋1

21

答案 2或 2

8．函数y＝x2－2的定义域为{－1,0,1,2}，则其值域为________． 答案 {－1，－2,2} 三、解答题

9．求下列函数的定义域：

5－xx2－1＋1－x2(1)f(x)＝； (2)y＝.

|x|－3x－1解 (1)要使函数有意义，需满足

???5－x≥0?x≤5

?，即?，在数轴上标出，如图， ??|x|－3≠0x≠±3??

即x<－3或－3

故函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． 当然也可以表示为{x|x<－3或－3

(2)要使函数有意义，需满足?1－x≥0，

??x－1≠0，∴函数的定义域为{－1}． x2

10．已知函数f(x)＝.

1＋x21??1?； (1)求f(2)与f?，f(3)与f?2??3?1?

(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f??x?有什么关系？并证明你的发现； 1??1??1?. (3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2 010)＋f?＋f＋?＋f?2??3??2 010?x2解 (1)∵f(x)＝，

1＋x22

解得x＝－1

?1?2?2?24?1?1

∴f(2)＝＝＝， 2＝，f1?251＋25?2??1＋?2?2

?1?2

?3?1?391?f(3)＝＝，f＝＝. 21101＋310?3?2?1＋??3?2

1?(2)由(1)可发现f(x)＋f??x?＝1，证明如下：

?1?2

?x?1?xx21?f(x)＋f?x?＝＝2＋2＋2＝1. 11＋x1＋x1＋x2?1＋??x?2

1??1?＝1，?， (3)由(2)知：f(2)＋f?＝1，f(3)＋f?2??3?1?

f(2 010)＋f??2 010?＝1，

11∴原式＝＋1＋1＋1＋?＋1个＝2 009＋

222 009＝4 019. 2

【探究驿站】

11．已知f(x)的定义域为(0,1]，求g(x)＝f(x＋a)·f(x－a) (a≤0)的定义域． 解

由已知得

即

用数轴法，讨论(1)

1

(2)当a≤－时，x∈?，即函数不存在；

21

(3)当－

2

当a＝0时，x∈(0,1]；

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