随机数学作业（答案）全部

作业1（随机过程的基本概念）

1、对于给定的随机过程{X(t),t?T}及实数x，定义随机过程

?1,X(t)?x，t?T Y(t)???0,X(t)?x请将{Y(t),t?T}的均值函数和相关函数用{X(t),t?T}的一维和二维分布函数表示。 解：

E(Y(t))?P(X(t)?x)?Ft(x)RY(s,t)?E(Y(s)Y(t))?P(Y(s)Y(t)?1)?P(X(s)?x1,X(t)?x2)?Fs,t(x1,x2)2、设Z(t)?X?Yt,?t?R，其中随机变量X，Y相互独立且都服从N(0,?2)，证明

{Z(t),?t?R}是正态过程，并求其相关函数。

?Z(t1)??1???提示：注意到?????Z(t)??1?n??t1???X???Y?即可证得{Z(t),?t?R}是正态过程。 ??tn??按照相关函数的定义可得RZ(s,t)??2(1?st)

3、设{W(t),t?0}是参数为?的Wiener过程，求下列过程的协方差函数： （1）{W(t)?At,t?0}，其中A为常数； （2）{W(t)?Xt,t?0}，其中X（3）{aW(2

N(0,1)，且与{W(t),t?0}相互独立；

t),t?0}，其中a为正常数； 2a1（4）{tW(),t?0}

t提示：Wiener过程就是指Brown运动。 （1）令Z(t)?W(t)?At,t?0，由定义求得

E(Z(t))?At2CZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?min｛s，t｝

具体在求的时候，可以先假设s?t，然后再求（下同）。 （2）令Z(t)?W(t)?Xt,t?0，由定义求得

E(Z(t))?0CZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?min｛s，t｝+st（3）Z(t)?aW(2

t),t?0 a22E(Z(t))?01tCZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?min｛s，t｝（4）Z(t)?tW(),t?0

E(Z(t))?02CZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?min｛s，t｝

4、设随机过程{X(t),t?T}，其中X(t)?Xcos(?t),t?R，且w为常数，X服从正态分布，EX?0,DX?1，求过程的一维分布密度和协方差函数。 提示：

容易证明，X(t)

N(0,cos2(?t))，此即过程的一维分布。

由n维正态随机变量的性质，?t1,t2?T,(X(t1),X(t2))服从二维正态分布。协方差阵等等也容易求。

t?X?Ytt,R?5、设Z()的协方差函数。

提示：

??12，已知二维随机变量（X，Y）的协防差矩阵为?????，求Z(t)2??2?2 CZ(t1,t2)?D(X)?t1t2D(Y)?t1cov(Y,X)?t2cov(Y,X)??12?(t1?t2)??t1t2?2

?6、设有两个随机过程，X(t)?Asin(?t??),Y(t)?Bsin(?t????),A,B,?,?为常数，

服从[0,2?]上的均匀分布，求RXY(t1,t2)。

提示：RXY(t1,t2)?

1ABcos(?(t2?t1)??) 27、设X(t)?X0?Yt,t?[a,b]，X0与Y独立同分布，都服从N(0,1)的随机变量，证明

{X(t),t?T}为二阶矩过程，也是正态过程。

（易证，从略）

8、在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率都为p(0?p?1)，记X(n)为n次试验为止A发生的次数，证明{X(n),n?0,1,2,}是独立增量过程.

提示：X(n)B?n,p?，令Y(n)?X(n)?X(n?1)，则

B(m,p)，得证。

P(Y(n)?0)?1?p，

P(Y(n)?1)?p且X(n?m)?X(n)

作业2（Poisson过程）

1、设{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程，令Y(t)?N(t?L)?N(t)，其中L>0为常数，求{Y(t),t?0}的一维分布，均值函数和相关函数。 提示：

Y(t)?N(t?L)?N(t)~P(?L)，从而得到{Y(t),t?0}的一维分布（写出分布列即可）；

由Y(t)?N(t?L)?N(t)~P(?L)，易得E(Y(t))??L

相关函数的稍微复杂点，但方法就是求期望，没特别的地方。给出关键步骤，其他自己补齐。

RY(s,t)?E(Y(s)Y(t))?(代入Y（t）形式展开)?RN(s?L,t?L)?RN(s?L,t)?RN(s,t?L)?RN(s,t)??2(s?L,t?L)??min(s?L,t?L)??2t(s?L)??min(t,s?L)??2s(t?L)??min(s,t?L)??2st??min(s,t)22???L??(L?|t?s|),当|t?s|?L??22???L,当|t?s|?L,

2、设{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程，证明对于任意的0?s?t，

skskP(N(s)?k|N(t)?n)?Cn()(1?)n?k,k?0,1,tt证明：

,n

P(N(s)?k|N(t)?n)P(N(s)?k，N(t)?n)P(N(t)?n）P(N(s)?N(0)?k，N(t)?N(s)?n?k)?P(N(t)?n）P(N(s)?N(0)?k)P(N(t)?N(s)?n?k)?P(N(t)?n）=?(由增量服从Possion分布，代入分子分母)整理sksk?Cn()(1?)n?k,k?0,1,tt

,n

3、通过路口的车流是一个泊松过程，设1分钟内没有车辆通过的概率为0.2，求2分钟内有多于1辆车通过的概率。 提示：

记N(t)表示【0，t】内通过车辆数，则{N(t),t?0}是Poisson过程，

P(N(1)?0)?e???0,2 ????ln0.2P(N(2)?1)?1?P(N(2)?1)?1?e?2??2?e?2??0.83

4、设在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为Pt(k)??kk!e??,k?0,1,,其中??0为常

数，如果任意两个时间间隔内呼叫次数是相互独立的，求在2t内呼叫n次的概率P2t(n)。 解：

记A表示时间2t内呼叫n次的事件，记第一时间间隔内呼叫为Hk,则P(Hk）=Pt(k)，第二

时间间隔内P(A|Hk)?Pt(n?k)，于是

P2t(n)??Pt(k)Pt(n?k)??k?0k?0nn?kk!e???n?k(n?k)!e???(2?)n?2??e

n!

5、设随机变量X，Y相互独立，并分别服从参数为?1,?2的泊松分布，证明

kP(X?k|X?Y?n)?Cn(?1?1??2)k(1??1?1??2)n?k,k?0,1,,n

证明：

P(X?Y?n)??P(X?k,Y?n?k)??P(X?k)P(Y?n?k)k?0k?0nn??k?0n?1kk!e??1?2n?k(n?k)!e??2?(?1??2)n?(?1??2)?en!?P(X?k|X?Y?n)??k?Cn(

P(X?k,X?Y?n)P(X?k)P(X?Y?n)?P(X?Y?n)P(X?Y?n)?1?1??2)k(1??1?1??2)n?k,k?0,1,,n

6、设{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程，

pij(s,s?t)?P(N(s?t)?j|N(s)?i),i,j?0,1,证明

,

t?0?limpij(s,s?t)?pij(s,s)t???,j?i????,j?i?1 ?0,其他?证明：

??(

91547?1,0,?2,?1,0,?1,?1)，其中?1??2?1,?1?0,?2?0 464623234、设齐次Markov链{Xn,n?0}的状态空间是{1,2,3}，状态转移矩阵为

?qP???q??0p0q0?p?? p??其中p(0?p?1)，q?1?p，问该Markov链{Xn,n?0}是否为遍历链，为什么？若是，求极限分布。

?q?解：由P?q???0p0q?q2?pqpq0??(2)22p?2pq，与P?P??q??q2p?pq??p2??p2?， pq?p2??p2P(2)?q2?pqpq??P2??q22pq?q2pq?p0q??p2?种元素都大于0，说明3个状态互通，即具有相同pq?p2??0?p??知道状态1为非周期态，于是3个状态都是正常返非周期p???q?的状态类型，由P?q???0态。由于每个元素都大于 0，从而该Markov链{Xn,n?0}是遍历链，于是极限分布就是平稳分布，设平稳分布为??(?1,?2,?3)，求解方程组

????P ???????123?1可得

?1?1pp1??()2qq;?2?pqpp1??()2qq;p()2q?3?pp 1??()2qq5、设Markov链{Xn,n?0}的状态空间是{1,2,}，转移概率矩阵为

?1?p1?1?p2??1?p3P????1?pk??其中pk?e?1/k,k?1,2,解

(n)f11?p1?p10000p20000p30000pk????? ????，证明状态1为常返状态。

?pn?1?p1??pn?1?pn,n?1,2,??fk?1n(k)11?1?p1??pn?1?pn

?f11??fk?1?(k)11?lim?fn??k?1n(k)111?1?limexp{??}?1n??k?1kn所以状态1为常返状态。

6、某厂的商品销售状态可分为三个：分别用1，2，3表示滞销、正常和畅销，经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化与初始时刻无关，状态转移概率矩阵为

0??1/21/2?

P??1/31/95/9????1/62/31/6??试对经过长时间后的销售状况进行分析。

解：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且pii?0，所以所有状态都是遍历状态，于是极限分布为平稳分布，设平稳分布为??(?1,?2,?3)，求解方程组

????P ???????123?1可得

?1?即极限分布为??(

二、证明题 1、设Yk,k?1,2,896,?2?,?3? 232323896,,) 232323为相互独立的随机变量，证明

（1）{Yk,k?1,2,n}是Markov链；

}是Markov链。

（2）{?Y,n?1,2,kk?1（课堂讲过，答案略。）

2、设某人有r把伞，分别放在家里和办公室里。如果他出门遇到下雨（概率为p(0?p?1)），手边也有伞，他就带一把用，如果天晴他就不带伞，证明 长时间后，此人遇到下雨手边却无伞可用的概率?解：

令状态为此人身边所有的伞数，，则转移概率为

1。 4rp0r?1因为此时此人手头无伞可带！当手头有i把伞，而天不下雨，pi,r?i?1?p所以也就无需带伞，因此另外一处有r-i把伞；

当手头有i把伞，而天下雨，pi,r?i?1?p所以也就需带伞至另一处，因此另外一处有r-i+1把伞；i?1,2,,r,?r}，求解

可知状态0,1，……，r互通，且每个状态周期都为1，因此存在平稳分布，此时平稳分布就是极限分布。设平稳分布为??{?0,??r??0??1P????q??jr?jr?j?1p,j?1,2,????0??rq?r????1k??k?0得到

,r?1

??{q1,,r?qr?q,1} r?q

所以长时间后此人遇到下雨但无伞可带的概率为

p?0?pq1?r?q4r因为p，q必定有一个?0.5,一个?0.5

从而乘积?0.25,

3、设Markov链{Xn,n?0}的状态空间是{0,1,2,}，转移概率为

p0i?pi?0,pi,i?1?1,i?1,2,证明

（1）Markov链{Xn,n?0}是常返的不可约的； （2）Markov链{Xn,n?0}是零常返的充分必要条件是

,p00?p0

?npn?1??n?1??；

（3）Markov链{Xn,n?0}是正常返的充分必要条件是

??pn???为??i??n?1,i?0,1,?npn?1??n?1??npn?1n?1??，且此时的平稳分布

????。 ???

(k)证明：（1）由于所有状态互通，所以所有状态具备相同的状态类型，又由于f00?pk?1,从

而

f00??fk?1?(k)00??pk?1?1，即状态0是常返的，所以整个马链也是常返的。

k?1?（2）注意到?00??nfn?1?(n)00??npn?1及其整个马链所有状态互通即得。

n?1?（3）类似于（2），马链正常返的充要条件是 由于?0??npn?1?n?1??

1?00?1?npn?1?，所以利用?0?p0?0??1得

n?1

?1?(1?p0)?0??npn?1n?1??p?n

n?1由?1?p1?0??2得

?2?(1?p0?p1)?0??npn?1n?2??p?n

n?1

………………………… 由?i?1?pi?1?0??i得

?i?(1?p0?p1??pi?1)?0??npn?1n?i??p?n

n?1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v8p5.html