20150907高数答案全部

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数

?x,x?1????1．f(x)??x?1；2.略 ；3.（1）[?2,2],[?,],f(1)=，f(2)=

2264?2,x?1（2）D?(??,0)?(0,??),W?(??12?2t,0?t?1??14.S(t)???t2?2t?1,1?t?2

?21,t?2?????1??,0)?(0,)h()=，h(1)=.，． 22433第二节 数列的极限

1.C 2.必要 3.（1）对 （2）对

第三节 函数的极限

1.C 2.充分且必要 3.必要 充分 4 limf(x)?1,lim?(x)不存在 5 2

x?0x?0第四节 无穷小与无穷大

1.B 2(1)x??1 (2) x?1 3,y?0,x??2

第五节 极限运算法则

1111．(1)对 （2）错 （3）错 2,0 3. 4. 5.（1）?1 (2)3 (3) (4)2

2221 （5） (6)0 6．a?1,b??1

2第六节 极限存在准则 两个重要极限

213?6(4)e 1．(1)1 (2) （3） (4)?1 (5)2 2．(1)e (2)e (3)ln 232第七节 无穷小的比较

131．C 2．A 3．D 4. a?1,b??4 5.(1) 1 (2) (3) 4 (4)

22

(2)1 (3)4

第八节 函数的连续性与间断点

1．C 2．A 3.a?1 4.a?b 5. 第一类间断点是0, 1,第二类间断点是6. x?0是第一类间断点，x?1是第二类间断点

1 2?0,0?x?1?1?x?1为间断点， 7.y(x)??,x?1?2??1,x?1第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

1．(1)3 (2)1 (3)e (4)e2 (5e)?1 2．a?2,b?3 2第一章 综合练习题

一、1．f?g(x)????0，x?02?x,x?0 2. ?1 3. 对任意给定的??0，?X?0，当x??X时，2有不等式f(x)?a?? 4. 7.

1 5.f(x0?0)，f(x0?0)都存在 6.x?2，二 42 8. b?3 9. a?2 10. x?0 3二、1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7.B 8.A 9.A 10.B

11.A 12.B 13B.

?13311三、1．? 2． 3． 4．?1 5． 6． 7．e2 8． 1 9. ?

244231四、4 五、a?4,b??2

?0,0?x?2?六、f(x)??22,x?2x?2为间断点，第一类跳跃间断点 .

?x2,x?2?第二章 导数与微分 第一节 导数概念

1．（1）充分，必要 （2）充要 （3）?2 （4）??1 （5）3 （6）2

2.(1) B (2)D (3) D (4) B

?2x2,x?13. f?(0)=0 4. f?(x)=?

2x,x?1?，a??1，5．当x?0时，f(x)连续，可导；当x?0时，b?1连续；当x?0时，b?1时可导；当a??1时f(x)不可导

第二节 函数的求导法则

133?52e2x(x?1)2lnx2?1． 2． (1)y???2+x (2)y?? (3)y?323x2xx1?2lnx1 (5)y??y??csxc (6)(4)y???1?x2（8）y??12?si2n1x (7)y??2sine 2x?1xx112x?2 2x?13.x?y?1?0,x?y?1???0

?4．(1)e4 (2)2 5．(1)y??1f?(ln(x)ef(x)?f(lnx)ef(x)f?(x)(2)y???2xf?(x2)sinf(x2) x第三节 高阶导数

2x4x?? (2)y?2221?x(1?x)1．(1)y???2arctanx?2．f?(0)?(?1)n!fn(n?1)(x)?(n?1)! 3.f(27)f??(x)f(x)?(f?(x))2 (?)?0 4.y???2f(x) 5. f?(x)f(x)

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

1．2e 2． x2lnx?21?t2（?2lnx?1） 3．

4teysint4． 5．x?y?5?0 y1?esint第五节 函数的微分

1．(1) 5

(1)dy?1?lnx?xdx (2)dy?[e(sin(3?x)?cos(3?x))]dx 2x222?3?xln3dx (3)dy?8xtan(1?2x)sec(1?2x)dx (4)dy??x1?31dx 2 第二章 综合练习题

2．(1)?dx (2)??dx (3)一、1．

1132t 2．e(1?2t) 3．1 4．3x?y?7?0 5．2e 6．.

sin2(sin1)x12xe?1?2 2． 2 3．cos(f(sinx))?f?(sinx)cosx 2x?1e?1二、1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 三、1．4．axaaa?1?axa?1ax?lna?axaaln2a 5．n!fn?1(x) 6．1

ax7．

12xf?(x)dx 8．f?(x0)??(x0) 9． ?f?(0)

ey4x1sint434sin2xtant,4xsin2x四、1． 2． 3． 4． ， ?1y42siny?xe3acoste五、1．a?2,b??1 2．(1)??2,(2)??3 六、1．y?2x,y??1161x 2．??0.204m/min 3． 2252第三章 微分中值定理与导数的应用

第一节 微分中值定理

1．??4??1

第二节 洛必达法则

（1）

11141（2）3（3）（4）?（5）（6）（7）1 2224?第三节 泰勒公式

1．x?x?23141x???xn?0xn 2!(n?2)!??n2．1?(x?1)?(x?1)???(?1)(x?1)?2n(?1)n?1?1??(x?1)?n?2(x?1)n?1(0???1)

3．

1 4第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

1． 单调递增区间[?1,0)和[1,??)，单调递减区间(??,?1]和?0,1? 2． 拐点?1,?7?，凸区间?0,1?，凹区间?1,??? 5．a??39，b? 22第五节 函数的极值和最大值最小值

1． 极小值f?0??0，极大值f(?1)?1 2．最大值为f?2??4，最小值为f?1???7 3．h?4r

第七节 曲率

k?2，R?1．

?2?1331 3．,?ln2 2．点?处曲率半径最小，值为 ???22?2?第三章 综合练习题

一、1．1 2．

2e 3．??2,0???0,2?

二、1．B 2．A 3．D 4．D 5． A 三、1．

1111 2． 3． 4．1 5．1 6． 2466六、取得极大值 九、P???12? ,???33?第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

31225231321．（1）x?x?x2?x?c （2）?arctanx??c （3）?x?2arctanx?c

x2533（4）e?arctanx?c (5)

x13x?x?arctanx?c (6)?cotx?tanx?c 33（7）secx?tanx?x?c （8）x?x?arctanx?c

2．x?4x?1

2第二节 换元积分法

13?1123?2x?c 3．2sinx?c 4．ex?c 1．?(3?2x)2?c 2．?231ln(x2?1)?2arctanx?c 21111338．cosx?cosx?c 9．x?sin4x?c 10．secx?secx?c

32835．3?2lnx?c 6．arctane?c 7．

x11．?12x?112?3xcotx?c 12．ln?c ?c 13．arcsin22122?3x14．

121x?ln(1?x2)?c 15．ln(x2?2x?2)?arctan(x?1)?c 2216． 2x?1?2ln(x?1?1)?c 17． 66x?6arctan6x?c

18．

1?x21??arcsinx?c 19． xx2x2?4?2arccos?c

x第三节 分部积分法

12x12x1?lnx?c （3）xarctanx?1?x2?c 1．（1）xe?e?c （2）?24x

1211xarctanx?x?arctanx?c 2221211（5）?xcos2x?xsin2x?cos2x?c

2241211（6）x?xsinx?cosx?c （7）(2x?1?1)e2x?1?c

42212x12(8) e(sinx?2cosx)?c (9) xtanx?lncosx?x?c

52（4） 2．

xcosx?2sinx?c

x第四节 有理函数的积分

1．lnx?11x?1x1ln(1?x2)?c 2．ln?c ??c 3．ln(x2?2x?5)?arctan222x?1x?14．

11arctanln(x2?1)?lnx?1?c 5．22tanx2?c 2第四章 综合练习题

1?x3一、1．?e?c 2．tanx?x?c 3．x?c

34．21?4x2 5．?2cotx?x?c

二、1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．C 三、1．

1111?3arctanx??c ??c 2．2x2(1?x)1?x3．?1211cotx?c 4．tan2x?lncosx?c 5．?ln?3?cos2x??c 222251111536．tanx?tanx?c 7．?(1?3x)3?(1?3x)3?c

536158．x?ln(1?ex)?c 9．tanx?secx?c 10．arccos11．xtanx?lncosx?c12．2arctanx?c 13．?1?c x11xcos2x?sin2x?c 4814．

11lnxx?1?ln?c 15．(1?x2)ln(1?x2)?x2?c 16．arctane2x?1?c

221?xx131xlnx?x3?c 39四、x(1?lnx)?c 五、

第五章 定积分

第一节 定积分的概念与性质

1．（1）? （2）0 2．(1)3 (2)2 3．（1）

?21lnxdx?

3 2?1?lnx?22dx （2）?xdx?01?10ln(1?x)dx．

4.f(x)?2x?第二节 微积分基本公式

2sinx2?sin2x1．(1) ? (2) 0 (3)

x2．(1) 2 (2) 3．（1）?1 217? （2） （3）22?1 （4）8 624．x?0时I(x)有极小值，极小值为I(0)?0

第三节 定积分的换元法和分部积分法

1．（1）

2??2 （2）2(3?1) （3）1? （4）1?2ln2 （5）? 94233?212?2(43?3)?1?ln2 （3）2? （4） 2．（1）?e? （2）44e41223．（1）ln

54? （2） （3）?6? （4） 434第四节 反常积分

1（1）收敛，

181 （2）收敛， (3）收敛，2 （4）发散 23p?22．x?1是瑕点，

4第五章 综合练习题

112x2一、1．2xe 2．2ln2 3． 4．1 5．2 6．

312二、1．D 2．B 3．A 4．D 5．C 6． B

4?三、1． 2． 3．22?1

152??4．42 5．ln(1?e)? 四、1．

e7 6． e?18145?1 2．?1 3．?2 4．3 5． 6．1

e?2第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何学上的应用

1．512 2．163 3．?24 4．????4ln2?3?2?? 5．6? 第三节 定积分在物理上的应用

1．

503 2．2560吨 3．38465

第六章 综合练习题

一、1．

13 2．1?ln?2?1? 3．151242? ，

5? 二、1．B 2． B 3．B 4．A 5．A

三、1．ee2?1 2． 2 3． (1) (3,9) ，y?6x?9（2）81?104． ?4,2ln2? 5．a?4，3251875?

6．3823

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