2015年浙江温州市高三第二次适应性测试数学（文）

2015年浙江温州市高三第二次适应性测试数学（文）

一、选择题（共8小题；共40分）

1. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是______

A. ??=??? A. 向右平移 个单位

2π2

B. ??=2??

C. ??=log2??

π2

D. ??=2??

2. 要得到函数 ??=sin?? 的图象，只需将函数 ??=cos?? 的图象______

B. 向左平移 个单位 D. 向左平移 π 个单位

B. 任意的 ??∈??，都有 ??2<0 成立 D. 存在 ??0∈??，使得 ??2<0 成立

C. 向右平移 π 个单位

A. 任意的 ??∈??，都有 ??2≤0 成立 C. 存在 ??0∈??，使得 ??2≤0 成立

3. 命题“任意的 ??∈??，都有 ??2≥0 成立”的否定是 ??

2??+??+2≥0

4. 若实数 ??，?? 满足不等式组 ??+???1≤0，则 ??=???2?? 的最小值等于 ??

??≥0

A. 1

B. 2

C. ?1

D. ?2

5. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是______

A. 18π?20 cm3 C. 18π?28 cm3

??2

??2

B. 24π?20 cm3 D. 24π?28 cm3

6. 已知双曲线 ??2???2=1 的渐近线与圆 ??2+ ???2 2=1 相交，则该双曲线的离心率的取值范围是______

A. 3,+∞

B. 1, 3

C. 2,+∞

D. 1,2

??≤0 2??

7. 已知 ????= ，则方程 ?? ?? ?? =2 的根的个数是 ??

∣log2??∣ ??>0

A. 3 个

B. 4 个

C. 5 个

D. 6 个

=5，则 △?????? 的形状是 8. 在 △?????? 中，????=5，??，?? 分别为 △?????? 的重心和外心，且 ????????? ??

A. 锐角三角形 C. 直角三角形

B. 钝角三角形

D. 上述三种情况都有可能

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二、填空题（共7小题；共35分）

9. 集合 ??= 0,∣??∣ ，??= 1,0,?1 ， 若 ????? ， 则 ??∩??= ______；??∪??= ______；?????=

______．

10. 设两直线 ??1: 3+?? ??+4??=5?3?? 与 ??2:2??+ 5+?? ??=8，若 ??1∥??2，则 ??= ______；若

??1⊥??2，则 ??= ______．

11. 设等差数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，若 ??3=2，??9=12，则数列 ???? 的公差 ??= ______，??12=

______．

= 3,?1 ，则 ∣???? ????? + ∣= ______；???? = 12. 已知 ???????????? 为正六边形，若向量 ????????

______（用坐标表示）．

13. 若椭圆 ??:??2+??2=1 ??>??>0 经过点 ?? 0, 3 ，且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则 ??=

______．

14. 若实数 ??，?? 满足 ??2+??+??2+??=0，则 ??+?? 的范围是______．

15. 如图所示的一块长方体木料中，已知 ????=????=2，????1=1 设 ?? 为线段 ???? 上一点，则该长方

体中经过点 ??1，??，?? 的截面面积的最小值为______．

??2

??2

三、解答题（共5小题；共65分） 16. 已知函数 ?? ?? =sin2???2sin2??．

（1）求函数 ?? ?? 的最小正周期；

（2）求函数 ?? ?? 在 ?4,

π3π

8

上的值域．

17. 已知数列 ???? 满足 ??1=1，且 ????+1=2????+3 ??∈??? ．

（1）设 ????=????+3 ??∈??? ，求证 ???? 是等比数列； （2）求数列 ???? 的前 ?? 项和 ????．

18. 如图所示，在三棱锥 ????????? 中，????=????=????=1，????= 3，平面??????⊥平面??????，

∠??????=90°．

（1）求证：????⊥平面??????；

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（2）求直线 ???? 与平面 ?????? 所成角的正弦值．

19. 如图所示，抛物线 ??:??2=2???? ??>0 与直线 ????:??=??+?? 相切于点 ??．

21

（1）求 ??，?? 满足的关系式，并用 ?? 表示点 ?? 的坐标；

（2）设 ?? 是抛物线的焦点，若以 ?? 为直角顶角的 Rt△?????? 的面积等于 25，求抛物线 ?? 的标准

方程．

20. 已知函数 ?? ?? =??2+ ???4 ??+3???．

（1）若 ?? ?? 在区间 0,1 上不单调，求 ?? 的取值范围；

（2）若对于任意的 ??∈ 0,4 ，存在 ??0∈ 0,2 ，使得 ∣?? ??0 ∣≥??，求 ?? 的取值范围．

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答案

第一部分 1. B 6. C

2. A 7. C

3. D 8. B

4. D

5. D

第二部分

9. 0,1 ； 1,0,?1 ； ?1 10. ?7;?3 11. 9,20

12. 2 3； 2 3,?2 13. 2

14. ?2,0 15. 第三部分

16. （1） ?? ?? =sin2??? 1?cos2?? = 2sin 2??+4 ?1 故函数 ?? ?? 的最小正周期为 π； （2） 设 ??=2??+4，当 ??∈ ?4,

πππ

π3π

π

6 552

13

时 ?4≤??≤π． 8

π

π

又函数 ??=sin?? 在 ?4,2 上为增函数，在 2,π 上为减函数， 则当 ??=?4 时 sin?? 有最小值 ?故 ??=?? ?? 在 ?,

4π3π

8

π

2；当 ??2

=2 时 sin?? 有最大值 1，

π

上的值域为 ?2, 2?1

17. （1） 由已知得 ????+1+3=2 ????+3 ， 则 ????+1=3????，

又 ??1=4，则 ???? 是以 4 为首项、 2 为公比的等比数列 （2） 由（1）得 ????=4?2???1=2??+1，则 ????=2??+1?3 ????=2?3+2?3+?+2

2

3

??+1

?3=

4 1?2?? 1?2

?3??=2??+2?3???4．

18. （1） 过 ?? 作 ????⊥???? 于 ??．

??????⊥平面??????，平面??????∩平面??????=????， 所以 ????⊥平面?????? 所以 ????⊥????．

又因为 ????⊥????，????∩????=??， 所以 ????⊥平面??????．

（2） 方法一：因为 ????⊥平面??????，连接 ????， 则 ∠?????? 为求直线 ???? 与平面 ?????? 所成角． 因为 ????=????=1，????= 3，

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所以 ∠??????=120°．又因为 ????⊥????， 所以 ????=2，又因为 ????= 2， 所以 sin∠??????=????=

????

2． 4

24

1

所以直线 ???? 与平面 ?????? 所成角的正弦值等于 ．

方法二：设直线 ???? 与平面 ?????? 所成角为 ??，?? 到平面 ?????? 的距离为 ??， 因为 ????=????=1，????= 3， 所以 ∠??????=120°．

所以 ??△??????=2??????????sin∠??????=

??

1

3，??△??????4

1

3 2

12

=2?????????=

13

13

因为 ???????????=???????????，????⊥平面??????，所以 ??△?????????=??△???????????，所以 ??=． 又因为 ????= 2，所以 sin??=????=19. （1） 联立方程组

??2=2????,

1

2． 4

消元得：??2?4????+4????=0，①

??=2??+??,

12

因为抛物线 ??:??2=2???? ??>0 与直线 ????:??=??+?? 相切于点 ?? 相切，所以 ??=16??2?16????=0 得：??=??，②

将 ② 代入 ① 式得：??2?4????+4??2=0 解得 ????=2??，????=2?? 所以 ?? 2??,2?? ．

（2） ?? 2,0 ，所以 ??????=

3

??

??2???

2

2??

=3．因为 ????⊥????，所以 ??????=?4，

??

3

3??8

43

所以直线 ???? 的方程为 ??=? ??? =???+

424

．由
\\（\\[\\begin{cases}y=\\dfrac 3 4

x+\\dfrac{3p}{8 }，\\\\y=\\dfrac 1 2 x+p，\\end{cases}\\Rightarrow\\begin{cases}x=-\\dfrac p 2，

??5??

\\\\y=\\dfrac{3p}{4 }，\\end{cases} \\]\\）
即 ?? ?2,4 ， 所以 ∣????∣= 2???2 +4??2=2，

??3??

2∣????∣= ?? +??2=??，

22164所以 ??△??????=∣????∣∣????∣=

21

2516

2

??

??295

??2=25 解得 ??=4，

???42

???42

所以抛物线 ?? 的标准方程为 ??=8??． 20. （1） 因为 ?? ?? 的对称轴为 ??=? （2） 方法一： （1）当 0<

4???2

，所以 0

4???2

<1，所以 2

≤1 时，即 2≤??<4 时，?? ≤?? ?? ≤?? 2 ，

2

???2 ∣∣= ∣4422

∣4???∣???+8???8? ???4 +8

∣==>0 ∣?? 2 ∣?∣??

∣2∣44所以 ∣?? ?? ∣max=???1

4???∣???∣??=∣ ∣?? 2 ∣=∣???1∣=???1，∣∣∣2∣

2+4???4

（2）当 1<

4???2

<2 时，即 0

???2 24???∣???2+4???4∣∣??=∣∣= ∣?? 0 ∣=∣3???∣=3???，∣∣∣∣2∣44

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4???∣8???

∣?? 0 ∣?∣∣?? 2 ∣=4>0，∣?? ?? ∣max=3???，

2

???1,2≤??<4综上，∣?? ?? ∣max= ，

3???,0

故 ∣?? ?? ∣max≥1，所以 ??≤1

方法二：
\\（\\[\\begin{split}|f\\left（x \\right）| &= \\left| {{{\\left（{x - 1} \\right）}^2} + \\left（{a - 2} \\right）\\left（{x - 1} \\right）} \\right|\\\\& \\leqslant {\\left（{x - 1} \\right）^2} + \\left| {\\left（{a - 2} \\right）\\left（{x - 1} \\right）} \\right|\\\\&

\\leqslant 1 + \\left| {a - 2} \\right|，\\end{split}\\]\\）
等号当且仅当 ??=0 或 2 时成立， 又 1+∣???2∣ min=1，所以 ??≤1

方法三：∣?? ?? ∣=∣ ???1 + ???2 ???1 ∣=∣???1∣∣??+???3∣ 因为 ∣??0?1∣≤1，∣??0+???3∣≤max ∣???1∣,∣3???∣

且上述两个不等式的等号均为 ??=0 或 2 时取到，故

???1,2≤??<4∣?? ?? ∣max=

3???,0

故 ∣?? ?? ∣max≥1，所以 ??≤1．

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4???∣8???

∣?? 0 ∣?∣∣?? 2 ∣=4>0，∣?? ?? ∣max=3???，

2

???1,2≤??<4综上，∣?? ?? ∣max= ，

3???,0

故 ∣?? ?? ∣max≥1，所以 ??≤1

方法二：
\\（\\[\\begin{split}|f\\left（x \\right）| &= \\left| {{{\\left（{x - 1} \\right）}^2} + \\left（{a - 2} \\right）\\left（{x - 1} \\right）} \\right|\\\\& \\leqslant {\\left（{x - 1} \\right）^2} + \\left| {\\left（{a - 2} \\right）\\left（{x - 1} \\right）} \\right|\\\\&

\\leqslant 1 + \\left| {a - 2} \\right|，\\end{split}\\]\\）
等号当且仅当 ??=0 或 2 时成立， 又 1+∣???2∣ min=1，所以 ??≤1

方法三：∣?? ?? ∣=∣ ???1 + ???2 ???1 ∣=∣???1∣∣??+???3∣ 因为 ∣??0?1∣≤1，∣??0+???3∣≤max ∣???1∣,∣3???∣

且上述两个不等式的等号均为 ??=0 或 2 时取到，故

???1,2≤??<4∣?? ?? ∣max=

3???,0

故 ∣?? ?? ∣max≥1，所以 ??≤1．

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