计算方法及答案

《计算方法》练习题一

一、填空题

1．??3.14159?的近似值3.1428，准确数位是（ ）。 2．满足f(a)?c,f(b)?d的插值余项R(x)?（ ）。 3．设{Pk(x)}为勒让德多项式，则(P2(x),P2(x))?（ ）。 4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。

6．e?2.71828?具有3位有效数字的近似值是（ ）。 7．用辛卜生公式计算积分

dx。 ?01?x?（ ）

1(k?1)(k?1)k?1) 8．设A(k?1)?(aij，则apk?（ ）。 )第k列主元为a(pk 9．已知A???51?，则A1?（ ）。 ??42?10．已知迭代法：xn?1??(xn),(n?0,1,?) 收敛，则??(x)满足条件（ ）。 二、单选题

1．已知近似数a,b,的误差限?(a),?(b)，则?(ab)?（ ）。

A．?(a)?(b) Ｂ．?(a)??(b) Ｃ．a?(a)?b?(b) Ｄ．a?(b)?b?(a)

2 2．设f(x)?x?x，则f[1,2,3]?（ ）。

Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?

Ａ．

?31?

，则化Ａ为对角阵的平面旋转??（ ）． ??13?

???? Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2346 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速．

Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）.

A．o(h) Ｂ．o(h) Ｃ．o(h) Ｄ．o(h) 6．近似数a?0.47820?10的误差限是（ ）。 Ａ．

22341111?10?5 Ｂ．?10?4 Ｃ．?10?3 Ｄ．?10?2 2222A．detA?0 Ｂ． detAk?0(1?k?n) Ｃ．detA?0 Ｄ．detA?0

7．矩阵Ａ满足（ ）,则存在三角分解A=LR。

8．已知x?(?1,3,?5)T，则x1?（ ）。

Ａ．９ Ｂ．５ Ｃ．－３ Ｄ．－５ 9．设{Pk(x)}为勒让德多项式，则(P3(x),P5(x))?（ ）。 Ａ．

2222 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 57911

三、计算题

?x1?x2?3?1．求矛盾方程组：?x1?2x2?4的最小二乘解。

?x?x?22?1 2．用n?4的复化梯形公式计算积分

?211dx，并估计误差。 x?2x1?5x2?3x3?6? 3．用列主元消元法解方程组：?2x1?4x2?3x3?5。

?4x?6x?2x?423?1 4．用雅可比迭代法解方程组：（求出x(1)）。

?4?10??x1??1???14?1??x???3? ???2?????0?14????x3????1?? 5．用切线法求x?4x?1?0最小正根（求出x1）。

6．已知f(x)数表：

3x y ０ -2 １ 0 ２ ４ 求抛物插值多项式，并求f(0.5)近似值。

7．已知数表：

x ０ １ ２

y １ ３.２ ４.８

求最小二乘一次式。

8．已知求积公式：

11f(x)dx?Af(?)?Af(0)?Af()。求A0,A1,A2，使其具012??1221有尽可能高代数精度，并指出代数精度。

?410???9．用乘幂法求A?131的按模最大特征值与特征向量。 ????014??10．用予估－校正法求初值问题：?四、证明题 1．

证明：若f??(x)存在，则线性插值余项为：

?y??2x?y在x?0(0.2)0.4处的解。

?y(0)?1R(x)?f??(?)(x?x0)(x?x1),x0???x1。 2!2. 对初值问题：??y???10y，当0?h?0.2时，欧拉法绝对稳定。

?y(0)?13．设?(A)是实方阵Ａ的谱半径，证明：?(A)?A。 4．证明：计算a(a?0)的单点弦法迭代公式为：xn?1?

cxn?a，n?0,1,?。

c?xn《计算方法》练习题二

一、填空题

1．近似数a?0.63500?10的误差限是（ ）。 2．设|x|>>1,则变形1?x?x?（ ）,计算更准确。 3．用列主元消元法解：?3?x1?2x2?3，经消元后的第二个方程是（ ）。

?2x1?2x2?4(m?1)4．用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组，则x3? ( )。

5．已知在有根区间[a,b]上,f'(x),f''(x)连续且大于零，则取x0满足（ ），则切线法收敛。

6．已知误差限?(a),?(b),则?(ab)?（ ）。

7．用辛卜生公式计算积分

Tdx。 ?02?x?（ ）

18．若A?A。用改进平方根法解Ax?b，则ljk?（ ）。

9．当系数阵A是( )矩阵时，则雅可比法与高斯—赛德尔法都收敛。 10．若?1???2，且?1??i(i?3)，则用乘幂法计算?1?（ ）。 二、选择题

1．已知近似数a的?r(a)?10/0，则?r(a3)?（ ）。

A. 10/0 B. 20/0 C. 30/0 D. 40/0 2．设{TK(X)}为切比雪夫多项式，则(T2(X).T2(X))?（ ）。 A.0 B3．对A????. C. D. ? 42?64?直接作三角分解，则r22?（ ）。 ??36?A. 5 B. 4 C.3 D. 2 4．已知A=D-L-U，则雅可比迭代矩阵B=（ ）。

A. D?1(L?U) B. D?1(L?U) C. (D?L)?1U D. (D?U)?1L 5．设双点弦法收敛，则它具有（ ）敛速。

A. 线性 B.超线性 C.平方 D. 三次 6．2?1.41424?,则近似值

?1?210的精确数位是（ ）。 7?3?4A. 10 B. 10 C. 10 D. 10 7．若??42??10??r11r12?。 ??,则有r22?（ ）?????24??l211??0r22?A. 2 B. 3 C.4 D. 0

?41?8．若A??。 ?，则化A为对角阵的平面旋转角??（ ）

14??A.

???? B. C. D. 2346

9．改进欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。

A.[-3，0] B. [-2.78，0] C. [2.51，0] D. [-2，0]

三、计算题

x 0 1 2

1． 已知f(x)数表

y -4 -2 2 用插值法求f(x)?0在[0，2]的根。

2．已知数表

求最小二乘一次式。

x y 0 2.8 1 9.2 2 15.2 3 20.8 3．用n=4的复化辛卜生公式计算积分

dx?02?x，并估计误差。

1?310???4．用雅可比法求A?130的全部特征值与特征向量。 ????003??

?y'?2x?y5．用欧拉法求初值问题?在x=0(0.1)0.2处的解。

y(0)?1?

6 已知函数表:

x y 1 -1 0 2 0 2 y? 求埃尔米特差值多项式H(x)及其余项。

7．求f(x)?x在[-1，1]上的最佳平方逼近一次式。 8．求积公式:

3?10f(x)dx?Af(0)?Bf(x1),试求x1，A，B，使其具有尽可能高代数精度，

并指出代数精度。

9．用双点弦法求x?5x?2?0的最小正根（求出x2）。

3

10．用欧拉法求初值问题：??y'?x?y(0)?1在x=0(0.1)0.2处的解。

?y四、证明题

1． 证明：A?B?A?B。 2.证明：计算5a的切线法迭代公式为：x1n?1?5(4xan?x4),n?0,1,... n3．设l0(x),...,ln(x)为插值基函数，证明：

?nlk(x)?1。

k?04．若B?1。证明迭代法：

x(m?1)?2(m)3x?13Bx(m)?b,m?0,1,... 收敛。 《计算方法》练习题一答案

一．填空题

1．10?2 2．

f??(?)2!(x?a)(x?b) ３．25 ４．按模最大 6．

1?10?2，

7.

121?x?x， 8.9.

1(m?1)(m)a?b(m?1)3?a31x1?a32x2?a34x4? , 10.f(x0)?0 33

二．单选题

１．Ｃ ２．Ａ ３．Ｃ ４．Ｂ ５．Ｃ

6．C 7．D 8．B 9．B

三．计算题

１．?(x21,x2)?(x1?x2?3)?(x1?2x22?4)?(x1?x2?2)2，

由

???3x?x?0,???0得：?12x2?9?， 1?x2?2x1?6x2?9解得x181?7,x?9214。 ２．?2dx1x?188818[1?5?6?7?2]?0.697， [?2,0]x2?1， ５．

R(x)?M21?。

12?1696?2536??4624??4624????123???224?

３．2435??????????11??4624???224????回代得：x?(?1,1,1)T

４．因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。

1?(m?1)(m)x?(1?x)12?4??(m?1)1(m)?(3?x1(m)?x3),m?0,1,?。 雅可比迭代公式为：?x24?1(m?1)(m)?x3?(1?x2)?4?取x(0)?(1,1,1)T计算得： x(1)?(0.5,1.25,0.5)T。

50，所以x*?[0,0.5]，在[0,0.5]上， 5.因为f(0)?1?0,f(0.5)??0.87?由f(x0)f??(x)?0，选x0?0，由迭代公式： f?(x)?3x2?4?0,f??(x)?6x?0。

xn?13xn?4xn?1?xn?,n?0,1,? 23xn?4 计算得：x1?0.25。

6．利用反插值法得

11f(0)?N2(0)??(0?4)??(0?4)(0?2)?1.75

2247． 由方程组：?8．I?1?4a0?6a1?48*，解得：a0?3,a1?6，所以g1(x)?3?6x。

?6a0?14a1?102dx118881??02?x8[2?9?10?11?3]?0.4062， M21|R(f)|???0.00132 。

12?16768a22?a11?3,a12?1,??9．因为

?4

?2??2?2A1????2?0???

22220??20????310??2???2?0??130????003??2??01?????????22220?0???400???0???030?? ??002??1?????22T,,0)22所以：?2?3,X2?(0,1,0)T?1?4,X1?(

?3?2,X3?(?22T,,0)2210．应用欧拉法计算公式：yn?1?0.2xn?1.1yn ，n?0,1，y0?1。 计算得y1?1.1,y2?1.23。

四．证明题

１．设R(x)?k(x)(x?x0)(x?x1),g(t)?f(t)?L1(t)?k(x)(t?x0)(t?x1)，有

x0,x1,x为三个零点。应用罗尔定理，g??(t)至少有一个零点?，

g??(?)?f??(?)?2!k(x)?0,k(x)?2．由欧拉法公式得：

n~yn?yn?1?ohy0?~y0f??(?)。 2!。

当0?h?0.2时，则有

yn?~yn?y0?~y0。欧拉法绝对稳定。

3.因为A=(A-B)+B,A?A?B?B， 所以A?B?A?B，

又因为B=(B-A)+A, B?B?A?A 所以B?A?B?A?A?B

B?A?A?B

4．因为计算5a等价求x?a?0的实根，

将f(x)?x5?a,f'(x)?5x4代入切线法迭代公式得：

5xn?a1axn?1?xn??(4x?),n?0,1,...。 n445xn5xn5

《计算方法》练习题二答案

一、 填空题

1．10， 2. ?(G)?1， 3. 5.f(xn??2xn?1?xnxn?1?axn?xn?1(n?1,2,?)， 4. 1.2，

nn,yn?k2) 226. |b|?(a)?|a|?(b)， 7.

rkj?x73， 8.， 9. 严格对角占优 10.??x180rkk?(k?2)i(k)i??? ?12二、 单选题

1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．A 7．B 8．C 9．D

三、 计算题

22?3?2?21．sin??0.5828，R()??0.582?10?2。

51052400?2．?(x,y)?(x?y?4)2?(x?y?3)2?(2x?y?6)2，由

?????0,?0 ?x?y得??6x?2y?19474,y?。 ，解得：x?147?2x?3y?511??10?2解得n?3，取n=3， 248n21dx11661?[???]?0.4067。 复化梯形公式计算得：?02?x627833．由

?1201??1201??124．??2312???0??01????121????110????0?110? ?0???0?121???0011??回代得：X?(?1,1,1)T 5．因为a33?a11?2,a12?1,???4

??202??22??201?0?2?2?A??21??010??????300??020??2010????

?2????102?????2??020??2?20??2???001???2???22??所以?21?3,x1?(2,0,2T2) ?2?3,x2?(0,1,0)T ?3?3,x3?(?22,0,2T2) 6

H(x)?(1?2(x?1))(x?2)2?(?1)?(x?2)(x?1)2?2?x2?2xR(x)?f(4)(?)4!(x?1)2(x?2)2,(1???2)

7．设g*(x)?a*px)?a**113101p1(x)，则a0?2??1xdx?0,a*31430(1?2??1xdx?5,

所以g*31(x)?5x。

8．设求积公式对f(x)?1,x,x2精确得：

????A?B??Bx11x231?1?2，解得：1?3,B?4,A?4。 ???Bx21?13所以求积公式为：?11320f(x)dx?4f(0)?4f(3)，

再设f(x)?x3，则左?14?29=右。此公式具有3次代数精度。

9．因为f(0)?2?0,f(0.5)??0.375?0, 故x*?[0,0.5]，在[0，。

0.5]上，

m1?minf?(x)?4.25,M2?maxf??(x)?3，KR?迭代公式：

M23?0.5??1，应用双点弦法2m1193(xn?xn?1)(xn?5xn?2)xn?1?xn?3,n?1,2,...计算得：x2?0.421。 3(xn?5xn?2)?(xn?5x?2)?1n?110．yn?1?0.1xn?0.9yn,n?0,1，由y0?1，计算得：y1?0.9,y2?0.82。

四、 证明题

1．设x?1n2?xp，则有?xi?xpni?1?x2

2??xi2，

i?1n所以有1x2?xn?2．因为迭代函数是?(x)?x??f(x),?'(x)?1??f'(x)， 当0???2时则有?1?1??f'(x)?1，即 m1|1??f'(x)|?|?'(x)|?1，所以迭代法收敛。

f(n?1)(?)3．设f(x)?1，则有R(x)??(x)?0，

(n?1)!所以有

?lk?0nk(x)?f(x)?1。

21I?B,B?1， 334．因为迭代矩阵为G?所以G?

2121I?B?I?B?1，所以迭代法收敛。 3333

m1?minf?(x)?4.25,M2?maxf??(x)?3，KR?迭代公式：

M23?0.5??1，应用双点弦法2m1193(xn?xn?1)(xn?5xn?2)xn?1?xn?3,n?1,2,...计算得：x2?0.421。 3(xn?5xn?2)?(xn?5x?2)?1n?110．yn?1?0.1xn?0.9yn,n?0,1，由y0?1，计算得：y1?0.9,y2?0.82。

四、 证明题

1．设x?1n2?xp，则有?xi?xpni?1?x2

2??xi2，

i?1n所以有1x2?xn?2．因为迭代函数是?(x)?x??f(x),?'(x)?1??f'(x)， 当0???2时则有?1?1??f'(x)?1，即 m1|1??f'(x)|?|?'(x)|?1，所以迭代法收敛。

f(n?1)(?)3．设f(x)?1，则有R(x)??(x)?0，

(n?1)!所以有

?lk?0nk(x)?f(x)?1。

21I?B,B?1， 334．因为迭代矩阵为G?所以G?

2121I?B?I?B?1，所以迭代法收敛。 3333

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