第十三讲 二次型的标准化

第十二讲 合同变换与二次型的标准化

教学目的：

1. 介绍合同变换：另一种对角化途径，只用于对称阵； 2. 对“可逆的矩阵变换”做个小结。 3. 介绍二次型及其矩阵形式；

4. 介绍二次型标准化的概念：与合同变换的关系。 教学内容：

第六章：§ 6.4 合同变换； 第七章：§ 7.1 二次型及其标准形；

§ 7.2 二次型的标准化；

教案提纲：

§ 6.4 合 同 变 换

一、合同变换：

1. 概念：定义6.5（又一种特殊形式的初等变换） 2. 合同变换的性质： 二、合同变换的实施：“对称初等变换” 例6.8，p.140。 三、合同标准形： 1. 规范形（合同标准形）；定义6.6； 2. 惯性指数：惯性定理（定理6.17）→ 定义6.7； ? 正交变换：既是相似变换，也是合同变换，更是初等变换。

? 小结：四个矩阵变换的比较：

第七章 二 次 型

§ 7.1 二次型及其标准形

一、 二次型：

1. 二次型的概念：（从一般的二元二次方程引入） 定义7.1：两种写法：（7.1）式、（7.2）式，系数的对称性设定； 2. 二次型的矩阵形式：与实对称阵的一一对应，“二次型的秩”。 （举例、练习：学会函数形式与矩阵形式的互化）。

二、 二次型的标准形：

1. 标准形（法式）的概念：

由二次曲面的标准方程引入，定义7.2； ? 与对角阵的对应；

2. 标准化：与合同变换的对应。

f(X)?X?AX X?PY，使X?AX?Y?P?APY?Y??Y

A 找可逆阵P,使P?AP??为对角阵

§ 7.2 二次型的标准化

一、正交变换法：

? 理论上没有新内容，用示例讲清实施步骤：

二次型f(X)?X?AX→ A → 求特征值 → 求正交的特征向量组（Schmidt正交化法或添方程法）→ 分别单位化 → 构成正交变换阵P → 验证P?AP?P?1AP?? → 得到标准形f(Y)?Y??Y（是唯一确定的）。 2例：f(x1,x2)?x12?x2?4x1x2??x1x2???2??12??x1??????XAX， ???1??x2?A??E?1??2?2?3，??2?2??3????1????3?，特征值?1??1，21????1??1?进而得特征向量p1???1??、p2???1??，它们已经互相正交，单位化后即得到正交

????阵P?1??11???。可对它作两方面验证：一方面， ??112??1??11??12?1??11?1??20???10?????????；??????????????2?11??21?2?11?2?06??03??1212P?1AP?P?AP???x1?另一方面，将相应的变换X?PY，即???x2?f?y1?y1?121212y2代入原二次型，得y2y1?12??12y1?12y2???212y1?12y2?4?2??12y1?y2??12y2?

?222?1y12?2y1y2?y2?1y12?2y1y2?y2?2y2?y12? 22????????10??y1?222?y12?y2?2y2?2y12??y12?3y2??y1y2???03????y??；

???2?易见两者的一致性。

作业：p.147：20（1、4）； p.151：56；

p.168：1（3、4）、2（3、4）、

? 备例

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