第12讲 倒推法解题

举一反三 年 月 日 第12讲 倒推法解题

一、知识要点

倒推法解题是从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，直到找到最初的数据，这种方法又常被称为“还原法”。适合用倒推法解题的数学问题常满足以下条件：已知最后的结果和到达最后结果时的每一步具体的过程。 二、精讲精练

【例1】筑路队修一段路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下的 ，还剩500米，这段公路全长多少米？

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【思路】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－＝，第一天修后还剩500÷＝700米，如果第一天正好修全长的，还余

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下700+100＝800米，这800米占全长的1－＝，这段路全长800÷＝1000米。列式为：

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5

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[500÷（1－）+100]÷（1－）＝1000米

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答：这段公路全长1000米。 练习1：

１、一堆煤，上午运走，下午运的比余下的还多6吨，最后剩下

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14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？

２、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的又2公顷，第二天耕的比余下的多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？

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倒推法解题 1 / 6 完成签名：

举一反三 年 月 日 ３、一批水泥，第一天用去了多1吨，第二天用去了余下少2吨，

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还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？

【例2】王大伯屋后有一颗桃树。他孙子每天从树上摘下一些桃子和邻居的小伙伴分着吃，第一天摘下桃子总个数的下当天树上现有桃子的

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1

1

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，以后8天分别摘

1

，8，7，···，3，2，摘了9天，树

上还留下10个桃子。树上原来有多少个桃子？

【思路】从“树上还留下10个桃子”入手倒着往前推，它占第8天后余下的1-12

=2，第8天后余下10÷（1-2）=20个，这20个占

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第7天后余下的1-类推：

=

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，第7天后余下20÷（1-）=30个。以此

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10÷（1-）÷（1-）÷（1-）÷（1-）÷（1-）÷（1-）÷（1-）÷（1-）÷（1-8

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7

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）

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＝10×2××××××××答：树上原来有100个桃子。 练习2：

＝100（个）

１、把一根绳子对剪开，再取其中一段对半剪开，这样剪了四次，剩下的正好是1米。这根绳子原长多少米？

倒推法解题 2 / 6

完成签名：

举一反三 年 月 日 ２、《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意是：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时用所余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个

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人原来背多少斗米出关？

３、仓库里存粮若干吨，第一次运出总数的又4吨，第二次运出余下的又3吨，第三次运出余下的又5吨，最后还剩下12吨。这个

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2

1

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仓库原有粮食多少吨？

【例3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲桶，这时两桶油各有24kg，原来甲、乙两个桶中各有多少kg

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油？

【思路】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48 kg，当乙桶没有倒出给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－）＝30kg，这时

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甲桶内只有48－30＝18kg，而甲桶已倒出给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－）＝27kg，乙桶原有的油为48－27＝21kg。

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甲：[24×2－24÷（1－）]÷（1－）＝27（kg）

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乙：24×2－27＝21（kg）

倒推法解题 3 / 6

完成签名：

举一反三 年 月 日 答：甲桶原有油27 kg，乙桶原有油21 kg。 练习3：

１、小华拿出自己的画片的给小强，小强再从自己现有的画片中拿出给小华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？

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2、甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出给乙后，乙又拿出给甲，

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这时他们各有90元，他们原来各有多少元？

3、一瓶酒精，第一次倒出，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的，第三次倒出180克，瓶中好剩下60克，原来瓶中有多少

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克酒精？

【例4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？

【思路】根据题意，由最后甲钱数是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出与乙同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是56÷2＝28元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。

倒推法解题 4 / 6

完成签名：

举一反三 年 月 日 168÷3÷2＝28元

答：原来甲比乙多28元。 练习4：

１、甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？ 2、甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？

3、甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？

【例5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。

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原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？

【思路】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意可知，从乙仓库运出到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的。

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2

1

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①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？

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÷（1－）＝ 4

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完成签名：

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倒推法解题 5 / 6

举一反三 年 月 日 ②甲仓库占两仓库和的几分之几？

1－＝

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1

③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？

3÷（1－4）＝9

④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？

4÷（9－4）＝ 54

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答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的。

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4

练习5：

1、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来

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甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？

２、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原

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51

来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？

３、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的

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3

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。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？

倒推法解题 6 / 6 完成签名：

举一反三 年 月 日 ②甲仓库占两仓库和的几分之几？

1－＝

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③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？

3÷（1－4）＝9

④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？

4÷（9－4）＝ 54

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答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的。

5

4

练习5：

1、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来

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甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？

２、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原

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51

来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？

３、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的

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9101

。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？

倒推法解题 6 / 6 完成签名：

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